精品解析：广西南宁市第三十三中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

南宁市第三十三中学高二年级开学考 数学 一、单选题 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D． 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. i C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可求得复数，可求得虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为1. 故选：D. 3. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积. 【详解】由题得， 所以， 所以， 所以, 所以. 由正弦定理得, 所以的外接圆面积为. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. 已知，若，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直可得，再利用数量积的定义可求，从而可求向量的夹角，也可以根据题设条件构建相应的图形，结合直角三角形可求向量的夹角. 【详解】方法1：由得，即， 而，故，得， 而，故. 方法2：如图，设， 则，因为与垂直，故， 而，故，故，即的夹角为． 故选：C． 5. 已知函数若，则＝(　　) A. － B. 3 C. －或3 D. －或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，对进行分类讨论，求出的值，最后求出的值. 【详解】当时，若，则；当时，若，则，不满足舍去．于是，可得. 故.故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量问题，考查了数学运算能力 6. 如图所示，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内三点共线的充要条件进行判断，即若，，三点共线，则． 【详解】解：由已知得， 结合，，所以． 又因为，，三点共线，所以， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查了平面内三点共线的充要条件的推论．注意抓住是从同一点出发的三个向量间的关系，注意辨析． 7. 在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕翻折至与共面，当共线时，最小，再由余弦定理求解即可. 【详解】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 8. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 二、多选题 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与C是互斥事件 B. 事件B与D是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意， ， 对于A：因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件A与C是互斥事件，故A正确； 对于B:因为事件B,D中都包含1人击中，故B错误； 对于C：因为事件C,D中都包含0人击中，故C错误； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：AD 11. 如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 该直三棱柱的外接球的表面积为 C. 当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为 D. 若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据，为定值，点到平面的距离为定值，可得为定值； B选项，外接球的球心是上、下底面外接圆的圆心连线的中点，由正弦定理和余弦定理得到外接圆半径，从而得到外接球半径和表面积； C选项，作出辅助线，推导出当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点，进而求出各边长，得到； D选项，作出辅助线，得到过三点的截面，并求出面积. 【详解】A选项，根据，在直三棱柱中，长度固定，长度固定，所以为定值， 因为平面，所以点到平面的距离就是到平面的距离，为定值， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，A正确； B选项：外接球的球心是上、下底面外接圆的圆心连线的中点，设上底面外接圆圆心为，外接圆半径为， 在中，由余弦定理可得， 所以，由正弦定理得，所以， 设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，故B项错误； C选项：作，垂足为，作，垂足为， 易证得在平面上的射影为， 则点在平面上的射影在线段上， 由B选项可知，，故，解得，故，则， 设的中点为，外接球的球心为，半径为，则平面，即， 在中，①， 又因为②， 由①②可得，所以当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点. 因为，所以直线 与所成角即为直线与所成角. 由B项中， 再由余弦定理可得， 因为，所以，，故C项正确； D项：延长，交于点，连接交于点， 则四边形是截面，且点是的中点， 点是上靠近的三等分点，由勾股定理求得， 因为，所以为直角，故， 又，， 易知，所以四边形的面积为，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知一组数据的平均数是2，方差为6，则数据的平均数是________，方差是________． 【答案】 ①. 1； ②. 6. 【解析】 【分析】由已知得，， 然后计算的平均数和方差可得答案. 【详解】由已知得，， 所以，. 故答案为：①1；②6. 13. 在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是______. 【答案】60° 【解析】 【详解】 取BC的中点E，则,则即为所求，设棱长为2，则, ． 14. 甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，需先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率，两情形概率之和即为所求. 【详解】记表示甲在第轮胜利，表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则 甲获得胜利的情况为甲射击10环，乙射击不为10环；和甲射击9环，且乙射击为8环. 即； 甲获得平局的情况为甲、乙射击均为10环，9环和8环， 即； 甲失败的情况为． ①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，且第1轮甲没有获得胜利，其概率为； ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率为； 所以经过3轮比赛结束的概率． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，，函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案； （2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域. 【小问1详解】 因为向量，，函数， 所以 ， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知， 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位， 则， 当时，，， 则． 所以在的值域为. 16. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； （3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由中位数的求法，结合直方图求解即可； （3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以中位数在之间，设中位数为，那么， 解得，所以中位数为86. 【小问3详解】 设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为； 从这5人中随机抽取2人，则样本空间为： ，共有10个基本事件. 设选取的2人评分均在内为事件， 则中包含3个基本事件，所以. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则． 由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据同角三角函数关系式可得解； （2）根据余弦定理及三角形面积列方程，解方程可得，即可得周长. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可知可转化为， 即， 即，， 由在中，， 则； 【小问2详解】 在中， 由， 即， 又直线为的平分线， 则， 所以， 即， 又由余弦定理可得，即， 可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 19. 已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数， 试求的相伴特征向量; （2）已知为的相伴特征向量，，求函数的对称轴. （3）记向量的相伴函数为，求当且 ，的值; 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用和角正弦公式及诱导公式化为相伴函数形式，即可得； （2）由题设及差角正弦公式可得，进而有，根据余弦函数的性质求对称轴； （3）由题设求得、，再应用差角正弦公式求. 【小问1详解】 ， 的相伴特征向量； 【小问2详解】 由为的相伴特征向量， ， 则，且，解得， 所以， 令， 所以函数的对称轴为直线； 【小问3详解】 向量的相伴函数为， 所以, ，则， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第三十三中学高二年级开学考 数学 一、单选题 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. i C. 2 D. 1 3. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为 A. B. C. D. 4. 已知，若，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若，则＝(　　) A. － B. 3 C. －或3 D. －或3 6. 如图所示，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与C是互斥事件 B. 事件B与D是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 11. 如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 该直三棱柱的外接球的表面积为 C. 当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为 D. 若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为 三、填空题 12. 已知一组数据的平均数是2，方差为6，则数据的平均数是________，方差是________． 13. 在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是______. 14. 甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率是______． 四、解答题 15. 已知向量，，函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 16. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； （3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 19. 已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数， 试求的相伴特征向量; （2）已知为的相伴特征向量，，求函数的对称轴. （3）记向量的相伴函数为，求当且 ，的值; 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $