6.3.3 余角和补角 （预习讲义） 2025-2026学年人教版七年级数学上册

2025-2026学年人教版七年级数学上册 6.3.3 余角和补角 （预习讲义） 学习目标 1. 概念理解 · 掌握余角（两角之和为90°）和补角（两角之和为180°）的严格定义 · 理解“互余”与“互补”描述的是角度关系而非特定角度 2. 性质应用 · 能根据已知角快速求出其余角或补角（如35°的余角是55°） · 掌握同角（或等角）的余角相等、补角相等的性质 3. 几何推理 · 利用余角、补角关系证明两角相等（如垂直形成的直角关系） · 理解方位角中的互补关系（如北偏东65°与南偏西65°互补） 4. 实际联系 · 从生活实例中抽象余补角模型（如折叠椅的支架夹角、门窗开合角度） 知识点梳理 1. 基本定义 · 余角：若∠α + ∠β = 90°，则∠α与∠β互余，此时∠α = 90° - ∠β 示例：三角板中30°与60°角互余 · 补角：若∠γ + ∠θ = 180°，则∠γ与∠θ互补，此时∠γ = 180° - ∠θ 示例：相邻两块长方形地砖的接缝角互补 2. 核心性质 · 同角的余角相等：若∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，则∠2 = ∠3 · 等角的补角相等：若∠A = ∠B，则∠A的补角 = ∠B的补角 · 补角推论：一个角的补角比其余角大90°（推导：180°-α = (90°-α) + 90°） 3. 特殊情形 · 直角（90°）的补角是直角，锐角的补角必为钝角 · 平角（180°）没有补角，周角（360°）没有余角 4. 方位角应用 · 正东与正西方向角互补（180°） · 互余的方位角组合：北偏东θ与北偏西(90°-θ) 5. 几何图形中的关系 · 邻补角：共顶点且一边重合的互补角（如直线上的相邻角） · 垂直相交线形成四个直角，任意两个相邻角互补 易错点提醒 1. 概念混淆 · 错误案例：认为“大于90°的角都是补角”（补角是关系概念，需成对出现） · 纠正：强调“互补”描述的是两个角的关系，不是角的分类 2. 计算错误 · 错误案例：求75°的余角时误算为25°（90°-75°=15°） · 口诀：“余角相减得九十，补角需凑一百八” 3. 图形误判 · 错误案例：将平行线形成的同旁内角当作补角（需附加相交线条件） · 关键：互补角必须共顶点或能拼成平角 4. 性质误用 · 错误案例：认为“所有锐角都有余角”（0°≤锐角＜90°，但0°角无余角） · 注意：0°角与90°角不参与互余关系 5. 单位遗漏 · 错误案例：写“∠α的补角是120”而未标注“°” · 规范：角度运算结果必须带单位 6. 实际应用偏差 · 错误案例：将门框的直角说成“门与地板互余”（应描述为垂直） · 原则：余补角需明确两个角的度数关系 7. 推理逻辑错误 · 错误案例：由“∠A+∠B=180°”直接推出∠A=∠B（需附加等角条件） · 反例：120°与60°互补但不相等 巩固练习 一、选择题 1．一个角的补角比它的余角的4倍小，求这个角的度数（　　） A． B． C． D． 2．已知∠α=35°，那么∠α的余角的补角等于（　　） A．35° B．65° C．125° D．145° 3．已知的补角是它的3倍，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．下列图形中，∠1和∠2互为补角的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，一副三角板按图中的四个位置摆放，则其中与一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 6．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．40°的补角等于　 　；40°18′的余角等于　 　. 8．如图，已知，则的度数为　 　． 9．已知∠α=38°12＇，则∠α的余角是　 　． 10．一个角是它的余角的3倍，则这个角的补角是　 　． 11．和互补，且-=50°，求和的度数． 　 　、 　 　 12． 已知 与 互余， 则 的补角度数为　 　。 三、解答题 13．已知 与 互余，且 的补角比 的2倍多 ，求 的大小． 14．一个角的余角比它的补角的大15°，求这个角的度数． 15．若和互余，且：＝7：2，求、的度数． 16．读题画图并填空： （1）画平角AOB，画射线OC，再分别画AOC、BOC的角平分线OD、OE； （2）图中，∵COE= COB，COD= AOC， ∴DOE=COE+COD=AOB= ×180°= 。 17．如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）与∠AOE互补的角是　 　 （2）若∠AOD=36°，求∠DOE的度数 （3）当∠AOD=x°时，请直接写出∠DOE的度数． 参考答案 1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 7．140°；49°42′ 8．150°或150度 9．51°48＇ 10．112.5° 11．115°；65° 12． 13．解：设 ，则 ． 根据题意得： ． 解得 ． 答： ． 14．解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x）， 依题意，得：（90°﹣x）﹣（180°﹣x）=15°， 解得x=40°． 答：这个角是40°． 15．70°，20° 16．（1）见解析图；（2），，90° 17．（1）∠BOE、∠COE （2）解：∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC， ∴∠COD=∠AOD=36°，∠COE=∠BOE=∠BOC， ∴∠AOC=2×36°=72°， ∴∠BOC=180°﹣72°=108°， ∴∠COE=∠BOC=54°， ∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°； （3）解：当∠AOD=x°时，∠DOE=90°． 学科网（北京）股份有限公司 $$