21.3 一元二次方程的应用（一）讲义 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第四讲 一元二次方程的应用（一） 【知识解读】列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题； 2. 设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3. 找等量关系列方程； 4. 解方程； 5. 检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义； 6. 写出正确的解． 【典例分析】 【类型1】单双循环问题 循环问题有单循环和双循环之分： 单循环指执行一次就可完成，如打电话；握手；比赛（两队之间只进行一场等） 双循环指执行两次才能完成任务，如发短信；互换礼物；比赛（主客场都要进行比赛） 【例1】初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（  B  ） A． B． C． D． 【例2】“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（ C  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（  D  ） A． B． C． D． 2. 在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（  B  ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 3. 要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排 28 场比赛，应邀请多少个队参赛（ C ） A．6 B．7 C．8 D．9 4. 年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍支，共比赛了场，则 15 ． 5. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 6 名同学？ 【类型2】传播问题 对于病毒传播问题，需要注意的是，每感染一次，原始被感染的物体仍然存在，下一次感染是所有已经被感染的都会成为感染源，这一点在算个数的过程中一定要特别注意. 【例1】．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 依题意得， 即， 解得：或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14人． 【例2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（  A ） A． B． C． D． 【举一反三】 1. 有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（ C ） A． B． C． D． 2. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　D　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 3．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　A　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ C  ） A． B． C． D． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ C  ）根小分支 A． B． C． D． 6. 某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 12 根支根． 【类型3】平均变化率问题 核心公式 ： A=B 说明：A：基础量，即在谁的基础上增长（降低）； B：变化后的量； x：平均增长（降低）率 n：增长次数 【例1】根据福建省统计局数据，福建省2020年的出生人数为38.21万人，2022年的出生人数为29.61万人．设这两年福建省的出生人数的年平均下降率为x，根据题意可列方程（  B  ） A． B． C． D． 【例2】某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ D  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2022年为10.8万人次，2024年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则根据题意列出的方程为（　C　） A．10.8（1+x）＝16.8 B．16.8（1﹣x）＝10.8 C．10.8（1+x）2＝16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8 2. 青山村种的水稻2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产． (1)求水稻每公顷产量的年平均增长率． (2)按照这样的增长方式，预计2025年平均每公顷产多少？ 【详解】（1）解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， 则有：， 解得：，（应舍去）， 故水稻每公顷产量的年平均增长率为； （2）解：， 答：预计2025年平均每公顷产． 3. 某省为解决农村饮水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2023年，A市在省财政补助的基础上投资500万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2025年该市计划投资“改水工程”720万元． (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率； (2)从2023年到2025年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 【详解】（1）解：设A市投资“改水工程”的年平均增长率为， ， 解得或（舍去）， 答：A市投资“改水工程”的年平均增长率为． （2）解：万元， 答：A市三年共投资“改水工程”万元． 【类型4】一元二次方程的实际问题——数字问题 位值原理：若一个两位数的十位数字和个位数字分别为 x，y，则这个数可表示为 10x+y； 若一个三位数的百位数、十位数字和个位数字分别为 x，y，z，则这个数可表示为 100x+10y+z，以此类推. 注意：个别问题可能用不到位值原理，那么只需根据题目的描述，正常列算式即可. 【例1】已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（  D  ） A． B． C． D． 【例2】一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 23或32 ． 【举一反三】 1. 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为， 根据题意，得：， 整理得， 解得，（舍去） ∴ 答：这个两位数是68． 2. 2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为． 依题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：这个最小数为． 3. 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 452 ． 【详解】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， ∴十位上的数字为，百位上的数字为． 故答案为：． 4. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ A  ） A． B． C． D．或 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 一元二次方程的应用（一） 【知识解读】列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题； 2. 设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3. 找等量关系列方程； 4. 解方程； 5. 检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义； 6. 写出正确的解． 【典例分析】 【类型1】单双循环问题 循环问题有单循环和双循环之分： 单循环指执行一次就可完成，如打电话；握手；比赛（两队之间只进行一场等） 双循环指执行两次才能完成任务，如发短信；互换礼物；比赛（主客场都要进行比赛） 【例1】初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2. 在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 3. 要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排 28 场比赛，应邀请多少个队参赛（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4. 年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍支，共比赛了场，则 ． 5. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 【类型2】传播问题 对于病毒传播问题，需要注意的是，每感染一次，原始被感染的物体仍然存在，下一次感染是所有已经被感染的都会成为感染源，这一点在算个数的过程中一定要特别注意. 【例1】．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【例2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1. 有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 2. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 3．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 6. 某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【类型3】平均变化率问题 核心公式 ： A=B 说明：A：基础量，即在谁的基础上增长（降低）； B：变化后的量； x：平均增长（降低）率 n：增长次数 【例1】根据福建省统计局数据，福建省2020年的出生人数为38.21万人，2022年的出生人数为29.61万人．设这两年福建省的出生人数的年平均下降率为x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【例2】某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2022年为10.8万人次，2024年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则根据题意列出的方程为（　　） A．10.8（1+x）＝16.8 B．16.8（1﹣x）＝10.8 C．10.8（1+x）2＝16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8 2. 青山村种的水稻2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产． (1)求水稻每公顷产量的年平均增长率． (2)按照这样的增长方式，预计2025年平均每公顷产多少？ 3. 某省为解决农村饮水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2023年，A市在省财政补助的基础上投资500万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2025年该市计划投资“改水工程”720万元． (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率； (2)从2023年到2025年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 【类型4】一元二次方程的实际问题——数字问题 位值原理：若一个两位数的十位数字和个位数字分别为 x，y，则这个数可表示为 10x+y； 若一个三位数的百位数、十位数字和个位数字分别为 x，y，z，则这个数可表示为 100x+10y+z，以此类推. 注意：个别问题可能用不到位值原理，那么只需根据题目的描述，正常列算式即可. 【例1】已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【举一反三】 1. 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 2. 2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 3. 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 4. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 学科网（北京）股份有限公司 $$