精品解析：江苏省宿迁市马陵中学2025-2026学年高二上学期期初学情调研考试数学试题

高二年级期初学情调研考试 （2025.8） 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分. 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数后，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 2. 某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】女生应抽取的人数是. 故选：C. 3. （ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式、二倍角正弦公式进行求解即可. 【详解】. 故选：D 4. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可. 【详解】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 5. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 6. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ） A. 成绩在分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000人 C. 考生竞赛成绩的平均分约70 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 【答案】D 【解析】 【分析】A.矩形越高，则频率越大，那么考生人数越多，B.频率分布直方图中频数样本容量频率，C.根据公式直接计算平均分，D.根据中位数两侧的频率为，直接计算中位数. 【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确； 由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确； 由频率分布直方图可得：平均分等于，故C正确； 因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算中位数，平均数，频数，频率等数字特征，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握频率分布直方图中的概念. 7. 在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 8. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由平面向量的线性运算可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】在中，为线段上靠近点的三等分点，则， 因为为线段上一点，设， 即，整理得 ， 又因为，、不共线， 所以，，解得. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为 B. 为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C. 为非零向量，且相互不共线，则 D. 若与共线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误. 【详解】对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B错误； 对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误； 对于D，由与共线，则，解得，故D正确. 故选：AD. 10. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面、线线的位置关系可判断A选项；利用线面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行和线面垂直的性质定理可判断C选项；利用线面垂直和面面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对； 对于C选项，若，，，设， 在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得， 因为，故，因为，，故，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，， 设，在平面内作异于直线的直线，使得， 由面面垂直的性质定理得，由C选项可知， 因为，，则，故，D对. 故选：BCD. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为1 B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案； 对于B，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案； 对于C，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案； 对于D，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案. 【详解】对于A，取中点，连接，，，，如下图： 分别为的中点，平面， 设正方形的面积，， ，故A正确； 对于B，连接、、，如下图： 分别为的中点，且为正方形的对角线，， 在正方体中，平面，且平面，，，平面，平面， 平面，，同理可得， 分别是的中点，，，即，，，平面， 平面，故B正确； 对于C，连接，，，，，如下图： 分别为的中点，，，则， 故为异面直线与所成的角或其补角， ，，， ， 异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，，如下图： 易知，，，且正六边形为过点作正方体的截面，则其面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分. 12. 已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式可得答案. 【详解】这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为. 故答案为：2. 13. 经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角， 直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 14. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得平面，即，然后即可得的值. 【详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即平面， 所以， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 即，所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77.0分. 15. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长； （2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∵是纯虚数，，解得， ，则； 【小问2详解】 ， 复数， ∵在复平面对应的点在第一象限，， 解得， 实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； （3）解不等式． 【答案】（1） 因为，，函数的定义域为，， 所以. 所以是定义在上的奇函数. （2） 任取，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即，所以函数在其定义域上是增函数. （3）． 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明； （2）根据函数单调性的定义证明； （3）根据函数的奇偶性、单调性、得到关于的不等式，解不等式即可得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 因为函数为奇函数，所以， 所以． 由（2）已证得函数在上是增函数， 所以， 所以. 所以不等式的解集为. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，平面. （1）求证：四边形为梯形； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明，再结合梯形的定义，即可证明； （2）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明面面垂直. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，且， 所以四边形是梯形； 【小问2详解】 由条件可知，是等腰直角三角形，且，所以， 且，，中，, 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得； （2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以 ； 【小问2详解】 且， ，则， ， ， ，，且，解得（负值舍去）， ， 又，，， . 19. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【小问1详解】 因为为的中点，结合已知坐标有，则； 【小问2详解】 由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． 【小问3详解】 由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期初学情调研考试 （2025.8） 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分. 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 3. （ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 6. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ） A. 成绩在分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000人 C. 考生竞赛成绩的平均分约70 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 7. 在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为 B. 为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C. 为非零向量，且相互不共线，则 D. 若与共线，则 10. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为1 B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分. 12. 已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 13. 经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 14. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77.0分. 15. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； （3）解不等式． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，平面. （1）求证：四边形为梯形； （2）求证：平面平面. 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 19. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $