精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期暑假自主复习检测数学试卷

人大附中2026届高三暑假自主复习检测练习 数 学 命题人：宁少华王鼎 审题人：吴中才 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简可得，结合复数虚部定义求解即可. 【详解】由题可得，所以的虚部为； 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合与，由集合交集的运算求解即可. 【详解】由，可得，解得：， 所以， 由，可得，解得：， 所以， 则. 故选：D 3. 若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，依题意得到，利用扇形的弧长公式，即可得解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开所得扇形的圆心角为， 若圆锥的顶角是钝角，则，即， 所以侧面展开所得扇形的圆心角. 故选：D. 4. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线离心率公式可得，结合双曲线渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得：， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：C 5. 为了得到的图象，只需把图象上所有点（ ） A. 纵坐标变成原来的2倍，再向右平移3个单位 B. 纵坐标变成原来的2倍，再向左平移3个单位 C. 纵坐标变成原来的，再向右平移3个单位 D. 纵坐标变成原来的，再向左平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】先对进行化简，再利用对数函数图像的变换规律进行分析即可. 【详解】，将图像上所有点的纵坐标变成原来的，就得到， 再将的图像向右平移个单位就得到. 故选：. 6. 如果正数满足，那么（ ） A. ，且等号成立时取值唯一 B. ，且等号成立时取值唯一 C. ，且等号成立时取值不唯一 D. ，且等号成立时取值不唯一 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和重要不等式逐项分析即可. 【详解】对于A、B，因为为正数，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立，故A正确，B错误； 对于C、D，，当且仅当等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立，故C、D错误. 故选：A 7. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解. 【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以，则，解得， 故选：C 8. 已知无穷数列，，则“中元素存在最小值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】取，若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故，故中元素存在最小值， 但即为单调递增数列，故无最大值. 若有最大值，不妨设最大值为，因为对任意的恒成立， 所以即中元素存在最小值为， 故“中元素存在最小值是“有最大值”的必要不充分条件， 故选：B. 9. 若函数满足如下条件， ①任意， ②存在唯一， ③存在． 则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由①得函数周期，结合②可得函数最小正周期，从而可求，再结合函数在给定范围上的单调性、对称性和二倍角的正弦公式可求的值. 【详解】因为， 故， 其中，且， 由①得，故的周期为， 若的最小正周期为，因为，故在的递增区间中， 故在上先增后减再增且， 故此时在上有两个不同的零点，这与②矛盾； 而周期为最小正周期的非零整数倍，故的最小正周期为，故， 故， 令，则图像的对称轴， 故图像在轴右侧的第一条对称轴为直线， 当时，， 又在上单调递增， 而，故在上单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减， 因为，故， 故， 故选：C. 10. 已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，利用向量的模以及数量积的坐标运算可得且，再根据向量模长的坐标运算公式计算取值范围即可. 【详解】根据题意，设，则，即， 因为，所以，即，所以. 因为，则， 所以， 又因为，即， 所以， 由可得，则的取值范围是. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．谐把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 抛物线的准线方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线标准方程可得：准线方程为， 故答案为： 12. 已知等比数列的前项和为，，，，成等差数列，，则的最小值是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得关于公比的方程，解得，再根据等比数列前项和公式计算，结合的范围即可求得其最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意，，则得，即， 整理可得，解得， 所以，即， 又因为，所以，即的最小值是11. 故答案为：11. 13. 已知，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接用二项展开式的通项可求得.用赋值法（令和），然后两式作差，可求得答案. 【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以 令, 得： ……(1) 令, 得： 即： ……(2) (1)式与(2)式作差，得：, 所以. 故答案为：； 14. 已知为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是________； ①存在使得恒成立； ②使得恒成立的存在且唯一； ③使得恒成立的存在且唯一； ④满足当时，恒成立的有无穷多个． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①由题可得为奇函数，为偶函数即可判断；对于②首先解出，令，即可解得；对于③由题可得，解方程即可求解；对于④构造函数，即可判断. 【详解】对于①，由于为定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，由于为偶函数， 所以不存在使得恒成立，故①不正确； 对于②，由于对任意都成立， 令，则，解得：， 因为为偶函数，所以，令，得， 则，解得：， 所以使得恒成立的存在且唯一，故②正确； 对于③，由于，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以，解得，， 所以使得恒成立的存在且唯一，则③正确； 对于④，由，可得，构造函数， 所以满足，，由于可以取任意非零实数， 所以满足当时，恒成立的有无穷多个，故④正确； 故答案为：②③④ 15. 如图所示多面体中为平面多边形，平面平面，平面平面，，，，． （1）_________； （2）若该多面体的体积是，则当该多面体表面积最小时，_________． 【答案】 ①. 10 ②. ## 【解析】 【分析】（1）结合线面平行的判定与性质、面面垂直及线面垂直的性质等定理确定多面体中的特殊位置关系，再结合平行四边形性质，求解梯形中位线长度可得； （2）由空间对称直观，再结合线面、线线垂直关系，分别表示体积及表面积，建立已知等量关系及函数关系，再借助导数求解函数最值可得. 【详解】 分别取中点，连接. 由题意，平面，平面， 则平面. 设平面，连接. 由平面，且平面平面， 则，又，则，由为中点， 则为中点， 同理，平面与的交点也为中点，即. 且由，可得， 又平面平面，且平面平面，平面， 则平面，同理平面， 则. 由平面，平面，则平面. 又平面，平面平面， 则，则四边形为平行四边形， 则，. 由， 则在梯形中，， 故. 又由可知，梯形为直角梯形. 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，平面， 则，同理平面，. 则四边形及都是直角梯形. 由已知，结合题意条件及上述分析可知， 几何体与几何体全等. 设，则，由得， 设，则，且. 如图，连接. 则；； 则多面体的体积 ； 则. 又； ； 则多面体的表面积 ， ， 令，， 则 ， 令， 则由， 令，可得，即， 则当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故， 所以当，时，多面体的表面积最小. 则由，可得，即时，多面体的表面积最小. 则， 即当时，多面体的表面积最小. 故答案为：；. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 如图，在四棱锥中，面面，． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再应用面面垂直性质定理得到面，再根据线面垂直的判断定理证明即可； （2）应用空间向量法求出二面角余弦. 【小问1详解】 取中点，连接，如图所示， 则， 所以四边形为平行四边形，∴，∴． 因为平面平面，平面平面平面， 所以面． 又面，所以． 又，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 设，则． 设面法向量，则 ，∴， 令，则，∴，又面法向量， 设平面与平面夹角为，则． 17. 在中，． （1）若，求； （2）若，在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后结合求即可； （2）①利用诱导公式和得到，即可得到，结合、和余弦定理得到，然后结合得到，不成立； ②由得到，再结合和内角和得到，然后求高即可； ③联立和得到，然后求高. 【小问1详解】 ∵．∴． ∵，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 显然，∴，∴．设高为h, 对于① 矛盾 对于② ，∴，∴，∴，∴ 对于③ ∵，∴，∴． 18. 某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； （2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解. 【小问1详解】 由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； 【小问2详解】 用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ． 【小问3详解】 低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 19. 已知椭圆，其中，为椭圆的左焦点． （1）若椭圆离心率为，求椭圆方程； （2）点是第一象限内椭圆与直线的公共点，直线与直线交于，直线与轴交于，直线与轴交于，连接，设的面积为，的面积为，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，解方程即可求解； （2）联立，求出点坐标，得到直线的方程，得到点坐标，联立，可得坐标，从而得到，即，由三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由于，则， ∴， ∴， 【小问2详解】 ，得，∴， ，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，又，， 所以 ∵，∴，∴， ∵，∴． 20. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”． （1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若为 “可表集合组”，求的最小值； （3）若为“15可表集合组”，求的最大值． 【答案】（1）不是“7可表集合组”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“7可表集合组”的定义可得，即可判断结果； （2）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可； （3）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可. 【小问1详解】 不是“7可表集合组”. 因为，其元素中仅有一个奇数， 则，若为偶数，则必为中两个偶数元素之和，至少为， 可得，所以不是“7可表集合组”． 【小问2详解】 的最小值为7．首先给出的例子： 令， 可知则为“7可表集合组”． 下面假设某个满足题设要求，则对任意，存在，使得． 注意到6表示为两个不同正整数的和只能是， 不妨设， 因为对任意，存在，使得， 注意到7表示为两个不同正整数的和只能是， 所以， 注意到8表示为两个不同正整数的和只能是， 所以对任意，均有， 与是“可表集合组”矛盾． 所以假设不成立，综上所述：的最小值为7． 【小问3详解】 的最大值为3． 首先给出的例子： 令，， ， 则为“15可表集合组”． 下面假设某个满足题设要求， 显然也满足题设要求，故可不妨设， 令， 显然对任一下标这10个数中任一数均可写成的两个元素之和， 从而中元素至少有五个， 注意的元素个数之和为23，从而必存在某个，使得的元素个数不大于5， 设， 可知中两个不同元素之和所表示的这10个数恰可被中两个不同元素之和所表示， 则这些数的和为， 与均为正整数矛盾，所以假设不成立． 综上所述：的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2026届高三暑假自主复习检测练习 数 学 命题人：宁少华王鼎 审题人：吴中才 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到的图象，只需把图象上所有点（ ） A. 纵坐标变成原来的2倍，再向右平移3个单位 B. 纵坐标变成原来的2倍，再向左平移3个单位 C. 纵坐标变成原来的，再向右平移3个单位 D. 纵坐标变成原来的，再向左平移3个单位 6. 如果正数满足，那么（ ） A. ，且等号成立时取值唯一 B. ，且等号成立时取值唯一 C. ，且等号成立时取值不唯一 D. ，且等号成立时取值不唯一 7. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8. 已知无穷数列，，则“中元素存在最小值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数满足如下条件， ①任意， ②存在唯一， ③存在． 则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．谐把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 抛物线的准线方程_________． 12. 已知等比数列的前项和为，，，，成等差数列，，则的最小值是_________． 13. 已知，则_________；_________． 14. 已知为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是________； ①存在使得恒成立； ②使得恒成立的存在且唯一； ③使得恒成立的存在且唯一； ④满足当时，恒成立的有无穷多个． 15. 如图所示多面体中为平面多边形，平面平面，平面平面，，，，． （1）_________； （2）若该多面体的体积是，则当该多面体表面积最小时，_________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 如图，在四棱锥中，面面，． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的余弦值． 17. 在中，． （1）若，求； （2）若，在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：． 18. 某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； （2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 19. 已知椭圆，其中，为椭圆的左焦点． （1）若椭圆离心率为，求椭圆方程； （2）点是第一象限内椭圆与直线的公共点，直线与直线交于，直线与轴交于，直线与轴交于，连接，设的面积为，的面积为，试比较与的大小． 20. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”． （1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若为 “可表集合组”，求的最小值； （3）若为“15可表集合组”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $