精品解析：甘肃省天水市第一中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试题

天水市一中2024级高二第一学期开学检测考试试卷 数学试题 命题：刘怡 刘雅菲 审核：马小军 （满分100分 考试时间60分钟） 一、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列前项和为，若，则的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 17 5. 在中，三个内角为.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 7. 函数（，，）的部分图象如图实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域为 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 8. 设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 9. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为________ 四、解答题（本题共3小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 10. 在中，内角的对边分别为为钝角，． （1）求； （2）已知，求的面积． 11. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面ACM； （Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC； （Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 12. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市一中2024级高二第一学期开学检测考试试卷 数学试题 命题：刘怡 刘雅菲 审核：马小军 （满分100分 考试时间60分钟） 一、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】， ， ， ， 又， 与的夹角为 故选： 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式和同角关系将原式转化为含的表达式，由此可得其值. 【详解】将式子进行齐次化处理得： 故选：B. 4. 等差数列前项和为，若，则的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴得：，，故选A. 5. 在中，三个内角为.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答. 【详解】在中，为的中点，为的中点，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有，C正确； 对于D，依题意，，于是 ，D正确. 故选：BCD 7. 函数（，，）的部分图象如图实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对称性，结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】A．由、关于对称可得，则， ，选项正确； B．由知，，所以，图象过，可得， ，，则图象关于点成中心对称，选项正确； C．函数单调递减， ，，即，，选项错误； D．函数在上，则，则值域为，选项错误． 故选：AB 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 8. 设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，根据长方体的体对角线即为球的直径，求出，再根据球的表面积计算即可. 【详解】设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 9. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为________ 【答案】##0.7 【解析】 【分析】由对立事件和相互独立事件的概率计算公式可得结果. 【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为， 所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：. 故答案为：. 四、解答题（本题共3小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 10. 在中，内角的对边分别为为钝角，． （1）求； （2）已知，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简可得，结合A为钝角可得的值； （2）由同角三角函数的关系可得，代入得，再由可求得的值，最后由三角形面积公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意得， 因为A为钝角，则．则， 则，解得， 因为A为钝角，则. 【小问2详解】 因为B为三角形内角，则， 则代入得，解得， ， 则． 11. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面ACM； （Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC； （Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ） 【解析】 【详解】试题分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证 （II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证 （III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可 解：（I）证明：连接BD，MO 在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点， 所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO 因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM 所以PB∥平面ACM （II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC 又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC （III）解：取DO中点N，连接MN，AN 因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD 所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角． 在Rt△DAO中，，所以， ∴， 在Rt△ANM中，== 即直线AM与平面ABCD所成的正切值为 点评：本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力． 12. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并给出证明． 【答案】（1） 的定义域为R. 因为，所以为奇函数. （2） 在R上单调递增，下面进行证明： . 任取，则 . 因为在R上单调递增，且，所以，所以， 即. 所以在R上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明； （2）利用单调性的定义进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $