精品解析：广西崇左市广西大学附属中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

崇左市广西大学附属中学高二年级开学考试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分） 1. 某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 98.5 D. 111 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求得正确答案. 【详解】数据从小到大排序为：35、53、54、58、72、80、85、86、111、125， ，所以第80百分位数是. 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的线性运算即可求得. 【详解】由图知，. 故选：C. 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为事件和相互独立，, 故， 所以. 故选：A. 5. 我国唐朝诗人白居易描写西湖的美景诗云：“乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄．最爱湖东行不足，绿杨阴里白沙堤．”十一假期间小明准备从苏堤春晓、平湖秋月、柳浪闻莺、花港观鱼、双峰插云五个景点中选择两个景点游玩，则苏堤春晓、平湖秋月景点都没被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型求解概率． 【详解】五个景点中选两个的基本事件总个数为， 苏堤春晓、平湖秋月景点都没被选中的基本事件个数为， 故所求概率为． 故选：A. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 二、多选题（每题6分） 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 11. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，则（ ） A. 若，且有两解，则的取值范围为 B. 若，为中点，则的取值范围为 C. 若，且为钝角三角形，则的取值范围为 D. 的面积为，若，则为等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理，由三角形有两解时的范围，确定的范围；对于B，利用线段中点的向量关系和余弦定理得出与的关系，由基本不等式确定范围；对于C，分、、为钝角的三种情况，利用余弦定理和三角形三边关系可求的范围；对于D，将面积公式代入已知条件，结合余弦定理化简，判断三角形形状. 【详解】对于A，已知，，且有两解，由正弦定理可知，当，即时，有两解，解得，故A错误； 对于B，因为中点，则，两边平方得: . 由余弦定理,，即.则得. 又因（当且仅当时取等号），解得. 故，即，则，故B正确； 对于C，已知，，当为钝角时，，即，无解，即不可能为钝角； 当为钝角时，，即，解得； 当为钝角时，，即，解得. ，即，故，故C错误； 对于D，已知，，因，则，即. 由余弦定理，，代入上式，可得，解得，即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将正四面体放置在正方体中，由此可得正方体的内切球即满足条件的球，根据正方体的性质求球的半径，结合球的表面积公式求结论.. 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处， 如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 【答案】（1）； （2）众数、平均数依次为62分、65分； （3）学生甲能得到奖励，理由：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图求样本数据的众数和平均数即可； （3）根据已知求出对应分位数，判断甲的分数所在的位置，即可得结论. 【小问1详解】 由直方图知，所以； 【小问2详解】 平均值为：分，众数为：分； 【小问3详解】 略 16. 已知曲线C：的两条相邻对称轴间的距离为 （1）求的值和的单调区间； （2）先将C向右平移个单位长度得到曲线，再把上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到曲线：，求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出的值和函数的单调区间； （2）利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步求出函数的值域． 【小问1详解】 ， 由于两条相邻对称轴间的距离为，故函数的最小值正周期为， 所以； 故函数； 令，整理得：， 故函数的单调递增区间为 令，整理得， 故函数的单调递减区区间为 【小问2详解】 先将C向右平移个单位长度得到曲线的函数图象，再把上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到曲线：的图象． 由于， 所以， 故，故， 当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 18. 如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 【点睛】 19. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是. （1）试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）； （2）求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）丙最终获胜的概率大于 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求出甲最终获胜的概率，又由甲、乙最终获胜的概率相等，利用对立事件概率公式求解丙最终获胜的概率，即可判断. （2）利用独立事件乘法公式直接求解即可. （3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求出甲最终获胜的概率，又由甲、乙最终获胜的概率相等，利用对立事件概率公式求解即可. 【小问1详解】 丙最终获胜的概率大于. 设甲最终获胜为事件N，则甲最终获胜的概率为 . 又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为. 易知，所以丙最终获胜的概率大于. 【小问2详解】 设甲输为事件A，乙输为事件B，丙输为事件C， 通过4场比赛决出胜负且甲最终获胜即甲连胜四局，故所求的概率为. 【小问3详解】 设甲最终获胜为事件N，则甲最终获胜的概率为 . 又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇左市广西大学附属中学高二年级开学考试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分） 1. 某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 98.5 D. 111 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 5. 我国唐朝诗人白居易描写西湖的美景诗云：“乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄．最爱湖东行不足，绿杨阴里白沙堤．”十一假期间小明准备从苏堤春晓、平湖秋月、柳浪闻莺、花港观鱼、双峰插云五个景点中选择两个景点游玩，则苏堤春晓、平湖秋月景点都没被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（每题6分） 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 11. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，则（ ） A. 若，且有两解，则的取值范围为 B. 若，为中点，则的取值范围为 C. 若，且为钝角三角形，则的取值范围为 D. 的面积为，若，则为等腰三角形 三、填空题（每题5分） 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 四、解答题 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 16. 已知曲线C：的两条相邻对称轴间的距离为 （1）求的值和的单调区间； （2）先将C向右平移个单位长度得到曲线，再把上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到曲线：，求在区间上的最大值与最小值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 18. 如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值. 19. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是. （1）试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）； （2）求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $