第四章 基本平面图形 习题课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“线段、射线、直线”核心内容，通过清单梳理特点、表格对比端点与延伸方向，结合直线基本事实，构建从概念到应用的学习支架，衔接知识点与考点，帮助学生系统掌握平面图形基础。 其亮点在于融入数学眼光（如高铁站点抽象线段计数）、数学思维（概念辨析与逻辑推理）和数学语言（作图与几何描述），采用“知识点+典例+变式+规律总结”结构，助力学生提升抽象能力与推理意识，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

3　多边形和圆的初步认识 知识点1 多边形的概念 1．多边形的定义 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由 若干条_____________________首尾顺次相连组成的_____平面 图形． 不在同一直线上的线段 封闭 知识点2 正多边形 _____________________的多边形叫作正多边形． 各边相等、各角也相等 知识点3 圆 1．圆的定义 平面上，一条线段OA(定长)绕着它固定的一个端点O(定点)旋转 一周，另一个端点A形成的图形叫作圆．固定的端点O称为_____， 线段OA称为_____． 圆心 半径 考点1 多边形与圆的有关概念 典例1 下列关于圆的叙述正确的是( ) A．圆是由圆心唯一确定的 B．圆是一条封闭曲线 C．到定点的距离等于或小于定长的所有点组成圆 D．圆内任意一点到圆心的距离都相等 思路导析 结合圆的定义，对每个选项进行分析判断即可． 变式 如图所示的图形中，属于多边形的有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点2 与多边形对角线有关的计算 典例2 若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 思路导析 根据n边形从一个顶点出发可引出(n－3)条对角线，可得n－3＝4，求出n的值即可． 变式 从十二边形的一个顶点出发可引出 条对角线，把十二边形分割成 个三角形( ) A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 考点3 计算圆心角的度数 典例3 如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面 积之比为1∶2∶3∶4，则扇形丙的圆心角度数 为( ) A．54° B．98° C．108° D．120° 思路导析 根据扇形的面积比等于各个扇形的圆心角之比，从而求出扇形丙的圆心角占整个圆的几分之几，进而确定出扇形丙的圆心角度数． 变式 [2025·东营一模]如图1，司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，它早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图2，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分(图2中点A～H)．相邻两个方位间所夹的圆心角度数为( ) A．36° B．45° C．60° D．90° 考点4 计算扇形的面积 典例4 已知圆的半径为2 cm，扇形的圆心角是36°.求扇形的面积． 变式1 一个扇形的面积为7π cm2，半径为6 cm，则此扇形的圆 心角是___°. 70 变式2 [2024·建湖县期末]习近平总书记强调，中华优秀传统文 化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果 展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝15 cm， OB＝5 cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的 夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在 纸面的面积为______cm2. 2．多边形的基本元素 (1)顶点：每相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点． (2)对角线：连接不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线． n边形从一个顶点可以引出(n－3)条对角线，可以将n边形分成 (n－2)个三角形．n边形共有eq \f(n（n－3）,2)条对角线． 2．圆的相关概念 (1)弧：圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作eq \o(AB,\s\up16(︵))，读作“圆弧AB”或“弧AB”． (2)扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形． (3)圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角． 在同圆或等圆中，eq \f(扇形的圆心角,360°)＝eq \f(扇形的面积,圆的面积)＝eq \f(圆心角所对的弧长,圆的周长). 思路导析 根据eq \f(扇形的面积,圆的面积)＝eq \f(扇形的圆心角,360°)，求解即可． 解：扇形的面积为eq \f(36,360)×π×22＝eq \f(2,5)π(cm2)． 答：扇形的面积为eq \f(2,5)πcm2. eq \f(200,3)π $$第2课时　角的比较 知识点1 角的大小比较 1．度量法：用_______量出它们的度数，再进行比较． 2．叠合法：将两个角的_____________重合，另一条边放在重 合边的_____比较大小． 量角器 顶点及一条边 同侧 知识点2 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条_____，把这个角分成_____________， 这条_____叫作这个角的平分线． 如图所示，射线OC平分∠AOB，则有∠1＝∠2＝ ______(或 ∠AOB＝2∠__＝2∠__)． 射线 两个相等的角 射线 ∠AOB 1 2 【拓展】 角的n等分线类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角叫作角的n等分线，如角的三等分线、四等分线等． 考点1 角的大小比较 典例1 如图所示，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是( ) A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＜∠AOD D．∠AOB＜∠AOC 思路导析 本题主要考查角的大小比较，解题的关键是正确找出各角的边的位置关系． 变式 如图，用三角尺比较∠A与∠B的大小，其中正确的是( ) A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 考点2 有关角的计算 典例2 如图，已知点A，O，B在同一直线上，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，OE平分∠AOD，则∠BOD的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 思路导析 直接根据角平分线的定义和直角、平角的定义分析等量关系，即可得出答案． 变式1 如图，∠BOD＝120°，∠COD是直角，OC平分∠AOB，则∠AOB的度数是( ) A．40° B．30° C．50° D．60° eq \f(1,2) 变式2 [2024·九龙坡区期末]如图，在∠BAE的内部有4条射线AF，AC，AD，AG，若∠BAC＝∠DAE＝70°，且∠BAD＝n∠BAF， ∠CAE＝n∠CAG，其中n为正数，则∠FAG＝( ) A．70° B．75° C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(70n－70,n)))° D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(75n＋75,n)))° $$第2课时　线段的比较 知识点1 线段的性质 两点之间的所有连线中，_____最短．可以简述为___________ _______． 线段 两点之间线 段最短 知识点2 两点之间的距离 ___________________，叫作这两点之间的距离． 两点之间线段的长度 知识点3 尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图． 知识点4 线段的中点 1．线段的中点的概念： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点．如图1 所示，若M是线段AB的中点，则有AM＝BM＝ AB(或AB＝2AM ＝2BM)． 2．等分线段： (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点． 如图2所示，若M，N是线段AB的三等分点，则有AM＝MN＝NB＝ AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点． 如图3所示，若M，N，P是线段AB的四等分点，则有AM＝MN＝NP ＝PB＝ AB. 知识点5 比较线段长短的方法 1．度量法：利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据 测量结果进行比较． 2．叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它 们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较． 考点1 利用“　两点之间线段最短”解决距离最短问题 典例1 [2024·宿城区期末]金秋十月，某校校园内色彩斑斓．小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( ) A．直线没有端点，向两端无限延伸 B．两点之间，线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 思路导析 根据线段的性质“两点之间线段最短”即可解答． 变式 下列现象或说法中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是( ) A．在山中钻隧道以缩短两地路程 B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系 D．连接两点间的线段的长度，叫作这两点之间的距离 考点2 线段的计算　 典例2 如图，已知直线上顺次三个点A，B，C，已知AB＝10 cm，BC＝4 cm，D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝( ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 思路导析 本题主要考查了线段和差和线段中点的相关知识． 变式1 如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝12 cm， BD＝5 cm.若点E在直线AB上，且AE＝3 cm，则DE的长为( ) A．4 cm B．15 cm C．3 cm或15 cm D．4 cm或10 cm 变式2 [2024·城厢区期末]如图，点C在线段AD上． (1)在线段AD延长线上求作点B，使得CD＝ AB；(要求：尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，M为AC的中点，N为BD的中点，若MN＝6， 求AB的长度． 解：(1)如图，点B即为所求； (2)因为M为AC的中点，N为BD的中点，所以AM＝MC，DN＝NB， 因为CD＝ AB，所以MN＝CM＋CD＋DN＝ CD＝6， 所以CD＝4，所以AB＝8. eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(3,2) eq \f(1,2) $$2　角 第1课时　认识角 知识点1 角的定义 1．从静止的角度看：角由两条具有公共端点的_____组成，两 条射线的公共端点是这个角的_____，两条射线叫作___． 2．从动态的角度看：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋 转而成的． 射线 顶点 边 知识点2 角的表示方法 知识点3 角的分类 按角的大小可分为_____、_____、_____、_____、周角；1直 角＝_____，1平角＝______，1周角＝______；锐角<_____<钝 角<_____． 锐角 直角 钝角 平角 90° 180° 360° 直角 平角 知识点3 角的度量单位 1°＝___′；1′＝___″； 1″＝_____′；1′＝_____°. 60 60 知识点5 方向角 方向角一般是指表示方向的射线与正北、正 南方向的夹角，通常表达成北(南)偏东(西) ××度；若夹角正好为45°，则表示为东北， 东南，西北，西南． 如图所示，射线OA在___________方向；射线OB在___________方 向；射线OC在___________方向；射线OD在_____方向． 南偏西25° 北偏西70° 南偏东60° 东北 【拓展】 钟面上的时针的转速为30°/小时或0.5°/分钟；分针的转速 为6°/分钟． 考点1 角的概念及表示方法 典例1 如图，下列说法中不正确的是( ) A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角 C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC 思路导析 由角的概念和角的表示方法逐一判断即可． 变式 下列说法中正确的个数是( ) ①由两条射线组成的图形叫作角 ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关 ③角的两边是两条射线 ④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2 度、分、秒的计算 典例2 下列换算中，错误的是( ) A．47.28°＝47°16′48″ B．83.5°＝83°50′ C．16°5′24″＝16.09° D．0.25°＝900″ 思路导析 本题考查度、分、秒的换算，利用1°＝60′， 1′＝60″对各选项进行判断． 变式 如图，将一块三角尺中60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若∠1＝24°10′，则∠2的大小是( ) A．34°50′ B．54°10′ C．65°50′ D．25°10′ 考点3 钟表中的角 典例3 如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是( ) A．75° B．120° C．135° D．150° 思路导析 根据钟面被平均分成12份，可得每份30°，再根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 变式 [2024·金水区期末]机械手表都是依靠传动齿轮运行，如图是某一手表内部的部分齿轮示意图，最大的齿轮有50个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角的度数是( ) A．7°2′ B．7°12′ C．7°20′ D．7°30′ 考点4 方向角 典例4 [2024·海淀区期末]某校举办校园微型模拟定向越野赛，参赛者要依靠标有若干检查点和方向线的地图并借助指北针，自己选择行进路线，依次寻找各个检查点，用最短时间完成比赛者为优胜．小明和小华用同款手机自带的指北软件参赛，指北软件屏幕里有一条黑色的竖线，这条线所指的方向是参赛者当 前的行进方向．图1和图2分别是小明和 小华在比赛中某时刻指北软件的屏幕截 图，根据屏幕截图数据，下列说法正确 的是( ) A．小明当时的行进方向是东偏北30°方向 B．小华当时的行进方向是南偏西240°方向 C．小明当时的行进方向是东北方向，小华当时的行进方向是西南方向 D．小明当时的行进方向与小华当时的行进方向所成角可能是150° 思路导析 本题考查了方向角，根据角的度数可判定方向角的 大小． 变式 如图，在A，B两处观测到C处的方位角分别是( ) A．北偏东65°，北偏西40° B．北偏东65°，北偏西50° C．北偏东25°，北偏西40° D．北偏东35°，北偏西50° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,60))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,60))) $$第3课时　用尺规作角 知识点 用尺规作一个角等于已知角 1．基本步骤：已知：∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 2．作法与示范 考点 作一个角等于已知角 典例 [2024·成都期末]用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP长为半径画弧，交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ长为半径画弧，交前面的弧于点F. 则下列排序正确的是( ) A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 思路导析 根据作一个角等于已知角的作图过程排序即可． 变式1 如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧NE 是( ) A．以点C为圆心，OD长为半径的弧 B．以点C为圆心，DM长为半径的弧 C．以点E为圆心，OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，DM长为半径的弧 变式2 [2024·龙华区期末](1)如图1，已知∠POQ，请用尺规作∠P′O′Q′，使∠P′O′Q′＝∠POQ；(不写作法，保留作图痕迹) (2)如图2，已知∠AOD＝∠BOC. ①若∠AOC＝20°，则∠BOD的度数为 °； ②若∠AOB＝α，当OD平分∠BOC时，∠COD的度数为 ． (用含有α的代数式表示) 解：(1)如图所示，∠P′O′Q′即为所求作； (2)①20； ②因为OD平分∠BOC， 所以∠BOD＝∠COD， 所以∠BOC＝2∠COD＝2∠BOD， 因为∠AOD－∠COD＝∠BOC－∠COD， 所以∠BOD＝∠AOC， 所以2∠COD＋∠COD＝∠AOB＝α， 所以∠COD＝ α， 故答案为： α. eq \f(1,3) eq \f(1,3) $$第四章 基本平面图形 1　线段、射线、直线 第1课时　线段、射线、直线 知识点1 线段、射线、直线的特点 知识点2 直线的基本事实 1．经过一点可以画_____条直线． 2．经过两点_________一条直线，即两点_____一条直线． 无数 有且只有 确定 考点1 线段、射线、直线的概念及表示方法 典例1 下列说法中，正确的是( ) A．射线OA与射线AO是同一条射线 B．线段AB与线段BA是同一条线段 C．过一点只能画一条直线 D．三条直线两两相交，必有三个交点 思路导析 利用线段、射线、直线的特点逐一判断即可． 变式 如图，下列说法不正确的是( ) A．直线AB与直线BA是同一条直线 B．线段AB与线段BA是同一条线段 C．射线OA与射线AB是同一条射线 D．射线OA与射线OB是同一条射线 考点2 线段、射线、直线的计数 典例2 济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票( ) A．110种 B．132种 C．55种 D．66种 思路导析 把高铁线路看作是一条直线，11个不同的站点，就是直线上11个不同的点，可由线段的定义解决问题． 变式 如图，线段共有__条，射线共有__条，射线AB与射线___ 是同一条射线． 3 6 AC 【规律总结】 考点3 根据几何语言作图 典例3 下列画图的语句中，正确的为( ) A．画直线AB＝10 cm B．画射线OB＝10 cm C．延长射线BA到点C，使BA＝BC D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交 思路导析 根据直线、射线、线段的性质逐一判断即可． 变式 如图，已知三点A，B，C，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画图正确的是( ) 考点4 直线的性质 典例4 在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子( ) A. 1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 思路导析 根据直线的性质“两点确定一条直线”解题. 变式 在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (1)一条直线上有n个点时，线段的条数为(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝eq \f(n（n－1）,2)； (2)一条直线上有n个点时，射线的条数为2n. $$