专题4.7 图形的位似（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题4.7 图形的位似 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 情景引入 1 知识点（一）位似图形 2 【题型1】位似图形的辨析 2 知识点（二）位似图形的画法 2 【题型2】位似图形的画法 2 知识点（三）位似图形的位似比、周长比、面积比 4 【题型3】位似图形的位似比、周长比、面积比 4 知识点（四）位似图形综合 4 【题型4】坐标系中的位似图形综合 4 【题型5】位似图形几何综合 5 二. 同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 11 【中考真题10题】 16 一．知识梳理与题型分类精析 情景引入 观察图1，图2两幅图形，它们都是由一组形状相同的图片组成.在图1和图2上任取一组对应点,可以发现:直线AA都经过镜头中心点O，生活中，我们也经常看到这种现象。 图1 图2 图3 图4 如图3，都是两个相似三角形，设直线AD与BE相交于点O，那么直线FC也将经过点为，同时,图4中也可以得到相同的结论？像图3，图4不仅相似，这相似图形还具有这样的特殊位置，我们称之为： 知识点（一）位似图形 一般地，如果两个相似多边形任意一组的对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心，实际上，就是这两个相似多边形的相似比. 【题型1】位似图形的辨析 【例题1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【变式2】（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形． 知识点（二）位似图形的画法 1.确定位似中心、位似比；2.连接原图形顶点与位似中心，画“位似射线”；3.根据位似比，确定对应顶点的位置；4.连接对应顶点，形成位似图形. 【题型2】位似图形的画法 【例题2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 知识点（三）位似图形的位似比、周长比、面积比 位似图形的位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 【题型3】位似图形的位似比、周长比、面积比 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 【变式1】（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 知识点（四）位似图形综合 在平面直角坐标系中绘制位似图形，核心是利用坐标的代数运算结合位似图形的几何性质（位似中心、位似比），无需依赖尺规测量，操作更精准、高效. 【题型4】坐标系中的位似图形综合 【例题4】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． （1）以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； （2）直接写出四边形的面积：______． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形的边长为12，则C点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【题型5】位似图形几何综合 【例题5】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，与位似，点为位似中心． （1）若与的相似比为，，求的长； （2）若，，求的度数． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，． （1）如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） （2）在（1）中，若，求矩形的面积； （3）如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【变式2】（22-23九年级上·河北保定·期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为． （1）与 ；（填“位似”或“不位似”） （2）屏幕图形的高度为 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北邢台·一模）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（    ） A．C点 B．F点 C．E点 D．G点 3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为6，则的面积是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    8．（2025·宁夏银川·模拟预测）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ． 11．（2025·吉林松原·模拟预测）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 12．（2025·广东深圳·三模）《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； （2）直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 14．（2023·陕西宝鸡·一模）如图所示，矩形和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD周长为12，AD=2，． （1）画出两个矩形的位似中心P点； （2）求矩形的面积． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中画出； （2）以点O为位似中心在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为； （3）连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 2．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 3．（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川南充·二模）在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 二、填空题 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点是半径为的上一动点，点和是外两个定点，点在第一象限内．点在第四象限内，以点为对称中心作点的对称点，再将点绕点逆时针旋转得到点，当点在上运动时，线段长的最大值和最小值的差为 ． 8．（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，且，，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推，矩形的面积为 ，矩形的面积为 ． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 12．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 三、解答题 13．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． （1）在图1中，作的角平分线交于点D； （2）已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； （3）在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 14．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，垂足为，． （1）求证：是直角三角形． （2）可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程． 15．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标； （2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分； ②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米． 16．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称． （1）如图2，在中，，，，垂足为D．下列3对三角形：①和；②和；③和．其中成自位似轴对称的是 　　；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，在中，是的中点，为内一点，，，连接，求证：． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 7．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 8．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 三、解答题 10．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.7 图形的位似 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 情景引入 1 知识点（一）位似图形 2 【题型1】位似图形的辨析 2 知识点（二）位似图形的画法 3 【题型2】位似图形的画法 3 知识点（三）位似图形的位似比、周长比、面积比 6 【题型3】位似图形的位似比、周长比、面积比 6 知识点（四）位似图形综合 8 【题型4】坐标系中的位似图形综合 8 【题型5】位似图形几何综合 11 二. 同步练习 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（16题）】 27 【中考真题10题】 44 一．知识梳理与题型分类精析 情景引入 观察图1，图2两幅图形，它们都是由一组形状相同的图片组成.在图1和图2上任取一组对应点,可以发现:直线AA都经过镜头中心点O，生活中，我们也经常看到这种现象。 图1 图2 图3 图4 如图3，都是两个相似三角形，设直线AD与BE相交于点O，那么直线FC也将经过点为，同时,图4中也可以得到相同的结论？像图3，图4不仅相似，这相似图形还具有这样的特殊位置，我们称之为： 知识点（一）位似图形 一般地，如果两个相似多边形任意一组的对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心，实际上，就是这两个相似多边形的相似比. 【题型1】位似图形的辨析 【例题1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【变式1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点（二）位似图形的画法 1.确定位似中心、位似比；2.连接原图形顶点与位似中心，画“位似射线”；3.根据位似比，确定对应顶点的位置；4.连接对应顶点，形成位似图形. 【题型2】位似图形的画法 【例题2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解，点坐标为 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解，连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 解：（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：和是位似图形，点为所求位似中心，如图点即为所求． 可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并在网格点上， ∴点坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 知识点（三）位似图形的位似比、周长比、面积比 位似图形的位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 【题型3】位似图形的位似比、周长比、面积比 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案． 解：连接， ∵四边形是平行四边形，面积为20， ∴， ∵和是以为位似中心的位似图形，且与原图形的位似比为， ∴点在同一条直线上，，， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴与的面积之和为． 故答案为：． 【变式1】（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点（四）位似图形综合 在平面直角坐标系中绘制位似图形，核心是利用坐标的代数运算结合位似图形的几何性质（位似中心、位似比），无需依赖尺规测量，操作更精准、高效. 【题型4】坐标系中的位似图形综合 【例题4】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． （1）以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； （2）直接写出四边形的面积：______． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可． 解：（1）如图，即为所求． （2）四边形的面积为 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形的边长为12，则C点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、正方形的性质是解答本题的关键．由位似的性质可得，由正方形的性质可得，则，，进而可得答案． 解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ． 正方形的边长为12， ， ∴ ，， 点坐标为． 故选：A． 【变式2】（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，由题意得，则与的相似比为，进而可得点的横坐标为，纵坐标为．解题的关键是掌握位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．． 解：∵，与关于点位似， ∴， ∴与的相似比为， 即与的相似比为， ∵点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【题型5】位似图形几何综合 【例题5】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，与位似，点为位似中心． （1）若与的相似比为，，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质， （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 掌握位似图形的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵与的相似比为，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵，， ∴， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，． （1）如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） （2）在（1）中，若，求矩形的面积； （3）如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）当时，S有最大值，最大值为． 【分析】本题是四边形综合题型，主要考查了位似图形的画法，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题． （1）根据位似图形的定义，连接并延长与相交于P，过P作交于M，作交于Q，四边形即为矩形的位似图形； （2）先求出，然后根据，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解； （3）用x表示出，然后根据，再利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答． 解：（1）解：作矩形的位似矩形如图所示； ； （2）解∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【变式2】（22-23九年级上·河北保定·期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为． （1）与 ；（填“位似”或“不位似”） （2）屏幕图形的高度为 ． 【答案】 位似 【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论； （2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案． 解：（1）由题意作出下图，结合图形可知： ， ， 与位似． 故答案为：位似． （2）过点作于点，线段的延长线交与点， ，， ， 由题意：，，， 由（1）得， ， ，，， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 2．（2024·河北邢台·一模）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（    ） A．C点 B．F点 C．E点 D．G点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 解：如图，连接，并延长， ∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点， ∴位似比为， ∴点A的对应点是G， 故选：D． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，可得，进一步即可得到答案． 解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为6，则的面积是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键； 由和是以点为位似中心的位似图形，得，则，然后根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，即可求解． 解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴的面积为的面积， ∵的面积为6， ∴的面积为， 故选：D． 5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：A． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 二、填空题 7．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点拨】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 8．（2025·宁夏银川·模拟预测）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 解：如图，    连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质，根据位似图形的性质得到，求出即可． 解：∵与是位似图形，点O是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 解：∵与位似，以原点O为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 11．（2025·吉林松原·模拟预测）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 【答案】32 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：32． 12．（2025·广东深圳·三模）《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 根据正方形的面积公式求出正方形的面积，根据位似图形的概念得到正方形正方形，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 解：正方形的边长为2， 正方形的面积为4， 正方形与正方形是位似图形， 正方形正方形， ∵ 正方形与正方形的相似比为， 正方形与正方形的面积比为， 正方形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； （2）直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 【答案】（1）见详解；（2）， 【分析】本题考查了画位似图形及求对应点坐标．画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）延长到，使，延长到，使，连接，则即为所求． （2）根据（1）中图象写出点坐标即可． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵B，C两点的坐标分别为、， ∴，． 14．（2023·陕西宝鸡·一模）如图所示，矩形和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD周长为12，AD=2，． （1）画出两个矩形的位似中心P点； （2）求矩形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）32 【分析】（1）根据位似图形的定义，找到对应点，确定位似中心； （2）根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，面积比等于位似比的平方求解． 解：（1）解：如图所示，点P即为所求做． （2）∵矩形ABCD周长为12，且AD=2， ∴AB=4， 又∵矩形ABCD与矩形位似， ∴， ∴． ∵， ∴ 【点拨】本题考查位似图形的定义和性质，理解位似图形也是相似图形是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】（1）见分析；（2）），）；（3） 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 解：（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得），）； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中画出； （2）以点O为位似中心在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为； （3）连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析． 【分析】本题考查了作图-位似变换，作图-平移变换，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据可知点在第二象限的角平分线上，作角平分线与交点即为所求． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质“1、位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；2、位似图形对应点连线交于一点；3、位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等；4、位似图形是相似图形”，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．根据位似图形的性质即可得选项A、B、C正确；先判断出，，再根据相似三角形的性质即可判断选项D错误． 解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，点、、三点在同一条直线上，，；则选项B和C正确； ∴，，则选项A正确；选项D错误； 故选：D． 3．（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 4．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由位似变换的性质可知，故有，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由位似变换的性质可知，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（2025·四川南充·二模）在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数和相似三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 作，垂足为，然后分别证明得和，然后得到，通过相似三角形的性质即可求解； 解：作，垂足为，如图： ， 在正六边形中， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴在中，设， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴， ∴， 故选：C； 6．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 二、填空题 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点是半径为的上一动点，点和是外两个定点，点在第一象限内．点在第四象限内，以点为对称中心作点的对称点，再将点绕点逆时针旋转得到点，当点在上运动时，线段长的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，旋转的性质，根据题意画出图形是解题关键． 先根据题意，画图，可得知点与点的运动轨迹分别是绕圆心、的圆，利用位似图形的性质与旋转的性质，得的半径为，通过点到圆的距离即可求解． 解：根据题意，如图，点与点的运动轨迹分别是绕圆心、的圆， 以点为对称中心作点的对称点， ，即， 点是半径为的上一动点， 、是以为位似中心，且位似比为的位似图形， 的半径为． 点在第四象限，且点绕点逆时针旋转得到点， 根据旋转的性质，得：的半径不变，为， 线段长的最大值为，最小值为， 线段长的最大值和最小值的差为． 故答案为：． 8．（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，确定正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 解：连接，如图所示：    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为18， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，且，，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推，矩形的面积为 ，矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可． 解：四边形为矩形，，， 矩形的面积为：， 在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， 矩形的面积为：， 以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形， 矩形的面积为：， 同理得：矩形的面积为， 故答案为：，． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【答案】或1.5 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可． 解：∵B，D两点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵把放大后得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点是的中点， ∴，解得， ∴， 又∵点为的中点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 三、解答题 13．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． （1）在图1中，作的角平分线交于点D； （2）已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； （3）在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查了格点作图，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，位似图形的作法等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求，可证明是等腰直角三角形，证明，进而可证明； （3）根据题意及位似图形的作法作图即可． 解：（1）解：如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，可证明，进而可证明； （3）如图所示，与即为所求． 14．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，垂足为，． （1）求证：是直角三角形． （2）可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）证明，得到，结合，即可得证； （2）根据题意推出，，即可求解． 解：（1）解：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）， ， ， ， ， ， 可以绕点逆时针旋转，使得与重合，再以A为位似中心，将旋转后的三角形按照一定位似比进行位似变换，位似比为，此时就可以得到． 15．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标； （2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分； ②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米． 【答案】（1）图见分析，点的坐标为，点的坐标为；（2）①图见分析；②1.8 【分析】（1）连接交格线于、连接、连接交格线 于，过点作交于，连接、，再根据点、的位置写出其坐标即可； （2）①过点A、E作直线，再过点C作直线交墙于F即可；②作交直线于H，根据平行投影的性质得，即可求解． 解：（1）如图所示，即为所求； 点的坐标为，点的坐标为； （2）①如图，即为所求， ②延长交直线于H，如图， ∴ ∴ ∴，， 故答案为：1.8． 【点拨】本题考查了位似变换，点的坐标，平行投影．解题关键是（1）熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．（2）平行投影的性质：物长与影长成正比． 16．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称． （1）如图2，在中，，，，垂足为D．下列3对三角形：①和；②和；③和．其中成自位似轴对称的是 　　；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，在中，是的中点，为内一点，，，连接，求证：． 【答案】（1）①②；（2）见分析 【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似； （2）延长，交于，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 解：（1）解：如图1，2中：可知和；和是成自位似轴对称． 故答案为：①②； （2）证明：如图， 延长，交于， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 【点拨】本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形、三角形中位线定理等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 3．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 7．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 8．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题 10．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1）图见分析；；（2）图见分析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 解：（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$