精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明县宁明中学2025-2026学年高一上学期暑期综合素质测试（开学）数学试题

2025级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1.试卷分值：100分；建议时长：60分钟； 2.请将答案正确填写到相应的答题区域. 一､单选题（本题共6小题，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求答案. 【详解】已知一元二次方程的两个根分别为，由根与系数的关系，可得， 故选：B. 2. 对多项式分解因式正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“十字”相乘法分解因式即得. 【详解】，ACD错误，B正确. 故选：B 3. 关于的不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质即可求解. 【详解】由得，解得. 故选：B 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子作因式分解，然后可得结果.. 【详解】由题可知：， 所以 故选:C. 5. 已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：B. 6. 已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接与的延长线相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，连接，由平行关系可得.由，利用勾股定理可得即可求解. 【详解】过点作，交于点，连接. 因为，,所以，即. 因为点是的中点，，所以，即，所以. 因为正方形的边长为，所以， 所以 ， 所以， 所以. 故选:B. 二､填空题（本题共4小题，共20分） 7. 一个直角三角形的两条直角边的比是，则它们在斜边上的射影之比是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据射影定理即可求解. 【详解】如图，在中，，且，， 则由射影定理，可得，， 所以，，所以. 故答案为：. 8. 设，且，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用立方差公式分解因式，再代入计算即得. 【详解】由，得. 故答案为：4 9. 如图，在中，，圆 与的三边相切于点，若圆 的半径为2，则的周长为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】利用切线长定理，结合三角形内切圆的性质及勾股定理计算即可 【详解】连接，设，易得， 由圆 与的三边相切于点，可知， 所以四边形为正方形， 因为圆 的半径为，所以， 在中，，即，解得， 所以的周长为. 故答案为：30 10. 若已知二次函数经过点，且在轴上截得的线段长为2，则该抛物线的解析式为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次函数的两点式，分类讨论结合待定系数法计算即可. 【详解】因为抛物线与轴有交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，则根据抛物线在轴上截得的线段长为2， 可知， 又已知，所以不妨设，则可得或. 若，设，代入点坐标，得， 此时解析式为； 若，则设，代入点坐标，得， 此时解析式为. 综上，抛物线的解析式为或. 故答案为：或 三､解答题（本题共3小题，共50分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 11. 解下列方程（组）： （1）； （2）. 【答案】（1）或或或； （2）3或7. 【解析】 【分析】（1）由因式分解即可求解， （2）将根号移到两边平方即可求解. 【小问1详解】 原方程组为， 可变形为或， 分别解这两个方程组，得原方程组得解为或或或. 【小问2详解】 原方程可整理为：， 左右两边同时平方整理得：， 左右两边同时平方整理得：， 解之得或， 经检验，或是原方程的解. 12. 如图，点的坐标分别为，以点为圆心，2为半径画，点在上运动，连接，交于点，点 为线段的中点，连接，则线段的最小值为多少？ 【答案】3 【解析】 【分析】连接，由圆的性质可得，故点 在以为直径的上运动，连接交于 ，当三点共线时，线段的值最小.由勾股定理求出，减去的半径即可求解. 【详解】如图，连接， ∵点 为线段的中点，∴由圆的性质可得， ∴点 在以为直径的上运动，的半径为， 如图，连接交于 ， ∴当三点共线时，线段的值最小， 由勾股定理得，， ∴线段的最小值为. 13. 如图，边长为6的等边三角形内接于，点为上的动点（点除外），的延长线交于点，连接. （1）求证； （2）当时，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形相似的判定即可证明； （2）根据，可得，再由，根据三角形相似的性质，即可解题. 【小问1详解】 弧所对的圆周角是， 又； 【小问2详解】 是等边三角形， ， 因为，所以； 连接，如图，弧弧， 又， ， （负值舍去），，解得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1.试卷分值：100分；建议时长：60分钟； 2.请将答案正确填写到相应的答题区域. 一､单选题（本题共6小题，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 对多项式分解因式正确的是（ ）. A. B. C. D. 3. 关于 的不等式的解为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接与的延长线相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本题共4小题，共20分） 7. 一个直角三角形的两条直角边的比是，则它们在斜边上的射影之比是__________. 8. 设，且，则______. 9. 如图，在中，，圆 与的三边相切于点，若圆 的半径为2，则的周长为__________. 10. 若已知二次函数经过点，且在 轴上截得的线段长为2，则该抛物线的解析式为__________. 三､解答题（本题共3小题，共50分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 11. 解下列方程（组）： （1）； （2）. 12. 如图，点的坐标分别为，以点为圆心，2为半径画，点在上运动，连接，交于点，点 为线段的中点，连接，则线段的最小值为多少？ 13. 如图，边长为6的等边三角形内接于，点为上的动点（点除外），的延长线交于点，连接. （1）求证； （2）当时，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $