精品解析：天津市双菱中学2024-2025学年高二下学期第三次月考数学试卷

天津市双菱中学2024-2025学年度第二学期高二第三次阶段性检测 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据补集和并集概念进行求解 【详解】由题得，因为，所以. 又，所以. 故选：B. 2. 已知命题；，则是的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，求得不等式的解，利用充分条件，必要条件的定义可得结论. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以，反之不成立， 所以是的必要而非充分条件. 故选：B. 3. 设，若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用的图象变换规律，得出结论. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. 故选：A. 5. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出. 【详解】由，令，则， 所以和都是奇函数，得， 即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误； 而，再由当时，，， 得，，所以A错误，B正确. 故选：B. 6. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小 【详解】解：因为，所以为偶函数， 所以， 当时，在上为增函数， 因为，， 所以， 因为在上为增函数， 所以， 所以， 故选：A 【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题. 7. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调递增，得到不等式，求出，并得到，从而根据得到，从而求出的取值范围. 【详解】在上单调递增，故，解得， ， 因为，所以，，， 故. 故选：A 8. 如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（ ） A. 530 B. 502 C. 503 D. 505 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，再由组合数的性质，即可求出结果. 【详解】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个， 则所有“上升”的正整数的个数为 ， 故选：B. 9. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得． 【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的转化：的定义域是，的定义域是， （1）对任意的，存在，使得成立； （2）对任意的，任意的，恒成立； （3）存在，对任意的，使得成立； 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以. 故答案为：0.6. 11. 已知多项式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别写出与的展开式通项，求出即可. 【详解】展开式的通项， 展开式的通项， 所以，，， 所以. 故答案为：10. 12. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对称性可得解析式，再由复合函数单调性求单调递增区间. 【详解】因为函数与关于直线对称， 所以， 所以. 令，由得， 因为在单调递减，在单调递减， 所以在单调递增. 即的单调递增区间为. 故答案为：. 13. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则； 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，，，， 则， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为. 故答案为：；. 14. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】计算得出，并分析出函数在上为增函数，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 因为 ， 因为在上为增函数，在上也为增函数， 故函数在上也为增函数， 由可得， 所以，，可得， 当取最大值时，必有，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 15. 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是________. （1）在处取得极小值，极小值为 （2）只有一个零点 （3）若在上恒成立，则 （4） 【答案】（2）（3）（4） 【解析】 【分析】对于（1），根据，，求，求出，根据极值定义进行判断；对于（2），根据单调性和零点定义，结合图像判断；对于（3），若在上恒成立，即，通过构造函数求最值，进行判断；对于（4），根据单调性，和对数比较大小，进行判断. 【详解】对于（1），，且，可得，可得，故为常数.，可得，求得：.故：，整理可得：，，， 当，即，解得：，，即单调递增， 当，即，解得， 当，即，解得：，，即单调递减，取得极大值，，故（1）错误. 对于（2），，画出草图：如图 根据图象可知：中有一个零点，故（2）说法正确； 对于（3），要保证在上恒成立，即：保证在上恒成立，，可得在上恒成立，故只需，令，当时，，当时，，当，. ，故（3）说法正确. 对于（4），根据，单调递增， ，单调递减，，可得，又，， 根据，，故 ，故（4）说法正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，考察了分析能力和计算能力，属于难题. 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【小问1详解】 因为，边化角可得， ， 即， 又因为， 且， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，， 所以，即，所以， 所以的面积为. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 18. 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． （1）若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）． 【答案】（1）分布列见解析，期望为3.1； （2）0.48 【解析】 【分析】（1）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望； （2）设出事件，并计算出对应事件的概率，利用条件概率公式进行求解. 【小问1详解】 X的可能取值为2,3,4， ，，， 故分布列如下： 2 3 4 0.4 0.1 0.5 数学期望为； 【小问2详解】 设比赛一共进行五局，第一局是乙胜为事件， 比赛一共进行五局，甲最终获胜为事件， 则事件表示第一局乙胜，剩下四局均为甲胜， 其中事件包含三种情况，①第二，三，四局中，乙胜一局，平两局，第五局乙胜， ②第二，三局中，乙胜一局，甲胜一局，第四，五局乙胜，③第二，三，四，五局甲胜， 则， 其中， 故 19. 已知函数（其中，）的最大值为2，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为． （1）求，的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由得最大值为，解得，由的最小值为得函数周期为，求出作答. （2）由（1）结合已知得，再由二倍角公式、诱导公式求解作答． 【小问1详解】 依题意，，于是得最大值为，即，而，解得， 因此，， 显然函数的周期，即，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，则，即， 而， 所以 20. 已知曲线在点处切线方程为，其中为常数． （1）①求的值；②证明：只有一个零点． （2）若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）①，； ②证明：由①知，， 记，则， 所以在上单调递增， 又， 所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 故函数只有一个零点． （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，求函数的导数，由导数的几何意义即可求解；②由①知，，记，由导数研究函数的单调性进行求解； （2）因为存在正实数，使得成立，即存在正实数，使得成立．令，则，由单调性求出，即可求解． 【小问1详解】 ①由题意得，， 则，解得． 易得，则， 因为点在直线上， 所以，解得． ②略 【小问2详解】 因为存在正实数，使得成立， 所以存在正实数，使得成立， 即存在正实数，使得成立． 令，则， 由（1）②知，有唯一解在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以． 由，得，即， 即，亦即． 易得在上单调递增， 由，得，所以，即， 所以， 故，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市双菱中学2024-2025学年度第二学期高二第三次阶段性检测 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题；，则是的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 设，若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（ ） A. 530 B. 502 C. 503 D. 505 9. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 11. 已知多项式，则______． 12. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为______． 13. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示） 14. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为_______． 15. 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是________. （1）在处取得极小值，极小值为 （2）只有一个零点 （3）若在上恒成立，则 （4） 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 18. 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． （1）若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）． 19. 已知函数（其中，）的最大值为2，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为． （1）求，的值； （2）若，求的值． 20. 已知曲线在点处切线方程为，其中为常数． （1）①求的值；②证明：只有一个零点． （2）若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $