精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期开学摸底检测数学试题

高一开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：初中数学+必修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ） A.  B.  C. D. 3. 已知，，，…，(n为正整数且，且，)，则用含t的式子的结果为（ ） A. t B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，抛物线（t为常数）与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 算式计算结果的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 如图，四边形ABCD为矩形，E是BC边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为点F，若，，则EF的长为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上.当与的积为负数时，t的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分. 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合的非空真子集的个数是30个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D 若，则 10. 设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. （多选）任取集合的个非空子集，定义为记所得的个值之和为，则（ ） A. 与的奇偶性相同 B. 是的一个倍数 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：________. 13. 设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数取值范围是__________. 14. 黄金分割比，这一神奇数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在中，，，，点D在线段AB上，过点D作于点E，于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 15. 为了解某校八年级学生每天做家庭作业的时间（单位：h），随机调查了该校八年级部分学生每天做家庭作业的时间.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②. 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：图①中m的值为__________，统计的这部分学生每天做家庭作业时间的众数为__________，中位数为__________； （2）求统计的这部分学生每天做家庭作业时间的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生450人，估计该校八年级学生每天做家庭作业的时间超过的人数约为多少？ 16. 2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械.如图(1)所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回.图(2)为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，. （1）当在初始位置时，求点D到的距离； （2）当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度. （结果精确到，参考数据：，，，，，） 17. 已知命题假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，.当与相切时，点B恰好落在上，如图2. 请仅就图2的情形解答下列问题. （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长. 19. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点，点B在第二象限，四边形OCDE的顶点，顶点，点D在第一象限，，. （1）填空：如图①，点B的坐标为__________，点D的坐标为__________； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，A，B的对应点分别为，，.设，与四边形OCDE重叠部分的面积为S. ①如图②，当点在x轴负半轴上，且与四边形OCDE重叠部分为四边形时，与OC相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：初中数学+必修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数可能结果数，并找出“平稳数”个数即可求解 【详解】依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数可能结果有： 123，132，213，231，312，321共六种可能， 只有123，321是“平稳数”， ∴用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为. 故选：C. 2. 设集合，对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ） A.  B.  C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，化简集合，根据真子集定义判断. 【详解】由题意可知Q满足或，即或，解得，故. 故选：A. 3. 已知，，，…，(n为正整数且，且，)，则用含t的式子的结果为（ ） A. t B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设所给条件推导前几项得到周期为3，进而得前三项即一个周期乘积为，依据周期即可计算求解. 【详解】由题意可得：， ， ， ， ， 由上可得上述的数列具有周期性，周期为3， ，， . 故选：A 4. 在平面直角坐标系中，抛物线（t为常数）与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题化为抛物线与x轴的交点的横坐标满足，数形结合确定参数范围. 【详解】令，整理得， 抛物线（t为常数）与直线有两个不同的交点， ∴有两个解，则，解得， 令，则交点的横坐标即为抛物线与x轴的交点的横坐标， 如图，当时，的图象与x轴的交点横坐标为，， 结合图象的平移关系，当时交点的横坐标满足， 综上所述，t的取值范围为. 故选：D 5. 算式计算结果的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平方差公式计算化简原式，接着利用的个位数字周期性即可分析计算求解. 【详解】因为 ... ， ∵，，，，，……， ∴的个位数字以2，4，8，6一组，循环出现， ∵余0， ∴的个位数字为6. 故选：B. 6. 如图，四边形ABCD为矩形，E是BC边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为点F，若，，则EF的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长AF，交BC于点H，根据已知得，设，再由求解. 【详解】如图，延长AF，交BC于点H. 由折叠的性质可知，，， ，则， ， ， ， ， 设，则， ， ，可得. 故选：D 7. 如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得到圆O的半径，当的长时，设，利用弧长公式得到方程，求出，作出辅助线，求出各边长，由勾股定理得到答案. 【详解】结合题图可知，当点N与点A重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点M是的中点， ∴，即圆O的半径， 当的长时，设， 将，代入可得：， 解得：，即此时， 过点N作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ，， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， ∴， 故选：C. 8. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上.当与的积为负数时，t的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，令，则，，将点的坐标代入，表达出，，根据得到，分，，，，五种情况，分类讨论，得到答案. 【详解】∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴. 令，则，. 将点和点代入，得； 将点和点代入，得. ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去. 综上，t的取值范围是或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分. 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合的非空真子集的个数是30个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 10. 设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算，即可求解，得到答案. 【详解】对于A选项，由，为正实数，且，可得，所以， 所以， 若，则，可得，这与矛盾，故成立，所以A中命题为真命题； 对于B选项，取，，则，但，所以B中命题为假命题； 对于C选项，取，，则，但，所以C中命题为假命题； 对于D选项，由，则， 即，可得，所以D中命题为真命题. 故选AD. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11. （多选）任取集合的个非空子集，定义为记所得的个值之和为，则（ ） A. 与的奇偶性相同 B. 是的一个倍数 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，可知，当，则时，，所以，若改变集合中的一个，使，则，即的值由增大为，因此，中每增加一对集合的交集非空，则的值增加2，从而可判断A，B，C；又由定义可知，，取，则，即，可判断选项D. 【详解】由定义知，当时，，则，故， 显然取的单元素子集，则时，，所以， 考虑的情况下，若改变集合中的一个， 使，则，如取， 则，即的值由增大为， 因此，中每增加一对集合的交集非空，则的值增加2， 故与具有相同的奇偶性，但不一定是的倍数； 又由定义可知，， 若对任意的， 如取，则，即. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：采用从最特殊当时，，则，故，再取的单元素子集，则时，，所以求得的最小值，再次基础上，若改变集合中的一个，可得到的变化规律，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式的性质和三角函数知识即可得 【详解】由. 故答案为：. 13. 设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出当命题、为真命题时的取值范围，再根据题意可知，有一真一假，然后根据真，假或假，真列出不等式组，即可即可． 【详解】对于：，所以，当且仅当时取等号， 恒成立，则，即； 对于：存在，使得不等式成立， 只需， 而，，； 因为，有一真一假，所以 若为假命题，为真命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则，所以. 综上，或， 故答案为：. 14. 黄金分割比，这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在中，，，，点D在线段AB上，过点D作于点E，于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由求出即可. 【详解】，，，由勾股定理得，， 四边形为矩形，，， 设，则，，，， ，解得， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 15. 为了解某校八年级学生每天做家庭作业的时间（单位：h），随机调查了该校八年级部分学生每天做家庭作业的时间.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②. 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：图①中m的值为__________，统计的这部分学生每天做家庭作业时间的众数为__________，中位数为__________； （2）求统计的这部分学生每天做家庭作业时间的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生450人，估计该校八年级学生每天做家庭作业的时间超过的人数约为多少？ 【答案】（1）28；； （2） （3）261人 【解析】 【分析】（1）根据扇形图中百分比之和为1求得，利用众数和中位数定义求得答案； （2）根据平均数的定义列式求解； （3）求出样本中每天做家庭作业的时间超过的百分比，由此估计该年级450人中，每天做家庭作业的时间超过的学生人数. 【小问1详解】 ，. 每天做家庭作业的人数有14人，人数最多， 众数为； 由题意，得统计总人数为人， 从小到大依次排序，处在中间位置的序号为25和26，对应的数据都是1.3， 中位数为. 【小问2详解】 ， 统计的这部分学生每天做家庭作业时间的平均数为； 【小问3详解】 在抽取的样本中，每天做家庭作业的时间超过的占， 估计该年级450人中，每天做家庭作业的时间超过的学生人数为（人）， 估计该校八年级学生每天做家庭作业的时间超过的人数约为261人. 16. 2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械.如图(1)所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回.图(2)为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，. （1）当在初始位置时，求点D到的距离； （2）当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度. （结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解直角三角形可求点D到的距离； （2）先求的长度，再利用解直角三角形可求点E上升的竖直高度. 【小问1详解】 过点D作于点H， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴点D到的距离约为. 【小问2详解】 过点E作于N，过点作于点M， ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ， ∴点E上升的竖直高度约为. 17. 已知命题是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解； （2）先由必要不充分条件的性质得到集合是集合的真子集，再分类讨论得到解集，从而列不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 因为命题是假命题， 所以命题是真命题， 所以在上恒成立， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，即，故. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，又， 因为对应的方程的根为或， 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 当，即时，由得，显然，即，满足题意； 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 综上：，即. 18. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，.当与相切时，点B恰好落在上，如图2. 请仅就图2的情形解答下列问题. （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，取纵向虚线与交于点Q，根据圆及其切线性质得、，即可证； （2）过点Q作的垂线，交于点C，根据已知及得，，再由线段关系及圆的性质、勾股定理求线段长. 【小问1详解】 连接，取纵向虚线与交于点Q，如下图： ， ， 为的外角， ， ， ， . 【小问2详解】 过点Q作的垂线，交于点C，如下图： 由题意，在中，， 由（1）知，，则， ，， ，， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角， 在中，由勾股定理得， 即. 19. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点，点B在第二象限，四边形OCDE的顶点，顶点，点D在第一象限，，. （1）填空：如图①，点B的坐标为__________，点D的坐标为__________； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，A，B的对应点分别为，，.设，与四边形OCDE重叠部分的面积为S. ①如图②，当点在x轴负半轴上，且与四边形OCDE重叠部分为四边形时，与OC相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别过点作轴，轴，垂足分别为点，利用等腰直角三角形可求的坐标； （2）①结合图形特征利用三角形面积公式和梯形面积公式可求；②就、、分类计算后可求范围. 【小问1详解】 如图①，分别过点B，D作轴，轴，垂足分别为点G，H. 是等腰直角三角形，，， ， ，，. 点B在第二象限，. ，. ，轴，轴，. ，，. ，，，. 【小问2详解】 ①如图②，过点作轴，垂足为点M，易得四边形为矩形， ，， ，， ，. ，，. ，，. ， ， ； ②当时，如图③，记与OC交于点K，则重叠部分为， 易得，，. ，当时，S随t的增大而增大，当时，； 当时，由①可知重叠部分为四边形，. ，当时，S随t的增大而增大，当时，S有最大值，最大值为4，当时，， 当时，； 当时，如图④，记与DE交于点T，则重叠部分为， 易得，，，， 易得. ，当时，S随t的增大而减小，当时，，当时，， 当时，. 综上所述，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $