精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高一入学考试数学试卷 考试时间：90分钟 总分：100分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共9个小题，每小题3分，共27分） 1. 下列各式符合代数式书写规范的是（ ） A. a9 B. 元 C. D. 2. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 3. 下列各对量中，不是相反意义的量是（ ） A. 胜3局与平3局 B. 盈利3万元与亏损8万元 C. 水位升高4米与水位下降10米 D. 转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 4. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ） A. 热 B. 爱 C. 中 D. 国 5. 把数3120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以正五边形的顶点A为圆心作分别与边、交于点F、G，点P是劣弧上一点，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，，给出以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10. 4月23日是世界读书日，某校为了解该校300名七年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校30名七年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校七年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有________名． 11. 分解因式：________． 12. 如图，直线交双曲线于点P，交x轴、y轴于点A、B，且，，若，则k值为________． 13. 从八边形的一个顶点出发可以引________条对角线，八边形的对角线有________条，八边形的内角和为________． 14. 已知，，用S，h表示a，则________． 15. 分式方程的解为________． 三、解答题（本大题共个小题，第16、17题每题6分，第18、19题每题8分，第20、21、22题每题9分，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解方程组：． 18. 疫情期间，“线上教学”为我们提供了复习的渠道．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和统计图． 类别 非常喜欢 喜欢 一般 不喜欢 频数 a 70 20 10 频率 0.5 b 0.15 （1）在统计表中，________；________； （2）在扇形统计图中，对线上教学感觉“一般”所对应的圆心角度数为________； （3）已知全校共有3000名学生，试估计“喜欢”线上教学的学生人数． 19. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于y轴的直线上有一动点P，当的面积为21时，求点P的坐标． 20. 足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用时3s． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）足球的飞行高度能否达到4.88m？请说明理由． 21. 五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 22. 如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高一入学考试数学试卷 考试时间：90分钟 总分：100分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共9个小题，每小题3分，共27分） 1. 下列各式符合代数式书写规范的是（ ） A. a9 B. 元 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式的书写规范判断即可. 【详解】对于A，应该书写为； 对于B，应该书写为元； 对于C，书写正确， 对于D，应该书写为. 故选：C. 2. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 【答案】C 【解析】 【分析】把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得. 【详解】苗高由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 3. 下列各对量中，不是相反意义的量是（ ） A. 胜3局与平3局 B. 盈利3万元与亏损8万元 C. 水位升高4米与水位下降10米 D. 转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】A 【解析】 【分析】一般情况下，一对反义词具有相反意义，进而判断各选项即可. 【详解】胜3局与平3局不具有相反意义， 盈利3万元与亏损8万元具有相反意义， 水位升高4米与水位下降10米具有相反意义， 转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈具有相反意义. 故选：A. 4. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ） A. 热 B. 爱 C. 中 D. 国 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图的特征即得. 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “热”与“国”是相对面，“们”与“中”是相对面，“我”与“爱”是相对面． 故选：B. 5. 把数3120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由科学记数法的表示形式易得结果. 【详解】. 故选：B. 6. 给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据梯形的概念、菱形、正方形及平行四边形的判定，逐个判断，即可得出结论． 【详解】对于①，一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，故①错误； 对于②，由于平行四边形中两组对角相等，一条对角线平分一个内角，则也要平分另一个角，再根据等角对等边，得到平行四边形的一组邻边相等，故有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②正确； 对于③，由于矩形的两条对角线相等且平分，对角线互相垂直，则两条对角线的一半与边成等腰直角三角形，故是正方形，故③正确； 对于④，等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但不是平行四边形，故④错误. 综上，真命题有2个. 故选：B. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 8. 如图，以正五边形的顶点A为圆心作分别与边、交于点F、G，点P是劣弧上一点，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用圆心角与圆周角的关系得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可求解. 【详解】在优弧上取一点，连接， 因为正五边形的内角和为， 则每个内角为，即， 则，又四边形是圆的内接四边形， 所以，则. 故选：D. 9. 如图，，，，，给出以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，可得，结合，可得，由此判断③，根据，，得到，进而得到即可判断①；再进行分析判断②④. 【详解】如图，过点作，则， 由于，所以，故③正确； 因为，，则，故，故①正确； 由于和不一定相等，则不一定平分，故②错误； 由于和不一定相等，而，则和不一定相等， 因，，则，， 所以和不一定相等，则和不一定平行，故④错误. 故选：B. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10. 4月23日是世界读书日，某校为了解该校300名七年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校30名七年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校七年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有________名． 【答案】140 【解析】 【分析】利用样本中时间不少于5小时的学生所占比例估计该校300名七年级学生的人数即可求解. 【详解】由题意，估计该校七年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于5小时的学生约有 名． 故答案为：140. 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提公因式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 12. 如图，直线交双曲线于点P，交x轴、y轴于点A、B，且，，若，则k值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，垂足为，结合求得，即得，代入即可得解. 【详解】由图知，，过点作轴，垂足为， 由，则为中点，故为中点， 由于，则，， 又，解得， 则，代入，得. 故答案为：. 13. 从八边形的一个顶点出发可以引________条对角线，八边形的对角线有________条，八边形的内角和为________． 【答案】 ①. 5 ②. 20 ③. 【解析】 【分析】根据八边形的结构特征及相关公式计算即得. 【详解】从八边形一个顶点出发可以画条对角线， 八边形共有条对角线， 八边形的内角和为. 故答案为：5；20；. 14. 已知，，用S，h表示a，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设化简求解即可. 【详解】由，，则. 故答案为：. 15. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，移项求解即可. 【详解】由，则，解得， 故答案为：. 三、解答题（本大题共个小题，第16、17题每题6分，第18、19题每题8分，第20、21、22题每题9分，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据代数式的运算性质求解即可. 【详解】. 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加法消元法求解方程组即得. 【详解】由， ②得，③， 则①③得，，解得， 将代入②得，，解得， 所以方程组的解为：. 18. 疫情期间，“线上教学”为我们提供了复习的渠道．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和统计图． 类别 非常喜欢 喜欢 一般 不喜欢 频数 a 70 20 10 频率 0.5 b 0.15 （1）在统计表中，________；________； （2）在扇形统计图中，对线上教学感觉“一般”所对应的圆心角度数为________； （3）已知全校共有3000名学生，试估计“喜欢”线上教学的学生人数． 【答案】（1）； （2） （3）1050. 【解析】 【分析】（1）由非常喜欢的频率，可得其他的频率和也为，然后即可求得；. （2）根据扇形统计图，可得一般的占，再利用圆周角为即可求解； （3）由（1）知“喜欢”线上教学的频率为，再用总数乘频率即可估计. 【小问1详解】 由题知非常喜欢的频率，则其他的频率和也为， 则，，解得. 故答案为：；. 【小问2详解】 在扇形统计图中，不喜欢的占， 所以一般的占，则圆心角度数为. 故答案为：. 【小问3详解】 由（1）知“喜欢”线上教学的频率为， 所以人数为， 答：估计“喜欢”线上教学的学生人数人. 19. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于y轴的直线上有一动点P，当的面积为21时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代点计算即得； （2）设，，过分别作直线的垂线和，垂足分别为，结合三角形的面积公式建立方程求解即得. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 故反比例函数解析式为，一次函数解析式为. 【小问2详解】 如图，直线与一次函数交于， 设，， 过分别作直线的垂线和，垂足分别为， 由于，，则， 而，则，解得或， 则点P的坐标为或． 20. 足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用时3s． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）足球的飞行高度能否达到4.88m？请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下， 由（1）知， 所以足球飞行的最大高度为，故不能达到. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）通过配方，确定最大值即可得出结论. 【小问1详解】 设抛物线方程为，又抛物线过， 所以， 则函数解析式为. 【小问2详解】 略 21. 五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 【答案】（1）424米 （2）爸爸先到达D处，计算见解析 【解析】 【分析】（1）延长，，在中利用三角函数解三角形可得结果； （2）利用图形关系结合三角函数分别计算出两条线路的长度和，然后结合各自速度分别计算出时间并比较大小可得结果. 【小问1详解】 延长，，如图， 由题意得，四边形是矩形， （米），在中，（米）. 答：的长度约为424米. 【小问2详解】 由（1）知（米）， （米），（米）， 在中，（米）， （米）， 线路①：（米）， 小依用时（分钟）， 线路②：（米）， 爸爸用时（分钟）， 爸爸先到达处. 22. 如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于，连接，易证为的角平分线，得到，结合为的切线，为的直径，可得四边形为矩形即可证明. （2）易得，，设的半径为，根据勾股定理列方程求解即可. 【小问1详解】 证明：连接并延长交于，连接， ， ，则， 所以为的角平分线，又， 所以，又为的切线，所以，即， 又为的直径，所以， 则四边形为矩形， . 【小问2详解】 由（1）知，， 又，所以， 设的半径为，则， ，即， 解得，即的半径为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $