四川省成都市石室天府中学2024-2025学年高一竞赛班联赛第一次模考数学试题

2025 年成都石室天府中学高一数学竞赛班联赛第一次模考试题 一、填空题: 本大题共 8 小题, 每小题 8 分, 满分 64 分. 1. 等差数列 { } 满足 , 则 的值为 ________ 2. 设函数 其中实数 a > 2. 若 f (x) 的值域为 [9,11], 则 a 的取值范围是 ________ 3. 正四面体 ABCD 的棱长为 4, 空间动点 P 满足 则 的最大 值与最小值之差为 ________ 4. 函数的最小值为 ________ 5. 一个不均匀的骰子, 掷出 1,2,3,4,5,6 点的概率依次成等差数列, 独立地先后掷该骰子两次, 所得的点数分别记为 a, b . 若事件“”发生的概率为 , 则事件“ a = b ” 发生的概率为 ________ 6. 某种复杂化合物 A 的合成路径如图.为了合成 A，从原料 X,Y,Z 开始操作，每次操作进行一次转化（图中一个箭头代表一次转化），则共有________种操作顺序 7. 曲线 和 y=−x2 +7 相交于点 A、B、C，△ABC 的外心和垂心为 P 和 Q，则 PQ = _______ 8. 设 A, B 为集合, 满足 |A| = 3 且 A ∪ B = {1, 2, · · · , 9} . 若 A 中所有元素的乘积等于 B 中所有元 素的和, 则这样的 A 有 ________ 个 二、解答题: 本大题共 3 小题, 满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 16 分) 已知抛物线 T : y = x2上三个不同点 A(1, 1) 、B 、C 满足: AB ⊥ AC , 过 B 、C 分别作抛物线 T 的切线交于点 P , 求点 P 的轨迹方程. 10.(本题满分 20 分) 已知 n 为正整数, 正实数 a, b, c 满足 a + b + c = 3 . 求证: 11.(本题满分 20 分). 已知数列满足: a1=1, a2=1,an+2=an+1+an (n≥1) . 定义： (1) 求 的值. (2) 是否存在实数 r , 使得 , 对任意 n ≥ 2 恒成立? 若存在, 求出 r 的取值范围。若不存 在, 请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年成都石室天府中学高一数学竞赛班联赛第一次模考 答题卡 填空题得分 9题得分 10题得分 11题得分 总分 考生须知：考试期间，考生不得使用计算器，不得携带手机、计算机或其他移动通讯工具。考生应当严格遵守考试纪律，不得偷带、夹带、代考，不得抄袭他人答案或有意将自己的答案让他人抄袭。任何违纪舞弊行为都将受到严肃处理。 1、 填空题（每题8分，共64分） 1. _________________________________ 2. _________________________________ 3. _________________________________ 4. _________________________________ 5. _________________________________ 6. _________________________________ 7. _________________________________ 8. _________________________________ 得分 评卷人 2、 解答题 9.（16分） 得分 评卷人 10.（20分） 得分 评卷人 11.（20分） 得分 评卷人 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年成都石室天府中学高一数学竞赛班联赛第一次模考 参考答案 一、填空题 18器 2[4,8]3.842+hV5分6.8472W10 8.7 二、解答题 9. 解析：设点B(x1,h),Cx2,),直线BC的方程为：y=k红+m,联立 =P 消去y得 双=k虹+m x2-kx-m=0, 由市达定理知：1+2=k,x1x2=一m, h+2=k2+2m,h边=m2 由AB⊥AC:AB·AC=0, .(c1-1)(x2-1)+(-10(-1)=0, 即x1x2一（任1+x2)+1+h1h一(1十2）+1=0. .-m-k+1+m2-(k2+2m)+1=0,即m2-3m-k2-k+2=0. 得m=k+2或m=-k+1 若m=-k+1,此时直线BC的方程为：y=k(x-1)+1,过点A(1,1),舍去： 故m=k+2.此时直线BC的方程为：#=k(红十1)+2，过定点(L2) 过点B的切线方程为：-斯=2(e一x)(1) 过点C的切线方程为：y-班=2红（红-2）（②） 联立、回解得工兰-=由=m,即P(（信- 结合m=k+2知，点P的轨迹方程为2x++2=0. 10 解析：由题及均值不等式得a”+(m-1)≥na,na+3n=n[(a+b)+(a+c,所以 a"+4n-1>nl(a+b)+(a+e). 据此和Cauchy不等式得 ∑0+高(6++)-∑ 32 ≥2m (∑12 ∑a+可=2m2×3=3m. 又注意到 (∑1P ∑a+Ma+9产2a0+可②a22+-号 1 9 9 所以∑阿之3凯+}也即原不等式成立. 11 解析：(1)方法：数学归纳法 b1=as41-a吃=2×1-12=1， 2=a42-=3×1-22=-1, bg=a5a3-a=5×2-32=1. :bn=(-1)+1 假设n=k时结论成立，即，=（一1）+1，当n=素+1时， a+1=ag+as+1-242=(a*+2+as+1)ak+1-242 =-ak+2(a+2-ak+1)+a候+1=-ak+2a+a2+1=-b=(-1)+2 由数学归纳法知：6=(-1)n+1,故b225=1 注：写=(-1)-1也可 方法二：递推法 6n+1=an+3an+1-a2+2=(an42+0n+1am+1-ai+2 =-am+2(aa+2-an+i）+a2+1=-an+2an+a+1=-bn 因此{b}是公比为-1的等比数列，由初始值b1=1,得通项：b=(-1)m+1 b02%=(-1)2025+1=1. 方法三：通项公式法用特征根法可得数列{n}通项公式为： 方a-r%。=45g On = 2 a8=-1.a+B=1 代人bn=an+2m一品+1，逐项化简： 么=号【la2-m2a-9m-at1-gn+月 =言a2nt2+m+2-a”gm*2-a+2护-a2+2-g+2+2a1gm+ 专o"a2+)+2a+ =5(-13+2-1】6a8=-1,a2+㎡=3 =(-1)+1 所以b22s=1 (2)由(I)知：bh-1=ak+1ak-1-a2=(-1→9%=候+(（-1)*=ak-1a+1 1 1 =+1-ak-1=1-1 Ck di-10k+1 ak-1akak+1 ak-1ak0k+1 ak-1ak akak+1 1=1- 1 andn+l 因数列{an}严格递增且无界(am≥n对n≥5)，故： 1一<1 11.0之)-三1一a41 OnOn+1 当n→oo时，d→0，故∑2=1 综上：存在实数r使得∑-，去<r对所有n≥2恒成立.且r取值范围是L,+o刘