6.1 几何图形 讲义 2025--2026学年人教版七年级数学上册

6.1 几何图形 目录 题型01 认识平面图形与立体图形 9 题型02 正方体的展开图 11 题型03 几何体的展开图 13 题型04 三视图 15 题型05 点、线、面、体 17 题型06 正方体相对两个面上的文字 19 建体系 新知廊 知识点1：几何图形 1．几何图形 几何图形是从物体外形中抽象出的各种图形，分为立体图形和平面图形． 【注意】物体的形状（如方的、圆的）、大小（如长度、面积、体积）和位置（如平行、垂直、相交）是几何研究的内容．颜色、材质、质量等性质不是几何研究的内容． 2．立体图形 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形． 常见的立体图形如下表： 类型 名称 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆，侧面是曲面，且上下两个底面相互平行 两个底面互相平行 棱柱 底面是圆，侧面都是四边形，且上下两个底面相互平行 锥体 圆锥 底面是圆，侧面是曲面，且只有一个顶点 只有一个顶点 棱锥 底面是圆，侧面都是三角形，且只有一个顶点 各侧面有一个公共点 球体 球体 表面是曲面 3．平面图形 有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形． 常见的平面图形如下： 【注意】立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但他们是互相联系的．任何一个立体图形图形是由一个或几个平面图形围成的． 知识点2：从不同方向看立体图形 1．从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．为了研究立体图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看． 从前面看 从左面看 从上面看 2．从不同方向看立体图形： （1）从各个方向看立体图形得到的都是一个平面图形． （2）画平面图形时，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线． （3）如果立体图形摆放的位置、角度不同，得到的平面图形也可能不同． （4）根据观察立体图形所得的平面图形，也可以判断立体图形的形状，这是逆推思想． 知识点3：立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 1．正方体展开图，共11种图形． （1）“141”型（6种） （2）“231”型（3种） （3）“222”型（1种） （4）“33”型（1种） 【注意】任选一种正方体的展开图，旋转一定角度或翻折，都与其他展开图不可能完全重合，即正方体的展开图彼此是独立的、不同的图形． 正方体的展开图中没有“L”形、“田”字形和“凹”字形，也不能出现四个以上的正方形排成一排（即“一线不过四”）的情况．如下图所示的图形都不能出现在正方体的展开图中． 2．不是所有的立体图形都可以展开为平面图形．如球的表面就不能展开为平面图形． 3．同一个立体图形，按不同方式展开，可以得到不同的展开图． 4．立体图形中相对的两个面在展开图中既没有公共边，也没有公共点． 知识点4：点、线、面、体的概念 1．体：长方体、正方体、圆柱体、球、圆锥、棱柱、棱锥等都是几何体．几何体也简称体． 2．面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． 如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面． 如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面． 如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面． 3．线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线，长方体的6个面都是平面，面面相交成直线． 圆锥体 长方体 4．点：线与线相交的地方形成点． 知识点5：点、线、面、体之间的关系 1．点是构成图形的基本元素，点、线、面、体经过运动变化，就组成了各种各样的几何图形． 类别 示例 点动成线 如笔尖在纸上移动形成线 线动成面 如刷窗器移动形成面 面动成体 如矩形绕一边旋转形成圆柱 2．包围着体的是面，面相交的地方形成线，线相交的地方是点． 知识点6： 1．常见的几种几何体的表面积的计算公式： （1）圆柱体表面积：2πR2+2πRh（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） （2）圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） （3）长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） （4）正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）． 2．常见的几种几何体的体积的计算公式： （1）圆柱体体积：πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）． （2）圆锥体体积：（r为圆锥体底面圆半径，h为其高）． （3）长方体体积：abh（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）． （4）正方体体积：a3（a为正方体棱长）． （5）球体体积：（r为球体的半径）． 求甚解 1．立体图形和平面图形的区别与联系 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一个平面内，如长方体的每个面都是矩形 各部分不都在同一个平面内 （没有薄厚之分，不存在体积之说） 联系 立体图形中某些部分是平面图形．研究立体图形时，常转化为平面图形问题解决 2．根据展开图判断立体图形形状的方法： （1）展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； （2）展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥； （3）展开图中有长方形（或正方形）和圆时，要考虑圆柱； （4）展开图中有扇形时，要考虑圆锥． 3．判断一个平面图形能否折叠成立体图形的方法： （1）看面数够不够； （2）看各面的位置是否合适，尤其是底面的位置（如本题长方体的展开图中，两个底面不可能位于同一侧，故乙不是长方体的展开图）； （3）看对应边的长度是否相等． 4．几何体有简单几何体和组合几何体．如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都是简单几何体．简单几何体组合在一起，就构成了组合几何体． 5．柱体及由柱体经切割后形成的几何体，它们的顶点数、棱数、面数之间有一定的关系，通过观察具体图形，可发现一般规律，应用一般规律，也可以解决其他相关的问题．图形中顶点数、棱数、面数等的规律一般是某种和、差、倍的关系． 6．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． 7．判断组合图形中正方体的个数 （1）先根据从上面和从左面看到的形状图确定层数及列数，再判断每层由多少个小正方体组成． （2）由不完整的形状图推测小正方体的个数时，先根据已知形状图判断能确定的层数和某层中小正方体的个数，对于不能确定的小正方体的个数和层数，进行分类讨论． 练题型 题型01 认识平面图形与立体图形 典型例题 典例 01 （2024秋•娄底期末）下列图形中，立体图形有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据立体图形的定义即可求解． 【解答】解：因为有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，就是立体图形， 所以题目中第二个图形和第四个图形是立体图形， 所以立体图形有2个， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•鼓楼区校级期末）我们已经认识了一些几何体与平面图形，下列几何图形中，不是几何体的是（　　） A．圆柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆 【答案】D 【分析】根据几何体与平面图形定义判断即可． 【解答】解：圆柱、三棱锥、圆锥都是几何体，圆是平面图形，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•湛江期末）下列四个立体图形中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据选项中的立体图形特点，结合棱柱的定义可得答案． 【解答】解：选项A的立体图形是棱柱，其它三个选项的立体图形不是棱柱． 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•合川区期末）下面几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面图形、立体图形的定义进行判断即可． 【解答】解：选项A、选项C、选项D分别是圆锥体、圆柱体、正方体是立体图形，因此不符合题意； 选项B是三角形，是平面图形，因此选项B符合题意； 故选：B． 题型02 正方体的展开图 典型例题 典例 02 （2024秋•青羊区期末）下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的11种展开图进行判断即可． 【解答】解：由题意，不是正方体展开图的是： 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•新城区校级期末）在下面的图形中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的展开图分析即可． 【解答】解：只有C选项不是正方体表面展开图， 故选：C． 【变式练2】　（2025•泗阳县三模）下列展开图中，是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故A选项不符合题意； 四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体， 故B选项不符合题意，D选项符合题意； C．三个连成一排的小正方形不可能围成正方体． 故选：D． 【变式练3】　（2023秋•临海市校级月考）下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项D不是正方体的表面展开图， 故选：D． 题型03 几何体的展开图 典型例题 典例 03 （2025•鼓楼区二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形能是三棱柱的展开图． 【解答】解：三棱柱的展开图是选项D． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025•新城区模拟）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（　　） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【答案】B 【分析】根据三棱柱的侧面展开图得出答案． 【解答】解：由几何体的表面展开图可知，该几何体的形状是三棱柱． 故选：B． 【变式练2】　（2025春•虹口区期末）一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（　　） A．圆柱 B．圆 C．长方体 D．球 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：1个长方形和两个圆形折叠后可以围成圆柱． 故选：A． 【变式练3】　（2025•南关区校级三模）某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】D 【分析】根据三棱柱的特点判断即可． 【解答】解：三棱柱由三个矩形的侧面和两个三角形的底面组成， 所以这是三棱柱的展开图． 故选：D． 题型04 三视图 典型例题 典例 04 （2025•市中区校级模拟）下列几何体中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答． 【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，不符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意； C、球的主视图是圆，符合题意； D、圆锥的主视图是三角形，不符合题意． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•滨州模拟）下列几何体中，其俯视图与左视图完全相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个几何体的俯视图、左视图的形状进行判断即可． 【解答】解：圆锥的俯视图是圆形，左视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意； 圆柱的俯视图是圆形，左视图是矩形，因此选项B不符合题意； 正方体的俯视图，左视图都是正方形，因此选项C符合题意； 三棱柱的俯视图是三角形，左视图是长方形，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式练2】　（2025•山东一模）如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，图中有正方体、球体、三棱柱以及圆柱体，根据三视图易得出答案． 【解答】解：A．正方体的主视图、左视图以及俯视图都是相同的，故此选项错误； B、球体的主视图、左视图以及俯视图都是相同的，故此选项错误； C、三棱柱的正视图是一个矩形，左视图也是一个矩形，但与正视图的矩形不相同，俯视图是一个三角形，故此选项错误； D、圆柱的正视图以及俯视图是相同的，因为直径相同都为矩形，故此选项正确． 故选：D． 【变式练3】　（2025•渠县校级一模）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据三视图的定义，其俯视图是．故选：C． 题型05 点、线、面、体 典型例题 典例 05 （2024秋•旺苍县期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，是属于（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据“线动成面”的意义得出答案． 【解答】解：孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，是属于线动成面， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•永年区期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【解答】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中， 雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 【变式练2】　（2025春•肇源县期末）下面（　　）图形旋转一周就会形成圆锥． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“面动成体”进行判断即可． 【解答】解：A．选项A中的图形绕轴旋转一周形成的几何体是圆柱，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形绕轴旋转一周形成的几何体是圆锥，因此选项B符合题意； C．选项C中的图形绕轴旋转一周形成的几何体是圆台，因此选项C不符合题意； D．选项D中的图形绕轴旋转一周形成的几何体是球，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•凤凰县期末）下面现象说明“线动成面”的是（　　） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 C．天空划过一道流星 D．汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹 【答案】D 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹是“面动成体”，故本选项错误； B、扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是“点动成线”，故本选项错误； C、天空划过一道流星是“点动成线”，故本选项错误； D、汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹是“线动成面”，故本选项正确． 故选：D． 题型06 正方体相对两个面上的文字 典型例题 典例 06 （2024秋•江北区期末）如图是一个正方体的展开图，则“心”字的对面的字是（　　） A．核 B．数 C．素 D．养 【答案】C 【分析】根据正方体的展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：根据正方体展开图的特征“相间、Z端是对面”可知， “心”的对面是“素”， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，是一个正方体展开图，那么在该正方体中，和“成”相对的字是（　　） A．细 B．节 C．决 D．败 【答案】A 【分析】根据正方体的张开图，解答即可． 【解答】解：若以“决”为正方体的下底面，则“败”为上底面； “节”、“定”分别为正方体的左右侧面； “成”、“细”分别为正方体的前后面； 故选：A． 【变式练2】　（2023秋•卫辉市期末）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“信”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．阳 B．光 C．诚 D．实 【答案】C 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “信”与“诚”是对面， 故选：C． 【变式练3】　（2023秋•泰山区期末）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（　　） A．化 B．传 C．文 D．色 【答案】A 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 【解答】解：由题意可知，“承”的对面是“化”． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$