专题 2.11 隐形圆（模型梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题 2.11 隐形圆 目录 一.模型梳理与题型分类精析 1 模型（一）“定弦定长”模型 1 【题型1】“定弦定长”模型 1 模型（二）“定弦定角”模型 5 【题型2】“定弦定角”模型 5 模型（三）“直角圆周”模型 10 【题型3】“直角圆周”模型 10 模型（四）“四点共圆”模型 13 【题型4】四点共圆模型 13 二. 同步练习 18 一.模型梳理与题型分类精析 模型（一）“定弦定长”模型 如图1，线段AB、OA、OB为定长，且OA=OB=OP，若点P为动点，如图2，点P的运动轨迹为以点O为圆心OA长为半径的一个圆.在☉o中，我们称AB为定弦，OA、OB为半径，故称为“定弦定长”模型 【题型1】“定弦定长”模型 【例题 1】（2025·河南·二模）如图，在中，，，，是斜边上一动点，将沿直线翻折，点的对应点为，连接．当时，的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，等边三角形的判定和性质是关键． 根据折叠，得到，当时，以点为圆心，以为半径画圆交于点，如图所示，可得是等边三角形，由，即可求解． 解：∵在中，，，， ∴，， ∵折叠， ∴， 当时，以点为圆心，以为半径画圆交于点，如图所示， ∵， ∴点与点重合， ∴， ∴是等边三角形， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：1 ． 【变式1】（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 本题中先证明，角度推导得，继而确定点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接，利用等边对等角以及四边形内角和定理可求出，后面解含有角的直角三角形即可． 解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接 ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由得，， 当O、P、C三点共线，即点P位于点时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，由得 ∴， ∴，即最小值为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，由 垂直平分 ，得 ，则   ，所以 ，由点 与点 关于直线 对称，得 ，当点 与点 重合时，则点 与点 重合，所以点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2 的圆上的一段弧，即 ，根据弧长公式求得 ，于是得到问题的答案． 解：延长 到点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 与点 关于直线 对称， ∴直线 垂直平分 ， ， ∴点 在以点 为圆心，半径为2的圆上运动， ∵当点 与点 重合时，则点 与点 重合， ∴点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2的圆上的一段弧，即 ， ， ∴点 的运动路径长为 ， 故选：C．  ． 【点拨】此题重点考查等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，弧长公式，轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 模型（二）“定弦定角”模型 如图3，在中，线段AB为定长，为定值，若点P为动点，如图4，点P的运动轨迹为在的外接圆上.我们称AB为定弦，为定角，故称为“定弦定角”模型 【题型2】“定弦定角”模型 【例题 2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得出，，求出，根据同弧所对的圆周角相等可知，点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，长度最小，由等边三角形的性质得出，，求出和的长，可得的长，即可得出答案． 解：是等边三角形， ，， ， ， ， 点P的运动轨迹是， 设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，长度最小， 设交于D，如图所示： 此时，， 则，，， ，， 由勾股定理得：，， ，， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质,同弧所对的圆周角相等,三角形内角和定理、勾股定理等知识，作辅助线构建圆是解决问题的关键． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，是半圆的直径，，点是半圆上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，交于点，当点从点开始运动，直到点运动到点时停止，则点运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，动点路径长，通过分析动点的运动轨迹，将其转化为圆的问题是解题的关键．根据圆心角和圆周角关系可得，进而可得，由此得出以为边向下作等边，点C在以为圆心，以为半径的圆上运动，据此即可解题． 解： ∵由题意可知：， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴以为边向下作等边，点C在以为圆心，以为半径的圆上运动， ∴点运动的路径长． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为， 故选：D． 模型（三）“直角圆周”模型 如图5，在中，线段AB为定长，，若点P为动点，如图6，点P的运动轨迹为在的外接圆上.因为AB为直么，为直角，故称为“直角圆周”模型 【题型3】“直角圆周”模型 【例题 3】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，是内部的一个动点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为． 解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一点到圆上一点的最值，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的上运动，进而由勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在以为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题可先确定点的轨迹，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求解的最小值． 解： ∵， ∴． 取的中点，连接，连接，连接． ∴， ∵点是半圆的中点，是直径， ∴，． ∴由勾股定理，且， ∵， ∴，即，， ∴， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴． ∵点在以为圆心，为半径的圆上， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、圆的轨迹问题以及勾股定理，熟练掌握点的轨迹确定方法和利用圆外一点到圆上点的距离最值求解是解题的关键． 模型（四）“四点共圆”模型 如图7，在四边形中，为动角，如果，则动点B、D与定点A、C四点在同一个圆上。称为“四点共圆”模型 【题型4】四点共圆模型 【例题 4】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，即可求出的最小值． 解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C、D、P、E四点共圆， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，， ∵，，   ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共圆，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共圆， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点H，连接交于点G，连接，当时，有最小值，此时易得是等腰三角形，推出，即有最小值，则有最小值，此时根据，推出，设中点为O，根据，易得点在以点O为圆心为直径的圆上，易得，由，易得此时点B在圆O上，进而推出，则，得到四边形是矩形，即，利用勾股定理即可计算出的最小值，进而得出结果． 解：取中点H，连接交于点G，连接， 当时，有最小值， 点H是中点，， 是等腰三角形， ， 是定值，有最小值时， 即有最小值，则有最小值， ， ， 设中点为O， ， 点在以点O为圆心为直径的圆上， ， ， 此时点B在圆O上， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键． 二. 同步练习​ 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，证明，推出，点在以为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论． 解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，4为半径的上， ， ， 的最小值为． 故选：D． 【点拨】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为1，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 解：，点是矩形内一动点， 点在为直径，在矩形内的半圆上运动， 矩形中，，， ， 如图所示，取的中点，则 点到的最短距离为， 面积的最小值为， 故选：B． 4．（2016·内蒙古包头·二模）如图，已知正方形的边长为2，E是边上的动点，交于点，垂足为点G，连接；①；②；③点G运动的路径长为；④的最小值．其中正确的说法有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为中点，可判断出①错误；求得，根据正方形的性质证明，再根据全等三角形对应边相等，可判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，然后求出弧的长度，可判断出③错误；由于和的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理求出最小长度，即可判断出④正确． 解：在正方形中，， 保持不变， 点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧， 当E移动到与C重合时，F点和D点重合， ，故①错误； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 当E点运动到C点时停止， 点G运动的轨迹为圆， 圆弧的长，故③错误； 和的长度是一定的， 当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值， ， 的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④， 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出和全等是解题的关键，此题求运动轨迹有一定的难度． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以为直径的上，连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 解：∵在中，，，，    ∴由勾股定理，得， 如图，取的中点O，连接，交圆于点， ∵，， ∴， ∴， ∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短， 此时， 在中， 由勾股定理，得， 故的最小值为： ， 故选：C． 6．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题可先确定点的轨迹，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求解的最小值． 解： ∵， ∴． 取的中点，连接，连接，连接． ∴， ∵点是半圆的中点，是直径， ∴，． ∴由勾股定理，且， ∵， ∴，即，， ∴， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴． ∵点在以为圆心，为半径的圆上， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、圆的轨迹问题以及勾股定理，熟练掌握点的轨迹确定方法和利用圆外一点到圆上点的距离最值求解是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识点，正确作出辅助线、发现点E的轨迹是解题的关键． 如图：过C作于H，由勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得、、，即为等腰直角三角形；如图：取的中点O，连接，易证点C、D、H、E四点共圆，根据圆周角定理可得，进而得到点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l以及，最后根据垂线段最短以及勾股定理即可解答． 解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了圆的直径所对的圆周角为直角、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、最短路径问题等问题，解题关键是灵活运用相关知识． 取的中点，连接、，由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动，当三点在同一直线上时，最短，即可求出的值． 解：如下图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当三点在同一直线上时，最短， 此时， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 10．（2025·河南平顶山·三模）如图，在中，，，，点D是边上一动点，将沿翻折得，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、辅助圆等知识点，发现点E的轨迹是解题的关键． 由勾股定理可得，由折叠的性质可得，即如图：点E的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，然后结合图形即可解答． 解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿翻折得，连接， ∴， ∴如图：点E的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，且当点E在的点处时，最小， ∵． 故答案为2． 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，点到圆的最值距离，勾股定理，得到点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值，利用勾股定理即可解答． 解：如图，取的中点，连接． 为的中点，，即， ， ， ，即 点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值． ，四边形是矩形， ，， ， 的最小值是． 12．（2025·河南驻马店·一模）如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 的最大值为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、切线的性质等知识；熟练掌握折叠的性质，判断出当与相切时，即，两点重合时，值最大是解题的关键． 13．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点H，连接交于点G，连接，当时，有最小值，此时易得是等腰三角形，推出，即有最小值，则有最小值，此时根据，推出，设中点为O，根据，易得点在以点O为圆心为直径的圆上，易得，由，易得此时点B在圆O上，进而推出，则，得到四边形是矩形，即，利用勾股定理即可计算出的最小值，进而得出结果． 解：取中点H，连接交于点G，连接， 当时，有最小值， 点H是中点，， 是等腰三角形， ， 是定值，有最小值时， 即有最小值，则有最小值， ， ， 设中点为O， ， 点在以点O为圆心为直径的圆上， ， ， 此时点B在圆O上， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键． 14．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 15．（2024·湖北武汉·一模）如图，等边边长为分别是边上的一个动点，且，连接，交于点P，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证和全等得，由此得，过点作于，过点作交的延长线于点，连接，根据等边三角形的性质得，，，以点为圆心，以为半径作，在优弧弧上取一点，连接，，连接，，则，由此得，从而得点始终在劣弧上运动，则，根据“两点之间线段最短”可得的最小值． 解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 过点作于，过点作交的延长线于点，连接，如图1所示： 为等边三角形， 是的垂直平分线，， ，， ， 在中，，，， ， ， ， 以点为圆心，以为半径作，在优弧上取一点，连接，，连接，，如图2所示： 则， ， ， 点始终在劣弧上运动， 则， 根据“两点之间线段最短”得：， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点在劣弧上运动是解决问题的难点． 16．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共圆，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共圆， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 17．（2024·山东德州·三模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最短路径问题，涉及到知识点有圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．先证明得到点E在以为直径的半圆上移动，再作点D关于直线的对应点是F，即可得，求出的长度即可． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于，交半圆O于E'，连接，则， 根据对称性有：， 则有， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在等边三角形中，，是边上的一动点，以为边向上作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】首先结合等边三角形的性质可得，，进而可得四点共圆，进一步证明，即点在过点且平行于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接交直线于点，连接，， 则有，，，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，此时，然后求解即可． 解：如下图， ∵，均为等边三角形， ∴，， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接交直线于点，连接，， 则有，，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时， ∵， ∴三点共线，即点和点重合， ∴， 即的最小值为8． 故答案为：8． 【点拨】本题主要考查了四点共圆、圆周角、等边三角形的性质、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 19．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】由，得出，可知点D应在以为弦的，为的圆的弧上，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，根据两点之间线段最短，当在一条直线上时最短，证明是直角三角形，从而得出，，即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D应在以为弦的，为的圆的弧上， 设圆弧所在圆的圆心为，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得， 根据两点之间线段最短，当在一条直线上时，最短， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴的最小值为1 故答案为：1． 【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确找到的最小值是解题的关键． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，，在边，上分别有两个动点C、D．连接，以为直角边作等腰直角三角形，当的长度保持不变且等于时，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、圆周角定理等知识，作的外接圆，圆心为，连接，，，，得到是等腰直角三角形，求出，，根据得到当、、共线时，最大，计算的长可得结论． 解：如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，，      ∵，即为圆周角， ， ∴等腰直角， ∴， ， ∴， ∴半径， ∵是等腰直角三角形， ，， ， 由勾股定理得：， ， ∴当、、三点共线时的值最大，最大值为， 的最大值是， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、两点之间的距离公式、三角形的三边关系、点的坐标与图形等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．先求出，再根据圆周角定理可得在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值，然后利用点的坐标的中点公式求解即可得． 解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点的运动过程中，始终有， ∴如图，在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时， ∵点为的中点， ∴， ∴点为的中点， 设点的坐标为，则， 又∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 22．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为 ． 【答案】12 【分析】延长交于点，连接，易证四边形为菱形，为等边三角形，进而得到，进而得到点在以点为圆心，的长为半径的圆上，进而得到的最大值为的直径，即可得出结果． 解：延长交于点，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴当为的直径时，的值最大，为； 故答案为：12． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，圆的确定，等边三角形的判定和性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 23．（2025·江苏徐州·一模）如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由即、易知的长是定值，根据定弦定角可知：点D是在以为直径的圆上运动，取的中点O，的外接圆；连接，当三点在同一条直线上时，取最小值，此时，由此解答即可． 解：， ， 点D是在以为直径的圆上运动， 如图所示：取的中点O，则的外接圆为；连接， 当三点在同一条直线上时，取最小值，此时， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定取最小值的位置是解题的关键． 24．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 作的外接圆，连接，构造圆内接四边形，设外接圆的半径为，又，则，故有，即是等腰直角三角形，从而可得点四点共圆，则有，过作于点，，然后通过垂线段最短即可求解． 解：如图，作的外接圆，连接，构造圆内接四边形， 设外接圆的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.11 隐形圆 目录 一.模型梳理与题型分类精析 1 模型（一）“定弦定长”模型 1 【题型1】“定弦定长”模型 1 模型（二）“定弦定角”模型 2 【题型2】“定弦定角”模型 3 模型（三）“直角圆周”模型 4 【题型3】“直角圆周”模型 4 模型（四）“四点共圆”模型 5 【题型4】四点共圆模型 5 二. 同步练习 6 一.模型梳理与题型分类精析 模型（一）“定弦定长”模型 如图1，线段AB、OA、OB为定长，且OA=OB=OP，若点P为动点，如图2，点P的运动轨迹为以点O为圆心OA长为半径的一个圆.在☉o中，我们称AB为定弦，OA、OB为半径，故称为“定弦定长”模型 【题型1】“定弦定长”模型 【例题 1】（2025·河南·二模）如图，在中，，，，是斜边上一动点，将沿直线翻折，点的对应点为，连接．当时，的长为 ． 【变式1】【变式1】（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 模型（二）“定弦定角”模型 如图3，在中，线段AB为定长，为定值，若点P为动点，如图4，点P的运动轨迹为在的外接圆上.我们称AB为定弦，为定角，故称为“定弦定角”模型 【题型2】“定弦定角”模型 【例题 2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，是半圆的直径，，点是半圆上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，交于点，当点从点开始运动，直到点运动到点时停止，则点运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 模型（三）“直角圆周”模型 如图5，在中，线段AB为定长，，若点P为动点，如图6，点P的运动轨迹为在的外接圆上.因为AB为直么，为直角，故称为“直角圆周”模型 【题型3】“直角圆周”模型 【例题 3】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，是内部的一个动点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 模型（四）“四点共圆”模型 如图7，在四边形中，为动角，如果，则动点B、D与定点A、C四点在同一个圆上。称为“四点共圆”模型 【题型4】四点共圆模型 【例题 4】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为 ． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 二. 同步练习​ 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 4．（2016·内蒙古包头·二模）如图，已知正方形的边长为2，E是边上的动点，交于点，垂足为点G，连接；①；②；③点G运动的路径长为；④的最小值．其中正确的说法有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 6．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 10．（2025·河南平顶山·三模）如图，在中，，，，点D是边上一动点，将沿翻折得，连接，则线段的最小值为 ． 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 12．（2025·河南驻马店·一模）如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 13．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图， 在中，，点P 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ． 14．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 15．（2024·湖北武汉·一模）如图，等边边长为分别是边上的一个动点，且，连接，交于点P，则的最小值为 ． 16．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    17．（2024·山东德州·三模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 18．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在等边三角形中，，是边上的一动点，以为边向上作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 19．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为 ． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，，在边，上分别有两个动点C、D．连接，以为直角边作等腰直角三角形，当的长度保持不变且等于时，则的最大值是 ．    21．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是 ． 22．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为 ． 23．（2025·江苏徐州·一模）如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 24．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$