精品解析： 吉林省白城市第三中学2024—2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年吉林省白城三中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 若，则等于（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，乘方运算，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用及二次根式和分式的运算，根据题意可得，且，将利用完全平方公式变形为，再利用分式加法法则结合完全平方公式整理为，最后将已知整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）m． A. 12 B. 13 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 5. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，根据勾股定理可得：， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分的面积=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，读懂图形信息、灵活应用勾股定理是解题的关键． 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. 已知，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式．将原式利用完全平方公式变形，再代入已知条件计算． 【详解】解： 当时，原式． 故答案为：4． 8. 实数，在数轴上对应位置如图所示，则．________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴的特点，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简是解题的关键． 根据数轴得到，结合因式分解，二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意，可得， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 9. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知8n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【详解】解：， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，根据题意先化简再分析，从最小的平方数开始考虑． 10. 把根号外的因式移入根号内，其结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ，即 ， 故答案为：． 11. 如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边_____． 【答案】48 【解析】 【分析】利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，， ， 故答案为：48 【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的计算是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算： （1） ； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，负整数值指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，利用平方差公式进行计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 13. 在如图所示的的网格中，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，点A的坐标为． （1）写出格点各顶点的坐标； （2）求出的周长． 【答案】（1）A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解决本题的关键． （1）根据图形结合直角坐标系直接写出各点坐标即可； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，然后再求周长即可． 【小问1详解】 解：根据坐标与图形性质可得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． 【小问2详解】 解：根据勾股定理可知：，，． 所以，的周长为． 14. 已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点D落在边的F处，已知，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质勾股定理．设，利用长方形的性质及折叠的性质可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设， 四边形是长方形，，， ，，， 由折叠可知：，， 在中，， ， ， 在中，， 即：， 解得：， 则． 15. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 【答案】（1）这个梯子的顶端距离地面； （2） 不同意，理由如下： 由题意得，，， 在中，， ， ∴， ∴， 所以梯子的顶端A下滑了，不是． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，， 在中，， ， ∴， 答：这个梯子的顶端距离地面； 【小问2详解】 略 16. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2022 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得关于a、b的不等式组，解不等式组即可求得答案； （2）把a+b的值代入所给式子，继而根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，解方程组求解x、y的值代入所求式子进行计算即可． 【小问1详解】 由题意， 由①得：a+b≥2022， 由②得：a+b≤2022， 所以a+b=2022； 【小问2详解】 ∵由（1）可知，， ∴，即：， ∴， 解之，得：， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键． 17. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b、c的值； （2）根据三角形三边关系，实数大小的比较方法，二次根式加减运算法则进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：能构成三角形，理由如下： 由（1）知：，，， ∵， ∴， ∴能构成三角形， 三角形的周长为：． 18. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）给已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值； （2）利用完全平方公式化简，把（1）的结果代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：给，两边平方得：， 则； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【点睛】此题考查了分式的混合运算、完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 19. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如下图： ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， ∴在中， ， 即 解得：， 则． 20. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：长方形的周长 答：长方形的周长是． 【小问2详解】 铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 21. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 解答下面的问题： （1）计算：___________，___________；若n为正整数，请你猜想___________． （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（或； （2）2021 （3）2023 【解析】 【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可； （2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：； （或； ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题： （1）BC边的长为________； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程； （3）当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）8 （2）t=4或t= （3）t=5或t=8或t= 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）分和两种情况讨论，分别利用勾股定理求解； （3）当PA=PB时，利用勾股定理求解t，当BA=BP时，可直接得到BP长，当AB=AP时，BP=2BC． 【小问1详解】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6， ∴BC=； 【小问2详解】 若△ABP为直角三角形： （i）∠APB=90°，此时BP=BC=8，t=8÷2=4（s）； （ii）∠BAP=90°，BP=2t，则CP=2t-8，由勾股定理得：AP=AC+PC=BP-AB， 即6+（2t-8）=（2t）-10，解得：t=； 【小问3详解】 若△ABP为等腰三角形： （i）当AB=BP时，t=5； （ii）当AB=AP时，BP=2BC=16，t=8； （iii）当BP=AP时，AP=BP=2t，CP=8-2t，AC=6，由勾股定理得：（2t）=6+（8-2t） 解得：t=． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．正确的分类讨论，熟练应用勾股定理，准确找到等量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省白城三中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则等于（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）m． A. 12 B. 13 C. 17 D. 18 5. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）     A. B. C. D. 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. 已知，则的值为______． 8. 实数，在数轴上对应位置如图所示，则．________． 9. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___． 10. 把根号外的因式移入根号内，其结果为______． 11. 如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边_____． 三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算： （1） ； （2） 13. 在如图所示的的网格中，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，点A的坐标为． （1）写出格点各顶点的坐标； （2）求出的周长． 14. 已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点D落在边的F处，已知，，求的长． 15. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 16. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 18. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 21. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 解答下面的问题： （1）计算：___________，___________；若n为正整数，请你猜想___________． （2）计算：； （3）计算：． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题： （1）BC边的长为________； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程； （3）当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $