3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 1.关于抛物线y2=-2x,下列说法正确的是(　 ) A.开口向右 B.焦点坐标为(-1,0) C.准线方程为x=1 D.对称轴为x轴 2.抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是(　 ) A.4 B.2 C. D.1 3.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,点P是抛物线C上一点,|PF|=10,过点P作y轴的垂线,垂足为P',则|P'F|= (　 ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.已知点A在抛物线y2=2px(p>0)上,若点A到抛物线的对称轴的距离为6,点A到焦点的距离为10,则p的值是 (　 ) A.2或18 B.6或12 C.4或16 D.2或4 5.[2025·丽水发展联盟高二期中] 如图,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备,上面装有抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,已知太阳灶的口径(直径)为4 m,深度为0.5 m,则该抛物线顶点到焦点的距离为(　 ) A.0.25 m B.0.5 m C.1 m D.2 m 6.(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则抛物线的方程可能为 (　 ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 7.若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A的横坐标为,且A到C的焦点的距离为,则点A的纵坐标为　　　　.  8.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MF|=4,则点M的纵坐标为　　　;若O为坐标原点,则△MOF的面积为　　　　.  9.已知A为抛物线C:y2=4x上的一个动点,F为C的焦点. (1)当|AF|=2时,求点A的坐标; (2)若点B的坐标为(4,0),求|AB|的最小值. 10.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线l与y轴的交点为M,P是C上一点,若|PF|=5,则|PM|= (　 ) A. B.5 C.2 D. 11.[2025·江苏苏州高二期末] 已知M是抛物线x2=4y上一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=60°,则|FM|= (　 ) A. B. C.3 D.4 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,若B(3,0),抛物线C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　 ) A.2 B.2 C.3 D.3 13.(多选题)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),且与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 (　 ) A.p= B.|AF|=6 C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点 14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,A为抛物线上一点,且|AF|=2|OF|,△OAF的面积为4,则抛物线的方程为　　　　.  15.如图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥,该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米,拱形最高点与桥面的距离为32米. (1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离); (2)已知直线m是抛物线的对称轴,Q为直线m与水面的交点,P为抛物线上一点,O,F分别为抛物线的顶点和焦点,若PF⊥m,PO⊥PQ,求桥面与水面的距离. 16.[2025·山西大学附中高二月考] 设点F是抛物线y2=2x的焦点,过抛物线上一点P,沿x轴正方向作射线PQ∥x轴,若∠FPQ的平分线PR所在直线的斜率为-2,则点P的坐标为 (　 ) A. B. C.(2,-2) D.(2,2) 17.[2025·南通高二期中] 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线上一点,延长AF交抛物线于点B.抛物线的准线与x轴的交点为K,A(m>0),|AF|=. (1)求抛物线的方程; (2)求△ABK的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 1.D　[解析] 因为抛物线的方程为y2=-2x,所以p=1,即=,所以抛物线开口向左,焦点坐标为,准线方程为x=,对称轴为x轴,故选D. 2.D　[解析] 由抛物线x2=2y的方程得2p=2,则抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是p=1,故选D. 3.D　[解析] 由抛物线C:y2=16x,得焦点F(4,0),设P(x0,y0),所以P'(0,y0),由|PF|=x0+4=10,解得x0=6,所以=16x0=96,所以|P'F|==4.故选D. 4.A　[解析] 设A(x,6),代入抛物线方程y2=2px(p>0),得x=,又因为点A到焦点的距离为10,所以+=10,化简得p2-20p+36=0,解得p=2或p=18.故选A. 5.D　[解析] 以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系,如图所示,设此抛物线方程为x2=2py(p>0),依题意,点(2,0.5)在此抛物线上,所以2p×0.5=4,解得p=4,则该抛物线顶点到焦点的距离为2 m.故选D. 6.CD　[解析] 设抛物线的方程为x2=±2py(p>0),将y=代入x2=2py,得|x|=p,∴2|x|=2p=8,∴p=4,∴抛物线的方程为x2=±8y.故选CD. 7.±　[解析] 由题得+=,所以p=1,所以C:y2=2x,又点A的横坐标为,所以点A的纵坐标为±. 8.3　　[解析] 由抛物线C:x2=4y,可知焦点F(0,1),准线方程为y=-1,设M(x0,y0).∵点M在抛物线C上,∴|MF|=y0+1=4,=4y0,解得y0=3,x0=±2,∴S△MOF=×|OF|×|x0|=×1×2=. 9.解:设A(x1,y1). (1)由y2=4x,得p=2,由|AF|=2,得x1+=x1+1=2,解得x1=1, 当x1=1时,y1=±2,所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2). (2)=4x1,x1≥0,则|AB|===, 当x1=2时,|AB|取得最小值,且最小值为2. 10.D　[解析] 易知抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,可得M(0,-1),设点P(m,n)(n≥0),由抛物线的定义知|PF|=n+1=5,可得n=4,所以m2=4n=16,解得m=±4,即点P(±4,4),所以 |PM|==.故选D. 11.A　[解析] 由题可得F(0,1),设M(x0,y0),不妨设点M位于第一象限,过点M作MN⊥y轴于点N,如图.因为∠OFM=60°,所以|MF|=2|FN|,所以+(y0-1)2=[2(1-y0)]2,又因为M是抛物线x2=4y上一点,所以=4y0,代入上式得4y0+(y0-1)2=[2(1-y0)]2,解得y0=或y0=3,因为0<y0<1,所以y0=,所以|FM|=+1=.故选A. 12.B　[解析] 由题知F(1,0),因为点A到l的距离等于|AB|,所以|AF|=|AB|,所以点A在线段FB的垂直平分线上,所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,可得A(2,2),所以△AFB的面积为×2×2=2.故选B. 13.BCD　[解析] 如图所示,分别过点A,B作抛物线C的准线m的垂线,垂足分别为E,M,连接EF,设抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p,由直线l的斜率为,知其倾斜角为60°.因为AE∥x轴,所以∠EAF=60°,由抛物线的定义可知|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,所以∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°.设|BD|=x,由Rt△DBM∽Rt△DAE,得=,可得|BM|=,|AE|=4+,所以|BM|=|BF|=,|AE|=|AF|=4+,|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,所以|BF|=2,|AF|=6,所以B正确.|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,所以A错误.|BD|=4,满足|BD|=4=2|BF|,所以C正确.|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,所以D正确.故选BCD. 14.y2=8x　[解析] 过点A作准线的垂线,垂足为H,由抛物线定义可得|AH|=|AF|=2|OF|=p,所以点A的横坐标为,代入抛物线方程y2=2px(p>0),可得点A的纵坐标为±p.因为△OAF的面积为4,所以|±p|·=4,可得p=4,则抛物线的方程为y2=8x. 15.解:(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,其中AB为桥面,CD为水面. 设对应抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意知点B(32,-32)在此抛物线上, 所以322=-2p×(-32),解得p=16, 故该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距为16米. (2)由(1)知对应抛物线的方程为x2=-32y,|OF|=8,将y=-8代入x2=-32y,得x=±16,所以|PF|=16, 所以tan∠POF===2, 又PO⊥PQ,所以tan∠QPF=tan∠POF=2,即=2,所以|QF|=32, 又拱形最高点与桥面的距离为32米,所以桥面与水面的距离d=|OF|=8, 故桥面与水面的距离为8米. 16.D　[解析] 根据题意,抛物线y2=2x的焦点F,准线方程为x=-,设直线PQ与准线交于点A,由抛物线定义得,|PA|=|PF|,根据题意,不妨令R为PR与x轴的交点,连接AF,∠QPR=∠FPR,∠QPR=∠PRF,所以∠FPR=∠PRF,则|FR|=|PF|,所以|PA|=|RF|,且PA∥FR,所以四边形APRF为平行四边形,则kPR=kAF=-2=,得a=2,所以点P的坐标为(2,2).故选D. 17.解:(1)因为|AF|=xA+=+==,所以p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x. (2)因为A,代入抛物线方程可得m2=,且m>0,所以m=, 又因为F(1,0),所以kAF==-2,所以直线AF的方程为y=-2(x-1), 由可得6x2-13x+6=0, 所以xA+xB=,所以|AB|=xA++xB+=xA+xB+2=, 又因为K(-1,0),所以K到直线AF的距离d==, 所以S△ABK=·|AB|·d=××=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$