2.1直线的倾斜角与斜率讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§2.1 直线的倾斜角与斜率 目录 考法1：求直线斜率 3 考法2：倾斜角与斜率的转化 4 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 5 考法4：斜率公式的应用 6  求参数的取值范围 6  解决三点共线问题 6  求函数最值（范围） 7  比较大小 7 考法5：两条直线平行和垂直的判定 8 考法6：两条直线平行与垂直的应用 9  求参数 9  解决平面几何问题 9 1. 直线的倾斜角 当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。因此，直线的倾斜角的取值范围为. 2. 直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母表示，即. 倾斜角 直线 与x轴平行或重合 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 斜率 不存在 · 倾斜角是 90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 3. 经过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式. · 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则，那么斜率为的直线的一个方向向量可以为. 4. 两点直线平行的判定 (1) 若两条直线（不重合）中有一条直线没有斜率，则当另一条直线也没有斜率时，即两条直线的倾斜角都是，它们互相平行. (2) 对于斜率分别为的两条直线，有. · (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在分别为；②与不重合； · (2)或与重合. · (3)或与的斜率都不存在. 5. 两点直线垂直的判定 (1) 若两条直线中有一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0，即一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为时，两条直线互相垂直. (2) 对于斜率分别为的两条直线，有. 考法1：求直线斜率 方法提炼 1. 求直线斜率的方法 (1) 定义法:已知直线的倾斜角或的某个三角函数值时,常根据直线斜率的定义k=tan来求斜率. (2) 公式法：若直线过两点，且，则斜率. (3) 如果直线沿轴负方向平移m个单位长度,再沿y轴正方向平移n个单位长度后,又回到原来的位置,求直线的斜率。此类题可通过平移前与平移后的两个方程的同一性,进行相应系数的比较求得结果。 2. 直线斜率的的变化规律： 当时，直线越陡越大； 当时，直线越平缓越大. 【例1.1.】 已知点，，则直线AB的斜率 . 【例1.2.】 直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【例1.3.】 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　） A． B．- C．2 D．-2 【例1.5.】 在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 考法2：倾斜角与斜率的转化 方法提炼 当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时，斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时,斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在)。 【例2.1.】 （多选）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【例2.2.】 （多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知两点，，若实数，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 方法提炼 已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线与线段AB有交点的情况下直线的斜率的取值范围。若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为: (1) 连接PA,PB; (2) 由求出; (3) 结合图形即可写出满足条件的直线的斜率的取值范围。 【例3.1.】 已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【例3.2.】 已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【例3.4.】 已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考法4：斜率公式的应用 · 求参数的取值范围 【例4.1.】 经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【例4.3.】 已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． · 解决三点共线问题 方法提炼 证明三点共线有很多方法,如利用(距离法),而证明已知坐标的三点共线,利用斜率是最简单的方法,如直线AB,BC的斜率相等,则A,B,C三点共线;反过来,若A,B,C三点共线,则直线AB,BC的斜率相等(斜率存在时)或直线AB,BC的斜率都不存在。 【例4.4.】 斜率为2的直线过，，三点，则 ． 【例4.5.】 若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 一束光线从点射入，经过x轴上的点P反射后，经过点，则点P的坐标为 · 求函数最值（范围） 方法提炼 可将看成动点P(x,y)与定点所在直线的斜率,从而将求代数式的最大 (小)值问题转化为求直线的斜率的最大(小)值问题,即将代数问题转化为几何问题来处理. 【例4.7.】 已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【例4.8.】 已知实数满足，则的最大值为 ． · 比较大小 方法提炼 对于含有分式结构的一些不等式,只要与过两点的斜率公式在结构上类似，可以考虑其几何意义,用斜率作答。 【例4.9.】 三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（   ） A．，，中最大的是 B．，，中最大的是 C．，，中最大的是 D．，，中最小的是 【例4.10.】 已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考法5：两条直线平行和垂直的判定 【例5.1.】 已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【例5.2.】 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【例5.3.】 （多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 考法6：两条直线平行与垂直的应用 · 求参数 方法提炼 由两条直线平行、垂直求参数的值,一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率,利用斜率相等、斜率之积为-1求解。但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的特殊情况。 【例6.1.】 已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【例6.2.】 （多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【例6.3.】 （多选）已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是（ ） A．－4 B．－3 C．3 D．4 【例6.4.】 已知点，点在轴上，且，则点的坐标为 A． B． C． D． 【例6.5.】 在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． · 解决平面几何问题 方法提炼 由已知点的坐标判断图形形状的一般步骤: 第一步:在平面直角坐标系内画出图形，根据所画图形作出直观猜想; 第二步:求出各边所在直线的斜率,判断边的平行或垂直关系; 第三步:确定几何图形的形状。 【例6.6.】 顺次连接点，，，所构成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【例6.7.】 已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为 ． 【例6.8.】 已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.1 直线的倾斜角与斜率 目录 考法1：求直线斜率 3 考法2：倾斜角与斜率的转化 6 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 8 考法4：斜率公式的应用 11  求参数的取值范围 11  解决三点共线问题 13  求函数最值（范围） 14  比较大小 15 考法5：两条直线平行和垂直的判定 17 考法6：两条直线平行与垂直的应用 19  求参数 19  解决平面几何问题 22 1. 直线的倾斜角 当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。因此，直线的倾斜角的取值范围为. 2. 直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母表示，即. 倾斜角 直线 与x轴平行或重合 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 斜率 不存在 · 倾斜角是 90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 3. 经过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式. · 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则，那么斜率为的直线的一个方向向量可以为. 4. 两点直线平行的判定 (1) 若两条直线（不重合）中有一条直线没有斜率，则当另一条直线也没有斜率时，即两条直线的倾斜角都是，它们互相平行. (2) 对于斜率分别为的两条直线，有. · (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在分别为；②与不重合； · (2)或与重合. · (3)或与的斜率都不存在. 5. 两点直线垂直的判定 (1) 若两条直线中有一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0，即一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为时，两条直线互相垂直. (2) 对于斜率分别为的两条直线，有. 考法1：求直线斜率 方法提炼 1. 求直线斜率的方法 (1) 定义法:已知直线的倾斜角或的某个三角函数值时,常根据直线斜率的定义k=tan来求斜率. (2) 公式法：若直线过两点，且，则斜率. (3) 如果直线沿轴负方向平移m个单位长度,再沿y轴正方向平移n个单位长度后,又回到原来的位置,求直线的斜率。此类题可通过平移前与平移后的两个方程的同一性,进行相应系数的比较求得结果。 2. 直线斜率的的变化规律： 当时，直线越陡越大； 当时，直线越平缓越大. 【例1.1.】 已知点，，则直线AB的斜率 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式计算即得. 【详解】由点，，得直线AB的斜率. 故答案为： 【例1.2.】 直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 【例1.3.】 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义 【分析】根据图象，由斜率的定义求解. 【详解】解：由图象知：， 故选：A 【例1.4.】 已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　） A． B．- C．2 D．-2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解． 【详解】设点是直线上的一点， 将点右平移4个单位长度， 再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上， 则直线的斜率． 故选：B． 【例1.5.】 在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】在坐标系中描点连线判断出为等腰三角形，得出角平分线所在直线的斜率即为中线的斜率，即可求解． 【详解】如下图：在平面直角坐标系中，描出，   ，， 所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线， 边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：， 故答案为：． 考法2：倾斜角与斜率的转化 方法提炼 当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时，斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时,斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在)。 【例2.1.】 （多选）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 【例2.2.】 （多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 【例2.3.】 设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围. 【详解】由于，所以， 又，所以. 故选：D 【例2.4.】 已知两点，，若实数，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【解析】先求出直线AB的斜率，得出k的范围，进而得出倾斜角正切值的范围，即可求出倾斜角范围. 【详解】，， 直线AB的斜率为， ，， 即，且， 倾斜角的取值范围为. 故选：B. 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 方法提炼 已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线与线段AB有交点的情况下直线的斜率的取值范围。若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为: (1) 连接PA,PB; (2) 由求出; (3) 结合图形即可写出满足条件的直线的斜率的取值范围。 【例3.1.】 已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 【例3.2.】 已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解. 【详解】如图所示， ， 因为为的边上一动点， 所以直线斜率的变化范围是. 故选：D. 【例3.3.】 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 【例3.4.】 已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 考法4：斜率公式的应用 · 求参数的取值范围 【例4.1.】 经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率公式的应用、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C 【例4.2.】 过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【详解】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 【例4.3.】 已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. · 解决三点共线问题 方法提炼 证明三点共线有很多方法,如利用(距离法),而证明已知坐标的三点共线,利用斜率是最简单的方法,如直线AB,BC的斜率相等,则A,B,C三点共线;反过来,若A,B,C三点共线,则直线AB,BC的斜率相等(斜率存在时)或直线AB,BC的斜率都不存在。 【例4.4.】 斜率为2的直线过，，三点，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由两点间的斜率公式代入计算解出，可得结果. 【详解】由题意可得， 解得，， 所以可得． 故答案为：1 【例4.5.】 若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 【例4.6.】 一束光线从点射入，经过x轴上的点P反射后，经过点，则点P的坐标为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据入射光线经过点A，知点A关于x轴的对称点在反射光线的反向延长线上，， 三点在同一条直线上，利用斜率相等即可求解. 【详解】因为入射光线经过点A，所以点A关于x轴的对称点在反射光线的反向延长线上，设点P的坐标为.易知点的坐标为，则， 三点在同一条直线上，所以即解得，所以点P的坐标为. · 求函数最值（范围） 方法提炼 可将看成动点P(x,y)与定点所在直线的斜率,从而将求代数式的最大 (小)值问题转化为求直线的斜率的最大(小)值问题,即将代数问题转化为几何问题来处理. 【例4.7.】 已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】我们只要把看作动点与定点的斜率，就可以结合图象得到范围. 【详解】当点与重合，则，代入得， 当点与重合，则，代入得， 我们把看作动点与定点的斜率， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知， 故答案为：. 【例4.8.】 已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】求分式型目标函数的最值、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 · 比较大小 方法提炼 对于含有分式结构的一些不等式,只要与过两点的斜率公式在结构上类似，可以考虑其几何意义,用斜率作答。 【例4.9.】 三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（   ） A．，，中最大的是 B．，，中最大的是 C．，，中最大的是 D．，，中最小的是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、斜率公式的应用 【分析】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则为中点与原点连线的斜率；进而得到答案． 【详解】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数， 则为线段中点与原点连线的斜率， 故中最大的是. 故选：B. 【例4.10.】 已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示.    由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 考法5：两条直线平行和垂直的判定 【例5.1.】 已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、既不充分也不必要条件 【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解. 【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者， 若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者， 故前者是后者的既非充分条件也非必要条件， 故选：D. 【例5.2.】 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 【例5.3.】 （多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 考法6：两条直线平行与垂直的应用 · 求参数 方法提炼 由两条直线平行、垂直求参数的值,一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率,利用斜率相等、斜率之积为-1求解。但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的特殊情况。 【例6.1.】 已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 【例6.2.】 （多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、已知斜率求参数、已知直线垂直求参数 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 【例6.3.】 （多选）已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是（ ） A．－4 B．－3 C．3 D．4 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】求出直线斜率，分类讨论，分斜率为0和不为0讨论． 【详解】设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－. 若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意； ②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝. 由k1k2＝－1，可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.所以当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 故选：AC． 【例6.4.】 已知点，点在轴上，且，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直、直线的斜率 【详解】由题意设 ，又 ，∴ ，∵ ，∴ ，解得： ．∴点 的坐标为 或 ．故选C． 【例6.5.】 在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】/（0.5） 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可. 【详解】设横坐标为，且由题意得， 与相互垂直，，解得,故, 故答案为： · 解决平面几何问题 方法提炼 由已知点的坐标判断图形形状的一般步骤: 第一步:在平面直角坐标系内画出图形，根据所画图形作出直观猜想; 第二步:求出各边所在直线的斜率,判断边的平行或垂直关系; 第三步:确定几何图形的形状。 【例6.6.】 顺次连接点，，，所构成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.85 【解析】由四个点的坐标可求出，，， 根据斜率关系以及线段的长度，即可得结果. 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形. 故选：A 【例6.7.】 已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为 ． 【答案】，3或 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数 【分析】结合斜率公式，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】解：，，． 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 综上所述，m的值为，3或． 故答案为：，3或 【例6.8.】 已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 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