15.3.1 等腰三角形 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.1等腰三角形 第1 课时等腰三角形的性质 基础夯实 知识点 1 等腰三角形性质 1“等边对等角” 1.「2025浙江杭州期末」如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,若∠A=40°,则∠DBC 的度数为( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 2.如图,在△ABC中,AB=AD,∠B=2∠C,∠BAD=32°,则∠C的度数为 ( ) A.32° B.35° C.37° D.40° 3.「2025北京门头沟期末」如图,在△ABC中,DE 垂直平分AB,垂足为D,交 BC 于点 E,连接AE.如果AE=AC,∠B=25°,那么∠C 的度数是 . 4.如图,点D 是BC上的一点,若△ABC≌△ADE,且∠B=55°,则∠EAC= °. 5.若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 . 6如图,在△ABC中,点 D 在 BC上,AB=AC=CD,且AD=BD.求△ABC 的三个内角的度数. 知识点 2 等腰三角形性质2“三线合一” 7.「2025江苏苏州期中」如图，某园林中一亭子的顶端可看成等腰△ABC,其中AB=AC,若D 是BC边上的一点，则下列不能说明BD=CD的是 ( ) A. AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.∠B=∠C D.△ABD≌△ACD 8.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边 BC,AC上的点,连接AD,BE.若AD 和BE分别是△ABC的中线和角平分线,∠CAD=20°,求∠CBE 的度数. 能力提升 9.「2024甘肃兰州中考, ★☆」如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ( ) A.100° B.115° C.130° D.145° 10.「2025重庆期末, 」如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,BF⊥AC 于点F,BF=16,则DE的长为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 11.「2025河北石家庄二中月考, 〔如图,△ABC 与△BCD均为等腰三角形,AB=AC,BD=BC,AC∥BD.若∠ABD=40°,则∠D 的度数为 ( ) A.20° B.35° C.40° D.60° 12.「2025浙江台州期末，」“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O处相连并可绕O 转动,C固定,OC=CD=DE,D,E可在槽中滑动,若∠BDE=69°,则∠CDE 的度数是 ( ) A.60° B.69° C.76° D.88° 13.「2024四川内江中考, 」如图,在△ABC中,∠DCE= 40°,AE = AC, BC = BD, 则 ∠ACB 的度数为 . 14.「2024山西太原十五中月考, 」如图,已知∠BAC=80°,A₁,B₁分别是射线 AC,线段A₁B 上的点,且A₁B=AB,A₂,B₂分别是射线A₁C,线段A₂B₁上的点，且 以此类推. (1)根据上述条件,∠A₃A₄B₃的度数为 . 的度数为 . 素养提优 15.「2025山东日照期中」探究与发现：如图①,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 在底边 BC上,AE=AD,连接DE. (1)当∠BAD=60°时,求∠CDE 的度数. (2)当点 D 在BC(点B、C 除外)上运动时,试猜想并探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系. (3)深入探究:若∠BAC≠90°,其他条件不变,试就图②探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系. 第2课时 等腰三角形的判定 基础夯实 知识点 等腰三角形的判定 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD 是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.∠A:∠B:∠C=2:2:5 B. a:b:c=3:4:5 C. a=5,b=6,c=5 D.∠A=40°,∠B=100° 3.根据数据如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P 的距离为 海里. 4.「2025广东潮州期末」如图,在△ABC 的BC边上截取BE=AB,连接AE,作△ABE 的角平分线 BD 交AE于点D,若∠EAC=∠C,BC=9,AB=5,则AD= . 5.尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段a，h. 求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. (要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法) 6.如图,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是AB、AC边上的点,并且MN∥BC. (1)求证:△AMN是等腰三角形. (2)点 P 是 MN上的一点,并且BP 平分∠ABC,求证：△BPM是等腰三角形. C 能力提升 7.「2025内蒙古呼和浩特期中, 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD,∠CAD=∠C,若AB=5,AD=2，则BC的长为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 8.「2025山西晋中期末, (1)如图，在平面直角坐标系中有一点 P(4,3),连接OP,OP=5,在x轴上找一点Q,使△OPQ 是以 OP 为腰的等腰三角形,则点 Q的坐标不能是 ( ) A.(-5,0) B.(5,0) C.(8,0) 9.分类讨论「2025浙江杭州月考改编, 」如图,在△ABC中,AB=2,∠B=∠C=40°,点D 在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC 于点 E. (1)当 DC等于多少时,△ABD≌△DCE? 请写出完整的证明过程. (2)在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状也在改变，问当∠BDA 等于多少度时，△ADE 为等腰三角形? 10.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,线段AC 的垂直平分线交AC 于点 D,交BC于点 E,连接AE,求证:AE 是△ABC 的一条特异线. (2)若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角，求出所有可能的∠B的度数. 微专题 角平分线+平行线→等腰三角形 1.如图，在 中,∠ABC的平分线与△ABC 的外角平分线交于点 D,过点 D 作 EF∥BC,交AB于E,交 AC 于 F,若BE=8,CF=6,则 EF 的长是 2 . 2.「2025湖北襄阳期中」如图,在△ABC 中,AD 平分 过线段CD上一点 E 作 交AC于点 F,交 BA 的延长线于点 G. (1)求证:△AFG是等腰三角形. (2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B 的度数. 15.3.1等腰三角形 第1 课时等腰三角形的性质 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 1 等腰三角形性质 1“等边对等角” 1.「2025浙江杭州期末」如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,若∠A=40°,则∠DBC 的度数为(B) A.30° B.35° C.40° D.45° 2.如图,在△ABC中,AB=AD,∠B=2∠C,∠BAD=32°,则∠C的度数为 (C) A.32° B.35° C.37° D.40° 3.「2025北京门头沟期末」如图,在△ABC中,DE 垂直平分AB,垂足为D,交 BC 于点 E,连接AE.如果AE=AC,∠B=25°,那么∠C的度数是 50°. 4.如图,点 D 是 BC 上的一点,若△ABC≌△ADE,且∠B=55°,则∠EAC= 70 °. 5.易错题若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 40°或100°. 6.如图,在△ABC中,点 D 在 BC上,AB=AC=CD,且AD=BD.求△ABC的三个内角的度数. 答案解析 设∠B=x,∵AB=AC,∴∠C=∠B=x, ∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x, 由三角形外角的性质得∠CDA=∠B+∠BAD=2x, ∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA=2x, ∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°, ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠C=36°,∠B=36°, ∴ △ABC的三个内角的度数分别是 108°,36°,36°. 知识点 2 等腰三角形性质2“三线合一” 7.「2025江苏苏州期中」如图，某园林中一亭子的顶端可看成等腰△ABC,其中AB=AC,若D是BC边上的一点，则下列不能说明BD=CD的是 (C) A. AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.∠B=∠C D.△ABD≌△ACD 8.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边 BC,AC上的点,连接AD,BE.若AD 和BE分别是△ABC的中线和角平分线,∠CAD=20°,求∠CBE 的度数. 能力提升 9.「2024甘肃兰州中考, ★☆」如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= (B) A.100° B.115° C.130° D.145° 10.「2025重庆期末, 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,BF⊥AC 于点F,BF=16,则DE的长为 (C) A.6 B.7 C.8 D.9 11.「2025 河北石家庄二中月考, 〔☆」如图,△ABC 与△BCD均为等腰三角形,AB=AC,BD=BC,AC∥BD.若∠ABD=40°,则∠D 的度数为 (B) A.20° B.35° C.40° D.60° 12.新教学文化「2025浙江台州期末，「公」“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O处相连并可绕O 转动,C 固定,OC=CD=DE,D,E可在槽中滑动,若∠BDE=69°,则∠CDE 的度数是 (D) A.60° B.69° C.76° D.88° 13.「2024四川内江中考, 如图,在△ABC中,∠DCE= 40°,AE = AC, BC = BD, 则 ∠ACB 的度 数为 100°. 14.「2024山西太原十五中月考, 」如图,已知∠BAC=80°,A₁,B₁分别是射线AC,线段A₁B上的点,且A₁B=AB,A₂,B₂分别是射线 A₁C,线段A₂B₁上的点，且 ，以此类推. (1)根据上述条件,∠A₃A₄B₃的度数为 10°. 的度数为 素养提优 15.「2025山东日照期中」探究与发现：如图①,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB =AC,点D在底边BC上,AE=AD,连接DE. (1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数. (2)当点 D 在BC(点B、C除外)上运动时,试猜想并探究∠BAD 与∠CDE的数量关系. (3)深入探究:若∠BAC≠90°,其他条件不变,试就图②探究∠BAD 与∠CDE的数量关系. 第2课时等腰三角形的判定 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 等腰三角形的判定 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD 是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有 (C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 (B) A.∠A:∠B:∠C=2:2:5 B. a:b:c=3:4:5 C. a=5,b=6,c=5 D.∠A=40°,∠B=100° 3.醋酸如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P 的距离为 80 海里. 4.「2025广东潮州期末」如图,在△ABC 的 BC边上截取BE=AB,连接AE,作△ABE 的角平分线 BD 交AE于点D,若∠EAC=∠C,BC=9,AB=5,则AD= 2 . 5.新建设在图「2024山东济南期末」尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段a，h. 求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. (要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法) 见答案册D29 6.如图,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是AB、AC边上的点,并且MN∥BC. (1)求证:△AMN 是等腰三角形. (2)点 P 是 MN上的一点,并且BP 平分∠ABC,求证：△BPM是等腰三角形. 答案证明 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C, ∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN, ∴ △AMN是等腰三角形. (2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP,∵MN∥BC, ∴∠MPB=∠CBP,∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP, ∴△BPM是等腰三角形. 能力提升 7.「2025 内蒙古呼和浩特期中, 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD,∠CAD=∠C,若AB=5,AD=2，则BC的长为 (D) A.6 B.7 C.8 D.9 8.「2025山西晋中期末，」如图，在平面直角坐标系中有一点 P(4,3),连接OP,OP=5,在x轴上找一点Q,使△OPQ 是以 OP 为腰的等腰三角形,则点 Q的坐标不能是 (D) A.(-5,0) B.(5,0) C.(8,0) 学科网（北京）股份有限公司 9.学科分类讨论特色思想 「2025浙江杭州月考改编, 〔如图,在△ABC中,AB=2,∠B=∠C=40°,点 D 在线段 BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC 于点 E. (1)当 DC等于多少时,△ABD≌△DCE? 请写出完整的证明过程. (2)在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状也在改变，问当∠BDA 等于多少度时，△ADE 为等腰三角形? 素养提优 10.新几何直观如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,线段AC 的垂直平分线交AC于点 D,交 BC于点 E,连接AE,求证:AE 是△ABC的一条特异线. (2)若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角，求出所有可能的∠B 的度数. 微专题 角平分线+平行线→等腰三角形 1.如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于点 D,过点 D 作 EF∥BC,交AB于E,交 AC 于 F,若BE=8,CF=6,则 EF 的长是 2 . 2.「2025湖北襄阳期中」如图，在 中,AD 平分 过线段CD上一点E作 交AC于点 F,交 BA 的延长线于点 G. (1)求证: 是等腰三角形. (2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数. 解析 答案(1)证明:∵AD平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD. ∵EG∥AD, ∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, ∴∠G=∠AFG, ∴AG=AF, ∴ △AFG 是等腰三角形. (2)∵ CE=EF, ∴∠CFE=∠C. ∵∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD, ∴∠C=∠CAD. ∵∠BAC=80°,AD平分∠BAC, ∴∠C=∠CAD=40°, 学科网（北京）股份有限公司 $$