4.4探索三角形相似的条件同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，点P在边上，则在下列条件中，不能证明相似的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 4．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 6．若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 7．如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是，，，若按图中标注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（　　） A． B． C． D． 9．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，在线段BD上有一点P，使得和相似，则满足条件的点P的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 12．如图，是半圆的直径，，是半圆上任意两点，连结，，与相交于点，要使与相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 14．现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 15．如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 16．如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 17．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 三、解答题 18．如图，在中，点、分别在边、上，且．求证：∽． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB． 20．在中，，，点是边上一点，过点作，交于点，求证：． 21．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 22．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 23．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 24．如图，在中，，交于点O，则图中与相似的三角形共有多少个？请你写出来． 《4.4探索三角形相似的条件》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B D A B D B C 题号 11 12 答案 B D 1．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键． 【详解】解：A．当时， ， ，故A不符合题意； B．当时， ， ，故B不符合题意； C．当时，即， 而， ∴所以不能判定和相似，故C符合题意． D．当时， ∵， ，故D不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 3．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，，， ∴，， A选项中三角形各角的度数不能确定， B选项中三角形各角的度数分别为，， C选项中三角形各角的度数分别为，，， D选项中三角形各角的度数分别为，，， ∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．本题根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、的角可能是顶角，也可能是底角，没有交代清楚，不能判定两个图形相似，不符合题意； B、有一个角是的三角形没指明是等腰三角形，不能判定两个图形相似，不符合题意； C、等腰三角形没有交代顶角相等或底边比等于腰的比，不能判定两个图形相似，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形可根据两角对应相等可判定两个图形相似，符合题意． 故选D． 6．A 【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断． 【详解】 ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定条件，熟练掌握对应边长度成比例的三角形相似是本题的解题关键． 7．B 【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：， 当时，，故A不合题意； 当时，，故C不合题意； 当时，，故D不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．D 【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据“两边对应成比例及其相等的两三角形相似”进行逐一判定即可求解，找出对应边是解题的关键． 【详解】解：A.因为，，所以两三角形相似，故不合题意； B.因为，，所以两三角形相似，故不合题意； C.因为，，所以两三角形相似，故不合题意； D.因为或，，所以两三角形不相似，故合题意； 故选：D． 9．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：A、，， ，，故A能判定； B、，， ，故B能判定； C、， ． 且， 由已知条件无法判定两三角形相似，故C不能判定 D、， ． 且， 根据两边成比例夹角相等两三角形相似，故D能判定， 故选：C． 11．B 【分析】分两种情况讨论，当或时，和相似，列出等式求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∵， ∴， ∴当或时， 和相似， 当时， 则， 解得； 当时， 则， 解得， ∴或6， ∴满足条件的点P的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 12．D 【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定． 【详解】解：，， ，故A选项正确； ， ， ， ， ，故B选项正确； ， ， ，故C选项正确； ， ， ， 与不相似，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；也考查了圆周角定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 13．1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 14．不一定 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． 15．（答案不唯一） 【分析】添加“”，理由：设，则，再由勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】解：添加“”，理由： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 16．（答案不唯一） 【分析】和有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用和的公共角是关键． 17．6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 18．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论． 【详解】证明：， ， 又， ∽． 19．见解析 【分析】根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可． 【详解】证明：在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠BED，∠ADE=∠B， ∴∠DEB=∠ADC， 在△ADC和△DEB中，∠ADC=∠DEB，∠C=∠B， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC是解题的关键． 20．见解析 【分析】先判断为等腰直角三角形得到，再利用三角形内角和得到，利用平角定义得到，则，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【详解】证明：如图所示： ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟记有两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 21．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 23．证明见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】证明：、， ， 又， ， ． 24．一共有3个，分别是：，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 利用两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后利用有两个角相等的三角形相似进行判定即可． 【详解】解：∵， , ； ∵， , ， ， ； ， ， ； 所以，与相似的三角形一共有3个，分别是：，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$