精品解析：安徽省合肥市包河区 中国科学技术大学附属中学2020-2021学年七年级上学期月考数学试卷

2020-2021学年安徽省合肥市包河区中国科大附中七年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一、选择题（共十题：共30分） 1. 下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 两条射线所组成的图形叫做角 B. 有公共点的两条射线叫做角 C. 一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D. 一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 3. 下列生活、生产现象：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在同一条直线上．可以用“两点确定一条直线”来解释的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4. 如图，点在线段上.则下列表述或结论错误的是（ ） A 若，则 B. C. D. 图中共有线段12条 5. 如图，OA的方向是北偏东10°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（　　） A. 北偏东65° B. 北偏东35° C. 北偏东55° D. 北偏东25° 6. 如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且，若A，D两点所表示的数分别是和3，则线段的三等分点所表示的数是（　　） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 由太原开往运城的D5303次列车，途中有6个停车站，这次列车的不同票价最多有（ ） A. 28种 B. 15种 C. 56种 D. 30种 8. 甲仓库与乙仓库共存粮450 吨、现从甲仓库运出存粮的60%．从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30 吨．若设甲仓库原来存粮x吨，则有（　　） A. （1-60%）x-（1-40%）（450-x）=30 B. 60%x-40%•（450-x）=30 C. （1-40%）（450-x）-（1-60%）x=30 D. 40%•（450-x）-60%•x=30 9. α与β的度数分别是和，且α与β都是γ的补角，那么α与β的关系是（　　） A. 不互余且不相等 B. 不互余但相等 C. 互为余角但不相等 D. 互为余角且相等 10. 爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下 时刻 9：00 9：45 12：00 碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0 9：00时看到的两位数是（　　） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 二、填空题（共五题：共15分） 11. 已知∠A=100°,那么∠A补角为 _______度. 12. 如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一个角，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是______． 13. 已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 _____． 14. 如图所示，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少20°，则∠1的度数为_____． 15. 如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确是 _____． 三、解答题（共六题：共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）若在线段AB上有一点E，CE=BC，求AE的长． 18. 根据下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ​ （1）如图1，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于； （2）如图2，已知：，，求作，使． 19. 如图，O为直线AB上一点，，OD平分∠AOC，． （1）图中小于平角角有______个． （2）求出∠BOD的度数． （3）小明发现OE平分∠BOC，请你通过计算说明道理． 20. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某区采用价格调控手段达到节水的目的，如表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． （1）若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费　 　元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为　 　吨； （2）若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； （3）若该户居民11月、12月共用水18吨，共交水费52元，求11月、12月各应交水费多少元？ 21. 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年安徽省合肥市包河区中国科大附中七年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一、选择题（共十题：共30分） 1. 下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案． 【详解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是C选项中的图， A，B，D选项中的图都不能同时用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角， 故选：C． 【点睛】此题考查角的表示方法，掌握表示角的要求：若角的顶点位置只有一个角，可以用一个字母表示，若不止一个角，需用三个字母表示或数字表示． 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 两条射线所组成的图形叫做角 B. 有公共点两条射线叫做角 C. 一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D. 一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角的定义，根据具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断出选项A、B的正误；根据一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，即可判断出选项C和D的正误． 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的． 故选：D． 3. 下列生活、生产现象：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在同一条直线上．可以用“两点确定一条直线”来解释的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直线的性质，①④根据“两点确定一条直线”解释，③根据两点之间线段最短解释，②用点动成线解释． 【详解】解：依题意，③根据两点之间线段最短解释，②用点动成线解释． ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线根据“两点确定一条直线”， 故选：B． 4. 如图，点在线段上.则下列表述或结论错误的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 图中共有线段12条 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，逐项判断即可． 【详解】解： A. 因为AD=AC+CD,BC=CD+DB,若AC=BD，所以可得AC=BD，此选项说法正确； B. ，此选项说法正确； C. ，此选项说法正确; D.由图形可得图中共有线段6条所以,此选项说法错误, 故选D． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，要熟练掌握． 5. 如图，OA的方向是北偏东10°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（　　） A. 北偏东65° B. 北偏东35° C. 北偏东55° D. 北偏东25° 【答案】A 【解析】 【分析】先求出∠AOC的度数，然后再看OC与北方的夹角. 【详解】解：∠AOB＝45°+10°＝55°， 则∠AOC＝∠AOB＝55°，OC与正北方向的夹角是55+10＝65°． 则OC在北偏东65°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方向角，做此类题目一定要找准所求方向与南北方向的夹角，否则容易出错． 6. 如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且，若A，D两点所表示的数分别是和3，则线段的三等分点所表示的数是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，设，根据题意可得，解得，再求出，再由，分别求出的三等分点表示的数为或即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∴B点表示的数是，C点表示的数是1， ∴， ∵， ∴的三等分点表示的数为或， 故选：D． 7. 由太原开往运城的D5303次列车，途中有6个停车站，这次列车的不同票价最多有（ ） A. 28种 B. 15种 C. 56种 D. 30种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据加法原理解决问题的能力，明确如果完成一件工作，有若干种类方法，每一类方法又有若干种不同的方法，那么完成这件工作的方法的总数就等于完成这件工作的方法种类的和．此题也可以根据握手问题来解决. 1、本题同握手问题，根据加法原理解答； 2、根据题意，分别有7种、6种、5种、4种、3种、2种、1种票价； 3、根据加法原理，将各站的车票种数相加即可得解. 【详解】方法一、由太原开往运城的D5303次列车，途中有6个停车站，这次列车的不同票价最多有 =28，故选A． 方法2、由题意得，这次列车到达终点时一共停了7次 ∴不同票价最多有1+2+3+4+5+6+7=28(种) 故选A 【点睛】根据实际问题抽象出线段模型，进而确定答案，要注意是单程还是往返．加法原理（分类枚举）. 8. 甲仓库与乙仓库共存粮450 吨、现从甲仓库运出存粮的60%．从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30 吨．若设甲仓库原来存粮x吨，则有（　　） A. （1-60%）x-（1-40%）（450-x）=30 B. 60%x-40%•（450-x）=30 C. （1-40%）（450-x）-（1-60%）x=30 D. 40%•（450-x）-60%•x=30 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：要求甲，乙仓库原来存粮分别为多少，就要先设出未知数，找出题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系为：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食30吨． 解：设甲仓库原来存粮x吨，根据题意得出： （1﹣40%）（450﹣x）﹣（1﹣60%）x=30； 故选C． 考点：由实际问题抽象出一元一次方程． 9. α与β的度数分别是和，且α与β都是γ的补角，那么α与β的关系是（　　） A. 不互余且不相等 B. 不互余但相等 C. 互为余角但不相等 D. 互为余角且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查补角的定义、余角的定义、解一元一次方程，根据题意得，，求解得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵与都是的补角， ∴， 即， 解得， ∴． 故选：D． 10. 爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下 时刻 9：00 9：45 12：00 碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0 9：00时看到的两位数是（　　） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 【答案】D 【解析】 【详解】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y； 则9：45时看到的两位数为x＋10y，9：00～9：45时行驶的里程数为：（10y＋x）−（10x＋y）； 则12：00时看到的数为100x＋y，9：45～12：00时行驶的里程数为：（100x＋y）−（10y＋x）； 由题意列方程组得：， 解得： 所以9：00时看到的两位数是27， 故选D． 二、填空题（共五题：共15分） 11. 已知∠A=100°,那么∠A补角为 _______度. 【答案】80 【解析】 【详解】试题分析：根据两个角之和为180°时，两角互补求出所求角度数即可．如果∠A=100°，那么∠A补角为80°. 考点：余角和补角 12. 如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一个角，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，理解两点之间线段最短得出答案即可． 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一个角，图中新连接两个点的线段长度要小于原来连接两点的折线长度，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 13. 已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的计算，分两种情况：当这两个角的另两条边在公共边的异侧时；当这两个角的另两条边在公共边的同侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当这两个角的另两条边在公共边的异侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 当这两个角另两条边在公共边的同侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 综上所述：这两个角的另两条边的夹角为或， 故答案为：或． 14. 如图所示，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少20°，则∠1的度数为_____． 【答案】130° 【解析】 【详解】分析：根据图示可得∠1+∠2=180°，再根据∠1比∠2的3倍少20°，可得∠1=3∠2－20，联立两个方程可得方程组，解方程组即可得解． 详解：根据题意，得 ， 解之，得∠1=130°，∠2=50°. 故答案为130°. 点睛：此题主要考查了由几何问题抽象出二元一次方程组，关键是结合图形正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组，解方程组即可解决问题． 15. 如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 _____． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查有关线段上的动点问题以及两点间的距离，根据已知，比的多5，列方程可得，进而得；再由P、Q两点分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，即得、的长，找到、、、之间的数量关系即可得结论． 【详解】解：当在线段上时， ∵，比多5， ∴， 解得：， 则， ∴， 当在线段外时， ∵，比的多5， ∴， 解得：，不合题意； 故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒， ∴时间为时，，， 当在左边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，此时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， 此时， 故②正确； 当在左边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 当在右边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 故③错误， 故答案为：①②． 三、解答题（共六题：共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】本题考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组． （1）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解：方程组整理，得， ②①，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 17. 如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）若在线段AB上有一点E，CE=BC，求AE的长． 【答案】（1）AD=6； （2）AE的长为3或5． 【解析】 【分析】（1）根据AD=AC+CD，只要求出AC、CD即可解决问题； （2）根据AE=AC-EC，只要求出CE即可，分两种情况讨论即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵AB=8，C是AB的中点， ∴AC=BC=4， ∵D是BC的中点， ∴CD=BC=2， ∴AD=AC+CD=6； 【小问2详解】 解：∵BC=4，CE=BC， ∴CE=×4=1， 当E在C的左边时，AE=AC-CE=4-1=3； 当E在C的右边时，AE=AC+CE=4+1=5． ∴AE的长为3或5． 【点睛】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意分类讨论，防止遗漏． 18. 根据下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ​ （1）如图1，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于； （2）如图2，已知：，，求作，使． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段，角的基本作图． （1）根据线段的作法作图即可； （2）根据角的作法作图即可． 【小问1详解】 解：①作，， ②上取， 则线段即为所求； 【小问2详解】 解：①作，②作，则即为所求． 19. 如图，O为直线AB上一点，，OD平分∠AOC，． （1）图中小于平角的角有______个． （2）求出∠BOD的度数． （3）小明发现OE平分∠BOC，请你通过计算说明道理． 【答案】（1）9 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别以为始边计数数角，从而可得答案； （2）先求解 再求解 从而可得答案； （3）分别求解从而可得结论. 【小问1详解】 解：图中小于平角的角∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB、∠EOB． 所以图中小于平角的角共有9个. 【小问2详解】 解：因为，OD平分∠AOC， 所以， 又 所以 【小问3详解】 解：因为，， 所以 又因为 所以， 所以OE平分∠BOC． 【点睛】本题考查的是角的含义，角的和差运算，角平分线的定义，掌握“角平分线的定义”是解本题的关键. 20. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某区采用价格调控手段达到节水的目的，如表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． （1）若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费　 　元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为　 　吨； （2）若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； （3）若该户居民11月、12月共用水18吨，共交水费52元，求11月、12月各应交水费多少元？ 【答案】（1）20；9.5；（2）该用户10月份用水量为10.25吨；（3）11月份交16元，12月份交36元或11月份交36元，12月份交16元． 【解析】 【分析】（1）因为用水量为8 吨，所以计算单价分为两段，列式计算即可；先计算用水量为6吨和10吨的总价，与26对比，发现9月份用水量x的取值范围，从而列出方程求解； （2）与（1）类似，由题意得出水费30元，用水量超过了10吨，列方程求未知数即可； （3）设该户居民11月、12月共应交的水费为W元，由题意表示出11月用水量；分三种情况进行讨论：当0≤a≤6时，当6＜a≤8时，当8＜a＜9时，列式表示即可． 【详解】解：（1）6×2+（8﹣6）×4＝20， 答：该用户8月应交水费20元； 设该用户9月份用水量为x吨， 2×6＝12，2×6+（10﹣6）×4＝28， ∵12＜26＜28， ∴6＜x＜10， 则6×2+4（x﹣6）＝26， x＝9.5， 答：该用户9月份用水量为9.5吨； 故答案是：20；9.5； （2）该用户10月份用水量为y吨，则y＞10， 根据题意得：6×2+（10﹣6）×4+8（y﹣10）＝30， y＝10.25； （3）设11月份用水x吨，12月份用水（18﹣x）吨， ①当0≤x≤6时，18﹣x＞10，由题意得：2x+2×6+4×4+8[（18﹣x）﹣10]＝52． 即：﹣6x+92＝52， 解得x＝（舍去）， ②当6＜x≤8时，18﹣x≥10，2×6+4（x﹣6）+2×6+4×4+8[（18﹣x）﹣10]＝52， 解得x＝7，18﹣x＝11． 故11月份的水费是：6×2+1×4＝16（元） 12月份的水费是：6×2+4×4+1×8＝36（元）． 同理可得：11月份交36元，12月份交16元． 答：11月份交16元，12月份交36元或11月份交36元，12月份交16元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，居民交水费问题，明确单价、用水量、总价的关系；因为单价分三种，较为麻烦，容易出错，因此计算时要耐心细致；首先要弄清每个单价部分的最大值，这样才能知道某月水费价格与水量之间的关系，尤其是第（3）问，不但要注意11月的用水量的范围，还要注意12月的用水量的范围． 21. 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）①当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”；②当t为或4或6时，射线是的“巧分线” 【解析】 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）解：∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $