广东省东源中学2026届高三上学期开学考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 东源中学 2026 届高三第一学期开学考试数学试卷 考试时间：150 分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题 5 分） 1．设集合  2 1A x x   ∣ ，  2 3 4 0B x x x     ，则 A B  （ ） A．  4,1 B．  2,1 C． 1, D．  2,1 2．已知复数 z满足 i 1 iz    ，则 z （ ） A． 1 i  B． 1 i  C．1 i D．1 i 3．如图，在矩形 ABCD中， E为CD的中点，则 AE   （ ） A． 1 2 AB AD   B． 1 2 AB AD   C． 1 2 AB AD   D． 1 2 AB AD   4．已知 0x  ，则 4 1 x x   的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知 ，  都是锐角， 3 5 cos ，   3cos 5     ，则 cos  的值为（ ） A． 24 25 B． 24 25  C． 7 25 D． 7 25  6．函数  f x 的图象如图所示，则  f x 的解析式可能为（ ） A．   2 ln 1 x f x x   B．   2 e ex xf x x   C．   2 1xf x x   D．   ln xf x x  7．有三台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 6%，第 2，3台加工的次品率均为 8%，加工 出来的零件混放在一起，已知第 1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%，任取一个 零件，则它为次品的概率是（ ） A．0.078 B．0.077 C．0.076 D．0.075 8．若不等式 e ln 0xx x x a    恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）． A．  0,1 B．  0,e 1 C．  ,1 D．  , e 1  试卷第 2页，共 4页 二、多选题（每小题 6 分，少选得部分分，错选或不选 0 分） 9．某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 五组， 得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是（ ） A． 0.010a  B．估计该校学生竞赛成绩的众数为75 C．该校学生竞赛成绩的中位数大于80 D．估计该校学生竞赛成绩的平均数落在  70,80 内 10．若等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 2 4a  ， 7 42S  ，则下列说法正确的是（ ）． A． 6 7a  B． na n 为递增数列 C． 2 1 5 2 2n S n n  D． 1 1 n na a        的前 4项和为 5 21 11．设函数 3 2( ) 1f x x x ax    ，则（ ） A．当 1a   时， ( )f x 有三个零点 B．当 1 3 a  时， ( )f x 无极值点 C． a R ，使 ( )f x 在R 上是减函数 D． , ( )a f x R 图象对称中心的横坐标不变 三、填空题（每小题 5 分，14 题第一个空 2 分，第二个空 3 分） 12．抛物线 2 16y x 的焦点坐标为 ． 13．在    3 42 2x x   的展开式中，含 2x 项的系数是 ． 14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm 的 长方形纸，对折 1次共可以得到10dm 12dm ，20dm 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 21 240dmS  ， 对折 2次共可以得到5dm 12dm ，10dm 6dm ，20dm 3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 22 180dmS  ， 以此类推，则对折 4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 n次，那么 1 n k k S   2dm . 试卷第 3页，共 4页 四、解答题 15.（13分）记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，数列 nb 为正项等比数列，已知 3 5a  ， 3 9S  ， 1 1b a ， 5 4b S (1)求数列 na ， nb 的通项公式； (2)求数列 n na b 的前 n项和 nT 16．（15分）已知函数   1 sin 1 2 f x x x   ． (1)求曲线  y f x 在   0, 0f 处的切线方程； (2)当  0, πx 时，求函数  f x 的极值． 17．（15分）一个车间为了规定工时，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5次试验，测得的数 据如下： 零件数 /x 个 10 20 30 40 50 加工时间 /y 分钟 62 68 75 81 89 (1)如果 y与 x线性相关，求回归直线方程； (2)根据（1）所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件 70个时，所需要的加工时间. 附： 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆ ˆy bx a  . 试卷第 4页，共 4页 18．（17分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AC BC  ， 90ACB  ， 1 2AA  ，M 、N分别为 1 1AB 、 1AA的中点． (1)求 BN的长； (2)求 1A B与 1BC所成角的余弦值； (3)求证： BN 平面 1C MN． 19．（17分）已知双曲线 2 2 2: 1 yC x b    0b  的左顶点为M ，离心率为 3， ,A B是C上的两点. (1)求C的标准方程； (2)若线段 AB的中点为 1 8, 7 7       ，求直线 AB的方程； (3)若 0MA MB    （M 不在直线 AB上），证明：直线 AB过定点. 答案第 1页，共 4页 《东源中学 2026 届高三第一学期开学考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C C C D C ABD BC BD 8．C【详解】因为 e ln 0xx x x a    ，即  lne ln 0x x x x a     ， 令 lnt x x  ，则 e 0t t a   恒成立，则 eta t  恒成立，令   ett t   ，则   e 1tt   ， 当  ,0t  时，   0t  ；当  0,t  时，   0t  ， 所以  t 在  , 0 上单调递减，在  0,  上单调递增， 所以    min 0 1t   ，所以 1a  ，故 a的取值范围为  ,1 .故选：C. 11．对于 D，由 3 2 3 2 2 2 2 2 2 58( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 3 3 3 27 f x f x x x a x x x ax a               ， 得 ( )f x 图象对称中心坐标为 1 29( , ) 3 3 27 a  ，D正确. 故选：BD 12．  4,0 . 13．30 . 14． 5 ，  4 15 3 720 2n n    （2） 1 120( 1) 2n n nS    ，设   0 1 2 1 1 120 1120 2 120 3 120 4 2 2 2 2 n k n k n S S             ， 则 1 2 1 1 120 2 120 3 120 120( 1) 2 2 2 2 2n n n nS          ， 两式作差得：   2 1 120 11 1 1 1240 120 2 2 2 2 2n n n S               1 160 1 120 12240 1 21 2 n n n             1 120 1 120 3120360 360 2 2 2n n n n n         ，因此，     4 240 3 15 3 720 720 2 2n n n n S        . 故答案为：5；  4 15 3 720 2n n    . 15．【详解】（1）设数列 na 的首项为 1a ，公差为 d，设数列 nb 的首项为 1b ，公比为 q， 由 3 5a  ， 3 9S  ，可得 1 1 2 5 3 3 9 a d a d      ，解得 1 1, 2a d  ， 所以 1 ( 1) 1 2( 1) 2 1na a n d n n        ，即数列 na 的通项公式为 2 1na n  ， 因为 1 1 1b a  ，由 5 4b S 得 4 1 14 6 4 6 2 16b q a d      ，解得 2q = ， 所以 1 1 1 2 n n nb b q - -= = ，所以数列 nb 的通项公式为 12nnb  ； （2）由（1）可知 2 1na n  ， 12nnb  ， 答案第 2页，共 4页          1 1 2 2 1 2 1 2n n n n nT a b a b a b a a a b b b                     21 1 21 2 1 2 1 2 1 2 n nn n n          . 16．【详解】（1）因为   1 sin 1 2 f x x x   ，所以   10 0 sin 0 1 0 0 1 1 2 f         ，切点为  0,1 ， 因为   1 cos 2 f x x   ，所以   1 1 10 cos0 1 2 2 2 k f        ， 切线方程为 11 2 y x   ，即 1 1 2 y x   ． （2）由（1）可知，有   1 cos 2 f x x   ， 当  0, πx 时，令   1 cos 0 2 f x x    ，得 π3 x  ， 当 x变化时，  f x 和  f x 的变化情况如下表： x π0, 3     π 3 π , π 3       f x  0   f x 单调递减 极小值 单调递增 所以当  0, πx 时，  f x 有极小值 π 1 π π π 3sin 1 1 3 2 3 3 6 2 f             ，无极大值． 17．【详解】（1）由题中数据得，  1 10 20 30 40 50 30 5 x       ，  1 62 68 75 81 89 75 5 y       ， 5 2 2 2 2 2 2 1 10 20 30 40 50 5500i i x        ， 5 1 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 11920i i i x y             ，5 5 30 75 11250xy     . 因为 5 1 5 2 2 2 1 5 11920 11250ˆ 0.67 5500 5 305 i i i i i x y b y x x x            ， ˆˆ 75 0.67 30 54.9a y bx      ， 所以所求的回归直线方程为 ˆ 0.67 54.9y x  . （2）由（1）所求的回归直线方程可知，在 70x  时， 0.67 70 54.9 101.ˆ 8y     （分钟）. 所以预计此车间加工这种零件 70个时，所需要加工时间为 101.8分钟. 18．【详解】（1）在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA 平面 ABC， 答案第 3页，共 4页 因为 AB 平面 ABC，所以 1AA AB ， 因为 1AC BC  ， 90ACB  ，所以 2 2 2AB AC BC   ， 因为 1 2AA  ，N为 1AA的中点，所以 1 1 1 2 AN AA  ， 故 2 2 2 1 3BN AB AN     . （2）分别取 1BB 、 1 1BC 、 BC的中点 E、 F 、G，连接MG、ME、 FG、EG， 因为 E、G分别为 1BB 、 BC的中点，所以 1//EG BC， 且 2 2 2 21 1 1 1 1 52 1 2 2 2 2 EG BC BB BC      ， 同理可得 1//ME AB， 1 1 6 2 2 ME A B  ， 1 1 1 1 2 2 MF AC  ， 所以，异面直线 1BC、 1A B所成角为 MEG 或其补角， 因为 1 1//BB CC ， 1 1BB CC ，故四边形 1 1BBC C为平行四边形，所以 1 1//BC BC ， 1 1BC BC ， 因为G、 F 分别为 BC、 1 1B C 的中点，所以 1//BG B F， 1BG B F ， 故四边形 1BB FG为平行四边形，故 1//FG BB， 1 2FG BB  ， 因为 1BB 平面 1 1 1A BC ，所以 FG 平面 1 1 1A BC ， 因为MF 平面 1 1 1A BC ，故MF FG ，所以 2 2 2 21 172 2 2 MG MF FG          ， 由余弦定理可得 2 2 2 3 5 17 302 4 4cos 2 106 52 2 2 ME EG MGMEG ME EG            ， 因此，异面直线 1A B与 1BC所成角的余弦值为 30 10 . （3）连接 1BC ，如下图所示： 由勾股定理可得 2 21 1 1 4 5BC BC CC     ， 2 2 1 1 1 1 1 1 2C N AC A N     ， 又因为 3BN  ，故 2 2 21 1BN C N BC  ，即 1BN C N ，同理可证BN MN ， 因为 1C N MN N  ， 1C N、MN 平面 1C MN，故 BN 平面 1C MN . 答案第 4页，共 4页 19．【详解】（1）因为 1a  ， 2 2 2e 1 1 3 c b b a a       ， 所以 2 8b  ，故C的标准方程为 2 2 1 8 yx   · （2） 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，根据题意易得 1 2x x . 因为 ,A B是C上的两点，所以 2 2 1 1 2 2 2 2 1 8 1 8 yx yx        两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 2 08 y yx x    ，即  1 21 2 1 2 1 2 8 x xy y x x y y     因为 1 2 2 7 x x  ， 1 2 16 7 y y  所以  1 21 2 1 2 1 2 8 1AB x xy yk x x y y       所以直线 AB的方程为 1 8 1 7 7 y x x         经检验，此时直线 AB与双曲线 C有两个交点，满足题意，则直线 AB的方程为 1y x  . （3）证明：依题意可设直线 AB的方程为 x ty n  . 由 2 2 1 8 yx x ty n        ，得  2 2 28 1 16 8 8 0t y nty n     则 1 2 2 16 8 1 nty y t     ， 2 1 2 2 8 8 8 1 ny y t     ， 0  ( 1,0)M  ，由（2）知    1 1 1 11, 1,MA x y ty n y      ，    2 2 2 21, 1,MB x y ty n y      因为 0MA MB    ，所以   1 2 1 21 1 0ty n ty n y y      即       22 1 2 1 21 1 1 0t y y t n y y n       即       2 22 2 2 8 8 161 1 1 0 8 1 8 1 n tnt t n n t t              即        22 2 2 21 8 8 16 1 8 1 1 0t n t n n t n        ，得 27 2 9 0n n   ，解得 97n  或 1 . 当 1n   时，直线 : 1AB x ty  ，直线 AB过点 ( 1,0)M  ，不符合题意，舍去； 当 9 7 n  时，直线 9 7 : x tB yA   ，满足 0  ，则直线 AB过定点 9 ,0 7       故直线 AB过定点 9 ,0 7      