精品解析：广西“泽桂杯”2023-2024学年九年级下学期数学竞赛试卷

2024年广西“泽桂杯”九年级（下）数学竞赛试卷 一、选择题（共7小题） 1. 已知：，，且，则的值为（　　） A. 或 B. C. D. 或 2. 若，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的直径为（　　） A. 5 B. 8 C. 10 D. 4. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点C在和之间，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，则以下结论：①；②；③点D的坐标为；④连接，若，则是等边三角形；⑤关于x的方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 2 6. 若的三边a，b，c满足，那么的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 7. 边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（ ） A. 4040 B. 4044–π C. 4044 D. 4044＋π 二、填空题（共7小题） 8. 已知实数a，b满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，则代数式的值等于 _____． 9. 若关于的方程的解是，则______ ． 10. 如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，．若，则______． 11. 对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为最佳拆分点，例如，，则称是一个矩数，8为的最佳拆分点，把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，，例如，，，则，若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为，当时，则的最小值为______． 12. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，是常数，）的图象和直线都经过点，则的范围为___________． 13. 已知二次函数． （1）若抛物线经过点，则______． （2）若当时，其对应的函数值的最小值为4，则______． 14. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，Q在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为____________． 三、解答题（共5小题） 15. 先化简，再求值：的值，其中． 16. 如图，将含的直角三角板按下面的方式放置在一把刻度尺上，三角板与刻度尺下沿的边重合，三角板的一个顶点A在刻度尺的读数刻度线的正下方，按上述方法将一个的放置在该刻度尺上，若点H表示的读数为，求点B表示的读数（精确到),(参考数据，，) 17. 已知、都是正实数，且． （1）证明：必在和之间； （2）请问和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由． 18. 普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM＝∠ABC； （2）延长BC到D，使CD＝BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为，ED＝3，请补全图形，并求△ACE的外接圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广西“泽桂杯”九年级（下）数学竞赛试卷 一、选择题（共7小题） 1. 已知：，，且，则的值为（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 2. 若，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答. 【详解】∵，∴，故A正确； ∵，∴，故B正确； ∵，∴，故C正确； ∵，∴2-a>2-b，故D错误， 故选：D. 【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的直径为（　　） A. 5 B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出，故，得，即，设，则，运用勾股定理列式代入数值得，解得．即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴ ， ∴ ， ， ， ． 设， 则， 在中，， 即， 解得． 的直径． 故选：C． 4. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点C在和之间，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，则以下结论：①；②；③点D的坐标为；④连接，若，则是等边三角形；⑤关于x的方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置判断①；把抛物线与x轴的交点B的坐标代入解析式，根据对称轴得出a与b的关系，根据点C的位置判断②；点D是抛物线的顶点坐标，根据对称轴确定a，b的关系，代入求值即可判断③；根据已知条件求出BE，BC，EC三条线段的长，可判断④；将关于x的方程ax2 +bx+1 = -b变形得到ax2+bx+c= -b+c-1，根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴a< 0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c> 0， ∵抛物线对称轴在x轴的负半轴， ∴a，b同号， ∴b< 0， ∴abc> 0，①正确； ②∵抛物线与x轴交于点B(1，0)， ∴a+b+c= 0， ∵对称轴x=-= -1， ∴b= 2a， ∴3a+c= 0， ∴c= - 3a， ∵1<c< 2 < c< -，②正确； ③∵点D为顶点坐标， ∴其横坐标为x = - 1， ∴其纵坐标为y=a-b+c， a=b， ∴y= -， ∴点D的坐标为(-1，-b+c)，③正确； ④∵a= - ∴c=，即OC=， 在Rt△OBC中，OB= 1， BC=, ∵OE= OB，且OC⊥BE， ∴CE= BC= 2， 又∵BE= 2， ∴△BCE是等边三角形，④正确； ⑤方程ax+bx+1=-b变形为 ax2 +bx+c= -b+c- 1， ∵抛物线y= ax2 + bx + c的顶点坐标为(-1，-b + c)， ∴方程ax2 + bx+c=-b+c(a≠0)有两个相等的实数根，且实数根为 x1 =x2=-1， ∵-b+c-1 < -b+c， ∴点(x，-b+c- 1)在抛物线顶点的下方， ∴当y= -b+c- 1时，抛物线 y= ax2 + bx + c有两个点与其对应， ∴一元二次方程ax2 +bx+c= -b+c- 1有两个不相等的实数根，即方程ax2 +bx+1 =-b有两个相等的实数根，⑤正确； ∴正确的个数有5个 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线的位置与a， b， c符号之间的关系、二次函数与一元二次方程之间的关系等，掌握二次函数的性质与二次函数与方程的关系是解题的关键． 5. 已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的计算和化简，先整理，再把代入进行化简，即可作答． 【详解】解：， ， 故选：D． 6. 若的三边a，b，c满足，那么的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据完全平方公式将等式变形，然后根据两项相乘为零可得至少其中一项为零得到或，最后根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴或 ∴或， 的形状是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，完全平方公式，解题的关键是将等式正确变形． 7. 边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（ ） A. 4040 B. 4044–π C. 4044 D. 4044＋π 【答案】B 【解析】 【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可． 【详解】解：2021÷2＝1010…1， 所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积， 是：4440＋4﹣π＝4044﹣π． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键． 二、填空题（共7小题） 8. 已知实数a，b满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，则代数式的值等于 _____． 【答案】2或7 【解析】 【分析】分两种情况：（1）当a＝b时；（2）当a≠b时，联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得a2+b2和ab的值，然后将原式通分化简，代入求解． 【详解】解：（1）当a＝b时，＝1+1＝2； （2）当a≠b时，联立方程组 ， 将①+②得：a2+b2+2a+2b＝b+a+4， 整理得：a2+b2+a+b＝4③， 将①﹣②得：a2﹣b2+2a﹣2b＝b﹣a， 整理得：a2﹣b2+3a﹣3b＝0， （a+b）（a﹣b）+3（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b+3）＝0， 又∵a≠b， ∴a+b+3＝0，即a+b＝﹣3④， 将④代入③，得a2+b2﹣3＝4，即a2+b2＝7， 又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴ab＝1， ∴． 综上所述，代数式的值等于2或7． 故答案为：2或7． 【点睛】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键． 9. 若关于的方程的解是，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】把方程的解代入方程得关于的一次方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握分式方程的解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键． 10. 如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，．若，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键． 由于点E、F分别为的中点，根据垂径定理可得垂直平分垂直平分，再由直径所对的圆周角是直角得出都是等腰直角三角形，根据，设未知数，表示，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，分别交，于点，． ，分别为，的中点， 垂直平分，垂直平分． 又为的直径，， ， ， ， ，，，都是等腰直角三角形． ， ． 设，则，由勾股定理可得． 又，，， ，， ，． 又， ， 解得， ． 11. 对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为最佳拆分点，例如，，则称是一个矩数，8为的最佳拆分点，把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，，例如，，，则，若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为，当时，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义得到p，q，根据差记列式，解出t，s，即可得到答案； 【详解】解：∵“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与均为整数，且，， ∴或或或， ∴或或或， ∵t，s均为整数， ∴或， ∴的最小值为：， 故答案为：； 【点睛】本题考查新定义及解二元一次方程组，解题的关键是根据新定义列式得到整数积列二元一次方程组． 12. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，是常数，）的图象和直线都经过点，则的范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，从而得到，进而得到，再根据完全平方公式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（，是常数，）的图象和直线都经过点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 即的范围为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 13. 已知二次函数． （1）若抛物线经过点，则______． （2）若当时，其对应的函数值的最小值为4，则______． 【答案】 ①. 3 ②. 0或4##4或0 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质． （1）根据题意先将点代入中即可求出的值； （2）根据给定的，分情况讨论最小值情况即可求出本题答案． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点， ∴将点代入中得：， ∴； （2）∵当时，其对应的函数值的最小值为4， ①当处取得最小值，则，解得：或， ∵抛物线对称轴是，当时，即对称轴为与讨论情况矛盾，故舍去， ∴； ②当处取得最小值，则，解得：或， ∵抛物线对称轴是，当时，即对称轴为与讨论情况矛盾，故舍去， ∴； ③当对称轴取得最小值， ∵， ∴对称轴为：，此时， ∴此种情况舍去， 故答案为：0或4． 14. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，Q在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA=MQ1=1，∠Q1MA=120°，然后由直角三角形求MQ即可． 【详解】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1， 当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合， 当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2， ∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2所在的直线， 当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示： ∵ABCD是矩形，AB=2，AD=2，M是AB边的中点， ∴AM=BM=1， ∵是等边三角形， ∴MQ1=AM=BM=1，∠BMQ1=60°， ∴∠Q1MA=120°， ∴∠MQ1Q=30°， 又∵MQ⊥Q1Q2， ∴MQ=． 故答案为： 【点睛】本题主要考查垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，关键是根据题意分析出当M在BP的垂直平分线上时QM最短． 三、解答题（共5小题） 15. 先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，再代入x的值即可求解． 【详解】 = = = ∵=2 ∴原式=． 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及实数的性质． 16. 如图，将含的直角三角板按下面的方式放置在一把刻度尺上，三角板与刻度尺下沿的边重合，三角板的一个顶点A在刻度尺的读数刻度线的正下方，按上述方法将一个的放置在该刻度尺上，若点H表示的读数为，求点B表示的读数（精确到),(参考数据，，) 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，首先在等腰直角三角形中得到，从而得到，然后在中，根据正切函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点作于，过点作于， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， 点B表示的读数为． 【点睛】本题考查了解直角三角形得应用，通过作辅助线得到是解题的关键． 17. 已知、都是正实数，且． （1）证明：必在和之间； （2）请问和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由． 【答案】（1） 证明： ， 、都是正实数，且， ，， ， ， 即， ①且或②且， 由①解得：； 由②解得：， 必在和之间； （2） 更接近，理由如下： ， 有以下两种情况： ①当时， ，， 在数轴上点表示，点表示，点表示， 如下图所示： ， ， ， ， ， 点离点更近， 更接近； ②当时， ，， 在数轴上点表示，点表示，点表示，如下图所示： ， ， ， ， ， 点离点更近， 更接近， 综上所述：更接近， 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，分式的混合运算： （1）先求出，再由、都是正实数，且，可得，从而得到且或且，即可解答； （2）分两种情况：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 【答案】（1）；（2）2450元；（3） 【解析】 【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． （3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得： 解得：． ∴y与x的关系式为； （2）由题意知：， ∴W与x的关系式为：， ∴， ∴当时，在内，W的值最大为2450元 （3）若公司想获得不低于2000元周利润，则， 解得，所以当时，， 又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克， ∴销售单价范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数和二次函数的实际应用．根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，再运用二次函数性质解决问题是解题的关键． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM＝∠ABC； （2）延长BC到D，使CD＝BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为，ED＝3，请补全图形，并求△ACE的外接圆的半径． 【答案】 （1）证明：如图，连接OC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵CM是⊙O的切线， ∴OC⊥CM， ∴∠ACM+∠ACO＝90°， ∵CO＝AO， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠ACM＝∠ABC； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，应用角的转换即可证得结论； （2）由已知可得OC是△ABC的中位线，从而可得ΔAEC是直角三角形，即AEC的外接圆的直径为AC，通过证明△ABC∽△CDE求得BC的长，在Rt△ABC中应用勾股定理求出AC的长，从而得到△ACE的外接圆的半径． 【详解】解：（1）略 （2）∵BC＝CD，∠ACB＝90°， ∴∠OAC＝∠CAD， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD， ∵OC⊥CE， ∴AD⊥CE， ∴△AEC是直角三角形， ∴△AEC的外接圆的直径是AC， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠ACM+∠ECD＝90°， ∴△ABC∽△CDE， ∴ ∵⊙O的半径为，ED＝3， ∴AB＝9， ∴ ∴BC2＝27， ∴ ∴ ∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $