2025年8月天津市南开大学省身班选拔考试数学试题

2025年南开大学数学省身班选拔考试 时间：2025年8月25日14：30-16：10满分：100分 1.(20分) 已知函数f(x)=asin2x+bsinx+c,求出使下面三个条件成立的所有a,b,c. （1)当sinx=时，f()=381: (2)f(x)的最大值为444. (3)f(x)的最小值为364. 2.(15分) 已知数列{a,}其中a=2,01- -a. (1)求证： 是等比数列，并求{an}的通项公式： 2)已知数列b,}足b,4n二。 ,{b,}的前n项和为T,求证：T<2. 3.(20分) 程一为学第圆y'0<9< 圆「，与x轴相切于F,,并与y轴交于A,B两点，△ABE为等边三角形 (1)求椭圆C的方程： 2)已知圆r,:2+少=号P为酒r,上的-点，过点P的切线交精圆C于M,N两，点请问FM-PM是否 为定值，并给出理由 4.（15分) 求证： -cotx-cot 2"x. to sin 2'x 5.(15分) 已知d是正整数，且不与2,5,13相等. 求证：对于集合{d,2,5,13},必然存在两个不同的元素a,b,使得ab-1不是完全平方数. 6.(15分) 平面中是否存在满足以下条件的无穷点集，并给出理由 (1)任意三点都不共线： (2)任意两点的距离都是有理数