精品解析：广东省中山市沙溪镇沙溪中学2023-2024学年上学期八年级数学竞赛试题

2023—2024学年沙溪镇初中数学竞赛试题（八年级） 温馨提示：本试卷共16题，总分150分，测试时间90分钟，请在本试卷上作答． 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 1. 若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ） A. 13 B. 14或15 C. 13或15 D. 13或14或15 2. 若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 5. 在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC等于(　) A. 45° B. 120° C. 45°或135° D. 45°或120° 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6. 计算：___________； 7. 已知，则的值是_____． 8. 如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则___________． 9. 若，则=_____． 10. 如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 三、解答题（共6小题，11-14每小题10分，15、16每小题20分，共80分） 11. 计算： 12. 已知：如图，在△、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．试猜想的关系，并证明． 13. 当a为何值时，关于x的方程无解. 14. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 15. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 16. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年沙溪镇初中数学竞赛试题（八年级） 温馨提示：本试卷共16题，总分150分，测试时间90分钟，请在本试卷上作答． 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 1. 若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ） A. 13 B. 14或15 C. 13或15 D. 13或14或15 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 2. 若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴表示的值的点落在段②， 故选：B． 3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 尺规作一个角等于已知角是通过构造两个全等三角形来实现的，其中三边对应相等，因此依据是全等判定． 【详解】解：以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交、两边于D、C， 以新射线端点为圆心，相同半径画弧，交射线于， 用圆规量取距离，以为圆心画弧交前弧于， 连接，得，如下图： 在和中，，， 因此，用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是， 故选：A． 4. 如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别对四个结论进行分析，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定与性质等来判断． 【详解】解：在中，， ∴． ∵，分别平分，， ∴，． ∴． 在中，，故①项正确． ∵，分别为的两条角平分线，且相交于点，根据三角形三条角平分线交于一点， ∴平分．故②项正确． ∵在，，的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点到边，，的距离相等．故③项正确． 如图，在上截取，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由①知， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴． ∴．故④项正确． 综上，①②③④都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5. 在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC等于(　) A. 45° B. 120° C. 45°或135° D. 45°或120° 【答案】C 【解析】 【详解】有2种情况，如图， ∵BH=AC，∠BEC=∠ADC， ∠AHE=∠BHD,∠HAE+∠C=90°， ∠HAE+∠AHE=90°，∴∠C=∠AHE， ∴∠C=∠BHD， ∴△HBD≌△CAD， ∴AD=BD. 如图1时， ∠ABC=45°; 如图2时， ∠ABC=135°. ∵HE⊥AC， ∴∠C+∠EBC=90°①， ∵∠HDC=90°， ∴∠H+∠HBD=90°②， ∵∠HBD=∠EBC③， ∴由①②③可得，∠C=∠H， ∵BH=AC，∠ADC=∠BDH， ∠C=∠H， ∴△HBD≌△CAD， ∴AD=BD， ∴∠ABD=45°， ∠ABC=135°； 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6. 计算：___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，然后再进行计算．使其能与结合运用积的乘方逆运算．本题主要考查了积的乘方的逆运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握积的乘方逆运算公式和同底数幂乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： 7. 已知，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得和的值，再将利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， ， ， 又， ， ． ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想． 8. 如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：的角平分线与的外角平分线相交于点， ， 在四边形中，， ， 由三角形的外角性质得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握四边形的内角和是解题关键． 9. 若，则=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由，得出，然后将代数式变形，再整体代入求得答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ =1－4+5 =2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查因式分解的实际运用，把作为一个整体，将所求代数式变形为，是解决问题的关键． 10. 如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，， ，， ∵的面积是20， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：12． 三、解答题（共6小题，11-14每小题10分，15、16每小题20分，共80分） 11. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式的运用．把前两项整理成4与的和与差的相乘的形式，利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算，然后再利用合并同类项的法则计算即可． 【详解】解： ． 12. 已知：如图，在△、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．试猜想的关系，并证明． 【答案】 猜想，，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ． ∴，， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，得到，，根据三角形内角和定理得到，据此根据角之间的关系证明，进而可得结论． 【详解】略 13. 当a为何值时，关于x的方程无解. 【答案】a=1，-4或6时原方程无解． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可． 【详解】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2）， 整理得：（a-1）x=-10， （i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解； （ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2， 当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4； 当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6， 即当a=1，-4或6时原方程无解． 【点睛】此题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 14. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）225000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可； （2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： ， 解得：x＝30． 经检验，x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 15. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42 【解析】 【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和； （2）将所求式子转化为，代入已知条件即可； （3）将式子化简为，即可确定、、的值； （4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积． 【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有； 故答案为； （2）由（1）可得， ，， ； 故答案为155； （3）， ，，， ； 故答案为9； （4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积， 即， ，， ． 【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键． 16. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ， ，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：210海里． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：略 [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ， ，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $