第二十二章 二次函数 单元测试-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 单元测试-2025-2026学年人教版九年级上册数学 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．把方程 化成 的形式，下列变形确的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线 B．的最小值为 C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 3．下列抛物线中，与抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线经过平移后得到，其平移方法是（　　） A．向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C．向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D．向左平移2个单位，再向上平移5个单位 5．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论： ①；②，为抛物线上的两点，则；③当时，有；④抛物线与x轴的另一个交点是． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 6．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x 3.5 2.08 0.82 A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象经过点A，且当时，y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题（共6小题，共24分） 9．抛物线的对称轴是　 　． 10．若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是　 　. 11．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为　 　． 12．已知抛物线为与关于原点对称，我们称为与互为“和谐抛物线”，请写出抛物线的“和谐抛物线”． 13．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是　 　米． 14．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为　 　米． 三、解答题（共6小题，共44分） 15．已知二次函数，确定抛物线的开口方向和顶点坐标； 16．已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点 （1）求k的取值范围 （2）若抛物线的图象经过点，求k值． 17．已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）若点（其中）在抛物线上，求的值． 18．如图，已知二次函数经过点和点， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 19．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%） 20．在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 单元测试-2025-2026学年人教版九年级上册数学 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．把方程 化成 的形式，下列变形确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 移项得： ， 配方得： ， ， 故答案为：B． 【分析】利用配方法求解即可。 2．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线 B．的最小值为 C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵二次函数， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，故不符合题意； B、当时，有最小值，故 不符合题意； C、当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故不符合题意； D、根据平移的规律，的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，故选项符合题意． 故选：． 【分析】根据题意，把二次函数化成顶点式可判定，选项，根据图象开口，增减性可判定选项，根据图象的平移可判定选项，由此即可求解，其中掌握二次函数顶点式，对称轴的计算，增减性，平移的性质即可求解．． 3．下列抛物线中，与抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（-1，2），∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）2+2， ∵所求抛物线与抛物线y=-3x2+1的形状、开口方向完全相同，∴a=-3， ∴所求抛物线解析式为y=-3（x+1）2+2， 故选：A． 【分析】由条件可设出抛物线的顶点式y=a（x+1）2+2，再由已知可确定出其二次项系数，则可求得抛物线解析式y=-3（x+1）2+2. 4．抛物线经过平移后得到，其平移方法是（　　） A．向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C．向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D．向左平移2个单位，再向上平移5个单位 【答案】C 【解析】【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5单位长度，可得到抛物线． 故答案为：C 【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减（对x），上加下减（对y），即可求出答案. 5．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论： ①；②，为抛物线上的两点，则；③当时，有；④抛物线与x轴的另一个交点是． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， 即． 故结论①正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 由抛物线的对称性可知，当与时对应的函数值相同， ． 故结论②正确，符合题意； 由图象可知，当时，． 故结论③正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点是． 故结论④不正确，不符合题意． 故答案为：D 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案. 6．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x 3.5 2.08 0.82 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：方程的一个根是函数的图象与轴的一个交点的横坐标， 即关于函数，时，的取值， 由表格可知：当时，函数的值最接近0， 方程的近似解是， 故答案为：C 【分析】根据方程的一个根是函数的图象与轴的一个交点的横坐标，再找到表格中的值最接近0的数即可求出答案. 7．已知二次函数的图象经过点A，且当时，y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 二次函数， ∴ 二次函数对称轴为直线x=2 ∵ 当时，y随x的增大而减小， ∴ a＞0 A：若点（-1，-1）在二次函数上，得y=a(-1-2)2=-1，则a=，与以上分析不符，则A选项错误，不合题意； B：若点（0，2）在二次函数上，得y=a(0-2)2=2，则a=，与以上分析相符，则B选项正确，符合题意； C：若点（1，-2）在二次函数上，得y=a(1-2)2=-2，则a=-2，与以上分析不符，则C选项错误，不合题意； D：若点（3，-4）在二次函数上，得y=a(3-2)2=-4，则a=-4，与以上分析不符，则D选项错误，不合题意； 故答案为B 【分析】本题考查二次函数的增减性，结合二次函数的开口方向和对称轴两个方面来确定。根据二次函数可得对称轴，结合增减性，可得a＞0，把各选顶点坐标代入函数，求出a值与范围比对，可得正确答案。 8．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下， ∴a<0， ∵二次函数的对称轴在y轴的右侧， ∴b>0， ∴点在第二象限， 故答案为：B. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a<0，b>0，再利用点坐标与象限的关系分析求解即可. 二、填空题（共6小题，共24分） 9．抛物线的对称轴是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线， 故答案为：直线． 【分析】二次函数的对称轴为：直线，据此求解． 10．若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是　 　. 【答案】-2 【解析】【解答】解：∵ 函数（m是常数）是二次函数 ∴ 2-m≠0， ∴ m≠2，m=±2 ∴ m=-2 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题关键。①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．据此可得答案。 11．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意， ∵将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度， ∴所得抛物线解析式为：； 故答案为：． 【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出答案. 12．已知抛物线为与关于原点对称，我们称为与互为“和谐抛物线”，请写出抛物线的“和谐抛物线”． 【答案】解：∵， ∴抛物线的“和谐抛物线”为： 即， 【解析】【分析】先将抛物线进行配方，后根据 “和谐抛物线”定义即可求出答案. 13．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是　 　米． 【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴点K的坐标是， 把代入得， 解得， ∴， ∵门的高度为1.5米，， ∴点S和点T的纵坐标均为1.5， 当时，， 解得，， ∴ 则， 即横梁的长度是米． 故答案为： 【分析】根据OK的值，可求出K的坐标；然后再把K的坐标代入，求出b的值，进而求出抛物线的解析式；然后再根据和门的高度，可求出T和S的纵坐标；当y=1.5时，求出S和T的坐标，进而即可求出ST的长。 14．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为　 　米． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得，点， 设抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 即抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得：（米， 则在距离水面2米处桥拱宽度为米， 故答案为：． 【分析】由题意得点，设抛物线的表达式为：，再根据待定系数法将点（0，0）代入表达式可得抛物线的表达式为：，再将y=2代入表达式即可求出答案. 三、解答题（共6小题，共44分） 15．已知二次函数，确定抛物线的开口方向和顶点坐标； 【答案】解：因为二次函数解析式为， 所以二次函数开口向下，且顶点坐标为． 【解析】【分析】根据及把二次函数解析式化为顶点式，即可确定抛物线的开口方向和顶点坐标 16．已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点 （1）求k的取值范围 （2）若抛物线的图象经过点，求k值． 【答案】（1）解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点， ∴抛物线与轴一个交点，与轴两个交点， ∴方程有两不等实数根， ∴， 解得 （2）解：把代入得， 解得， 由（1）可得， ∴． 【解析】【分析】（1）先根据题意分析出抛物线与轴一个交点，与轴两个交点，再利用一元二次方程根的判别式可得，再求出k的取值范围即可； （2）将点（1，1）代入可得，再求出k的值即可. 17．已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）若点（其中）在抛物线上，求的值． 【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，∴ ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线对称轴为：，∴，解得：． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：． ∵点在抛物线上，∴． 原式，将代入可得， 原式 ， ∴的值为． 【解析】【分析】（1）将点（0，-3）代入解析式求出c的值，再利用二次函数的对称轴公式可得，再求出b的值即可； （2）将点P代入解析式求出，再将其代入求解即可. 18．如图，已知二次函数经过点和点， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【答案】（1）解：将和点代入二次函数得：，解得：， 所以二次函数解析式为：． （2） （3）解：当时，，解得，所以，所以． 所以． 【解析】【解答】（2）解：因为当时，的图象在的下方，所以不等式的解集为：． 【分析】（1）将和两个点代入二次函数可列出关于和的方程，解方程，再代入解析式，利用待定系数法求解即可． （2）根据二次函数图象可得出结论． （3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论． （1）将和点代入二次函数得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：． （2）∵当时，的图象在的下方， ∴不等式的解集为：． （3）当时，， 解得， ∴， ∴． ∴． 19．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%） 【答案】（1）解：根据题意可得： w＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000； ∴w与x之间的函数关系式为：w＝﹣50x2+5500x﹣140000； （2）解：由题意可得： ， 解得40≤x≤52， ∵a＝﹣50＜0， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝55， ∴当40≤x≤52时，w随x的增大而增大， ∴当 x＝52 时，w的最大值为：w＝（52﹣40）[500+50×（60﹣52）]＝10800（元）， 答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元． 【解析】【分析】（1）基本关系：销售量的增加量=降价的数量×50，每件的利润=销售价格-进价，据此建立二次函数； （2）销售单价不低于成本，可得一个不等式； 销售利润率不高于30%， 又可得一个不等式，建立不等式组求出自变量的取值范围，再利用二次函数的性质解即可。 20．在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？ 【答案】解：点A的坐标为，顶点为B(4，3)． 设抛物线的表达式为， 点A在抛物线上， ， 解得． 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合实际，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 【解析】【分析】设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入解析式求出a的值可得，再将y=0代入解析式求出x的值即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 单元测试-2025-2026学年人教版九年级上册数学 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．把方程 化成 的形式，下列变形确的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线 B．的最小值为 C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 3．下列抛物线中，与抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线经过平移后得到，其平移方法是（　　） A．向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C．向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D．向左平移2个单位，再向上平移5个单位 5．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论： ①；②，为抛物线上的两点，则；③当时，有；④抛物线与x轴的另一个交点是． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 6．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x 3.5 2.08 0.82 A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象经过点A，且当时，y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题（共6小题，共24分） 9．抛物线的对称轴是　 　． 10．若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是　 　. 11．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为　 　． 12．已知抛物线为与关于原点对称，我们称为与互为“和谐抛物线”，请写出抛物线的“和谐抛物线”． 13．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是　 　米． 14．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为　 　米． 三、解答题（共6小题，共44分） 15．已知二次函数，确定抛物线的开口方向和顶点坐标； 16．已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点 （1）求k的取值范围 （2）若抛物线的图象经过点，求k值． 17．已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）若点（其中）在抛物线上，求的值． 18．如图，已知二次函数经过点和点， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 19．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%） 20．在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$