22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像与性质 讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 二次函数y = a（x-h）²+ k的图像与性质 教学目标 1、 理解二次函数y = a（x-h）²+ k的图像与性质 2、 根据二次函数的图像判断性质 3、 理解并运用二次函数的性质求取函数最值、增减性 4、 理解并运用平移原则，求取平移后的函数解析式 知识网络： 二次函数y = a（x - h）²+ k的图像与性质 知识精讲： 二次函数y=a（x - h）²+ k的图像和性质 问题定位 例1 题类： 根据二次函数的图像判断性质 如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y = -2(x - h)²+k，则下列结论正确的是（ ） A. h>0，k>0 B. h<0，k>0 C. h<0，k<0 D. h>0，k<0 例2 题类：已知二次函数解析式求最值；判断函数增减性；求顶点坐标对称轴 抛物线y = 2（x + 1）²- 5的顶点坐标为 ；对称轴为 ，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最 值是 . 例3 题类： 已知二次函数解析式，求平移后的二次函数解析式 将抛物线y = x²向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相对应的函数表达式是（ ） A. y =（x+2）²+ 1 B. y =（x+2）²- 1 C. y =（x-2）²+ 1 D. y =（x-2）²+-1 例4 题类： 已知二次函数解析式，比较纵坐标大小 已知二次函数y = 3（x - 2）²+ k的函数图像经过点A（1，），B（2，）， C（-5，），则，，的大小关系为 . 例5 题类： 已知二次函数解析式判断图像；对称轴；顶点 写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点 （1）y = x²+ 3 （2） y= -3（x - 1）²- 4 优化提高 【变式1】将抛物线y = 2x²经过（ ）的平移可得到抛物线y = 2(x+3)²+ 4. A. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 【变式2】 关于x的二次函数y = -（x - 1）²+ 2，下列说法正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（-1,2） C．当x >1时，y随x的增大而减小 D. 图象与y轴的交点坐标为（0,2） 【变式3】 如图，把抛物线y = x²沿直线y = x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ） A. y = （x + 1）²- 1 B. y = （x + 1）²+ 1 C. y = （x - 1）²- 1 D. y = （x - 1）²+ 1 【变式4】 二次函数y =（x + 1）²- 2的图像大致为（ ） 【变式5】已知二次函数的图像关于直线x = 3对称，最大值为0，与y轴的交点是（0 , -1），求二次函数解析式。 历年真题训练 真题1 题类：已知二次函数解析式判断函数顶点、开口方向与对称轴 （2024年番禺区九上期末卷）关于抛物线y = 3（x - 1）²+ 2，下列说法错误的是（ ）. A.开口方向向上 B.对称轴是直线x = 1 C.顶点坐标为（1，2） D.当x > 1时，y随x的增大而减小 真题2 题类： 已知二次函数解析式，求平移后的二次函数解析式 （2024年海珠区九上期末卷）将抛物线y = - 5x²先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A.y = - 5（x + 1）²+ 2 B.y = - 5（x - 1）²+ 2 C.y = - 5（x + 2）²+ 1 D.y = - 5（x - 1）²+ 1 真题3 题类： 已知二次函数，求取函数顶点坐标 （2024年花都区九上期末卷）抛物线y = 4（x - 3）²+ 2的顶点坐标是 . 真题4 题类：根据二次函数图像性质，比较纵坐标大小 （2024年南沙区九上期末）已知在二次函数y = 3（x - 5）²+ m上有点（-2，），点（4，），则关于，的大小判断正确的是（ ） A. > B. < C. = D. 无法确定 真题5 题类：已知最值与x取值范围，求取二次函数参数 （2024年天河区九上期末）已知二次函数y = a（x - 1）²- a（a≠0），当-1 ≤ x≤ 4时，y的最小值为- 4，则a的值为（ ） A. 或4 B. - 或 - C. - 或4 D. - 或4 真题6 题类：根据二次函数图像性质，比较纵坐标大小 （2024年荔湾区西外集团九月月考卷）已知点A（-3，a），B（-2，b），C（1，c）均在抛物线y = 3（x + 2）²+ k上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. c < a < b B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a 答案： 二次函数的概念 问题定位 例1. A 例2. （-1，-5）；x= -1；x< -1；x= -1；最小值是 - 5 例3. C 例4. << 例5. 解：（1）开口向上；对称轴：x=0，顶点（0，3） （2）开口向下；对称轴：x=1，顶点（1，-4） 优化提高 【变式1】 B 【变式2】 C 【变式3】 D 【变式4】 C 【变式5】 解：由题意得:设二次函数解析式为y= a（x - 3）² 将（0，-1）代入得：a = - ∴二次函数解析式为y = - （x - 3）² 历年真题训练： 真题1：D 真题2：A 真题3：（3，2） 真题4：A 真题5：D 真题6：C 学科网（北京）股份有限公司 $$