1.3 集合的基本运算 学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语 第1.3节 《 集合的基本运算 》学案 本学案的亮点是：依托教材，变式教学；学案中的典例讲解环节中，每道典例均为教材中的原题，每个典例配备根据例题改编的变式训练，均为原创题目，分A、B两组，其中A组为基础题，B组为中档题。学案共分五部分：学习目标、知识梳理、概念辨析（针对学生在理解概念时易错、易混淆的地方，涉及的题目）、典例讲解、课堂小结。 学习目标 理解并集、交集、补集的定义，掌握符号表示及数学表达式。熟练进行有限集、无限集的并集、交集、补集运算，会用数轴、Venn 图辅助分析。掌握集合运算性质，解决集合与几何、代数结合的问题。 知识梳理 并集:由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组成的集合，记作，即；性质：； 交集：由所有属于集合 A 且 属于集合 B 的元素组成的集合，记作，即；； 补集：设 U 是全集，A 是 U 的子集，由 U 中 不属于 A 的所有元素组成的集合，记作，即；；。 概念辨析 1、（多选）关于并集与交集的判断，正确的有（ ） A. 若 ，则 A 与 B 无公共元素 B. 若 ，则  C. 若 ，则  D.  的元素个数一定大于 A、B 各自的元素个数 【答案】ABC 解析：A：交集定义为公共元素的集合，故  表示无公共元素，正确。B： 说明 B 的元素都在 A 中，即 ，正确。C： 说明 A 的元素都在 B 中，即 ，正确。D：若 ，则 ，元素个数相等，故 “一定大于” 错误。综上，正确选项为 ABC。 2、（多选）关于补集的判断，正确的有（ ） A. 补集的定义依赖于 “全集 U” 的确定 B.  是全集 U 的子集 C. 若 ，则  D.  解析：A：补集是 “U 中不属于 A 的元素”，需先确定 U，正确。B： 的元素都属于 U，故 ，正确。C：若 ，则 ，由  得 ，即 ，故 ，选项C错误。D：“U 中不属于 A∪B 的元素” 等价于 “既不属于 A 也不属于 B 的元素”，即 ，正确。综上，正确选项为 ABD。 典例讲解 例 1（有限集的并集）设 ，，求 。 解：根据并集的定义，合并去重，得 。 变式训练 A 组（基础）： 1、 设 ，，求 。 答案：。 2、已知 ，，且 ，求  的取值范围。 分析：；，且 。 3、设集合 ，，则 （ ） A.   B.   C.   D.  解析：根据并集 “合并去重” 定义，，选 C。 4、设集合 ，，则 （ ） A.   B.   C.   D.  解析：（ 含自然数 0），（ 为整数），并集合并去重：，选 C。 B 组（中档）： 1、设 ，，求 。 解：，，并集为 。 2、已知 ，，求集合 B 的可能个数。 分析：B 必含 ，从  选 0~3 个元素，共  种。 3. （多选）下列关于并集的说法，正确的有（ ） A.   B.   C.   D.  【答案】ABD 解析：A、B：并集包含原集合所有元素，故 A、B 均是  的子集；C： 仍为 A；故C错；D：并集与空集运算等于原集合。综上，ABD 均正确。 4. 设 是不大于的正整数，且，则  。 【答案】 解析：由题意知，，求并集并去重得。 例 2（无限集的并集，区间运算）设 ，，求 。 解：根据交集的定义，借助数轴分析，合并区间为 。 变式训练 A 组（基础）： 1、设 ，，求 。 答案： 2、设 ，，求 。 解：因为 ，，故  3. （多选）已知集合 ，，关于  的说法正确的有（ ） A.   B.   C.   D. 解析：合并区间：，故 A 对；且A，故 ，原集合是并集的子集（A、B 元素均在并集中），故 C、 D 正确。综上，选 ACD。 4. 设 ，，则  。 【答案】 解析：由 ，即 ；又集合，故由并集定义得。 B 组（中档）： 1、已知 ，，且 ，求实数 a。 分析：，验证：，， 则，符合题意，故。 2. 设集合 ，，则 （ ） A. B. C.  D.  解析：解 ，即 ； 又集合；则 ，选 B。 3、设集合 ，，则 （ ） A.  B.   C.  D.  解析：解 ， 或 ，即 ；又集合 ，因此 ，故 ，选A。 4. （多选）设 ，，，则关于  的说法正确的有（ ） A. （ ） B. C.  包含元素 1 和 3  D.  不包含负数 解析：解  得  或 ，故 ；解  得 ，故 又集合 则：故是的子集，则A、B正确；C因为 均在并集中，C正确； 包含负数（如 ），故D错误。综上，正确选项为 ABC。 例 4（交集的几何应用：直线位置关系）设平面内直线  上点的集合为 ，直线  上点的集合为 ，用集合运算表示  的位置关系。 解：相交于一点 P：；平行：；重合：。 变式训练 A 组（基础）： 1、设平面内圆  上点的集合为 ，圆  上点的集合为 ，用集合运算表示两圆的 相交、相切、相离 关系。 解：相交： 含 2 个元素，相切： 含 1 个元素，相离：。 2、设集合 A 是 “矩形上的点”，集合 B 是 “菱形上的点”，求 。 解：正方形上的点（既是矩形又是菱形的图形是正方形）。 B 组（中档）： 1、设集合 M 是二次函数 图象 上的点，集合 N 是直线  上的点，求 。 解：把 代入 得 ，即 ， 当，故 。 例 5（有限集的补集）设 是小于的正整数，，，求 ，。 解：，故 ，。 变式训练 A 组（基础）： 1、设 ，，求 。答案： 2、设 ，，求 。 解：，补集为 。 3、设全集 ，集合 ，则 （ ） A.   B.  C.   D.  解析：（自然数含 0），（U 中偶数），补集 ，选 A。 4. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A.   B.  C.   D.  解析：集合 的补集为 “小于  或 大于等于 3”，即 ，对应 A。 5、设全集 ，集合 ，则  。 【答案】 解析：因为，（U 中质数：2,3,5），则补集 。 B 组（中档）： 1、已知 ，，求集合 A。 解：。 2、设 ，，，求集合 B 的可能个数。 解析：，B 含 a 且 ，共 4 种（）。 3. （多选）已知全集 ，集合 ，，则下列说法正确的有（ ） A.  B.  C.  D.  解析：因为， ，故，，故A错、B对；，），均正确。综上，选 BCD。 4. 设全集 （整数集），集合 ，则  。 解析：由 ，得 ，整数解为，即 ，其补集为整数中 小于等于  或 大于等于 4 的数，故描述为 。 5. （多选）已知全集 （整数集），集合 ，则下列说法正确的有（ ） A.   B.  C.   D.  解析：A：负整数集是 A（非负整数集）的补集，即 , A 错；B：非负整数与负整数无交集，正确；C：非负整数与负整数并集为全体整数，正确；D：补集的补集是原集合（对合性），正确。综上，选 BCD。 例 6、设全集 ，，，求 ，。 解：锐角与钝角三角形无交集，故 ； 为锐角或钝角三角形，补集为 直角三角形。 变式训练 A 组（基础）： 1、设 ，，，求 ，。 解：；补集为 “既非平行四边形也非梯形的四边形”。 2、设 ，，，求 ，。 解：；补集为 （偶数且合数）。 B 组（中档）： 1、设 ，，，求 ，。 解：，， 则 ，，= 。 2、设 ，，，求  和 。 解：由已知得， 则 = ，， 。 课堂小结 定义核心：并集（或）：“属于 A 或 B”，去重；交集（且）：“同时属于 A 和 B”，找公共元素；补集（非）：“U 中不属于 A”，依赖全集。 运算技巧：有限集：枚举法；无限集：数轴（区间）、Venn 图。 注意事项：区分 “或” 与 “且” 的逻辑；补集必明确定义域 U；区间运算验证端点开闭性。 课后作业 1. 设 ，，，求 。 解析：解 得，即；解，即 ；解  或 ，即 ；所以。 2. 设 ，，求 。 解析：解  或 ，即 ；解 ，即 ；求并集并去重得。 3. 设 ，，求 。 解析：解 ，即 解   或 ，即 ，求并集并去重得。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语 第1.3节 《 集合的基本运算 》学案 本学案的亮点是：依托教材，变式教学；学案中的典例讲解环节中，每道典例均为教材中的原题，每个典例配备根据例题改编的变式训练，均为原创题目，分A、B两组，其中A组为基础题，B组为中档题。学案共分五部分：学习目标、知识梳理、概念辨析（针对学生在理解概念时易错、易混淆的地方，涉及的题目）、典例讲解、课堂小结。 学习目标 理解并集、交集、补集的定义，掌握符号表示及数学表达式。熟练进行有限集、无限集的并集、交集、补集运算，会用数轴、Venn 图辅助分析。掌握集合运算性质，解决集合与几何、代数结合的问题。 知识梳理 并集:由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组成的集合，记作，即；性质：； 交集：由所有属于集合 A 且 属于集合 B 的元素组成的集合，记作，即；； 补集：设 U 是全集，A 是 U 的子集，由 U 中 不属于 A 的所有元素组成的集合，记作，即；；。 概念辨析 1、（多选）关于并集与交集的判断，正确的有（ ） A. 若 ，则 A 与 B 无公共元素 B. 若 ，则  C. 若 ，则  D.  的元素个数一定大于 A、B 各自的元素个数 2、（多选）关于补集的判断，正确的有（ ） A. 补集的定义依赖于 “全集 U” 的确定 B.  是全集 U 的子集 C. 若 ，则  D.  典例讲解 例 1（有限集的并集）设 ，，求 。 变式训练 A 组（基础）： 1、 设 ，，求 。 2、已知 ，，且 ，求  的取值范围。 3、设集合 ，，则 （ ） A.   B.   C.   D.  4、设集合 ，，则 （ ） A.   B.   C.   D.  B 组（中档）： 1、设 ，，求 。 2、已知 ，，求集合 B 的可能个数。 3. （多选）下列关于并集的说法，正确的有（ ） A.   B.   C.   D.  4. 设 是不大于的正整数，且，则  。 例 2（无限集的并集，区间运算）设 ，，求 。 变式训练 A 组（基础）： 1、设 ，，求 。 2、设 ，，求 。 3. （多选）已知集合 ，，关于  的说法正确的有（ ） A.   B.   C.   D. 4. 设 ，，则  。 B 组（中档）： 1、已知 ，，且 ，求实数 a。 2. 设集合 ，，则 （ ） A. B. C.  D.  3、设集合 ，，则 （ ） A.  B.   C.  D.  4. （多选）设 ，，，则关于  的说法正确的有（ ） A. （ ） B. C.  包含元素 1 和 3  D.  不包含负数 例 4（交集的几何应用：直线位置关系）设平面内直线  上点的集合为 ，直线  上点的集合为 ，用集合运算表示  的位置关系。 变式训练 A 组（基础）： 1、设平面内圆  上点的集合为 ，圆  上点的集合为 ，用集合运算表示两圆的 相交、相切、相离 关系。 2、设集合 A 是 “矩形上的点”，集合 B 是 “菱形上的点”，求 。 B 组（中档）： 1、设集合 M 是二次函数 图象 上的点，集合 N 是直线  上的点，求 。 例 5（有限集的补集）设 是小于的正整数，，，求 ，。 变式训练 A 组（基础）： 1、设 ，，求 。 2、设 ，，求 。 3、设全集 ，集合 ，则 （ ） A.   B.  C.   D.  4. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A.   B.  C.   D.  5、设全集 ，集合 ，则  。 B 组（中档）： 1、已知 ，，求集合 A。 2、设 ，，，求集合 B 的可能个数。 3. （多选）已知全集 ，集合 ，，则下列说法正确的有（ ） A.  B.  C.  D.  4. 设全集 （整数集），集合 ，则  。 5. （多选）已知全集 （整数集），集合 ，则下列说法正确的有（ ） A.   B.  C.   D.  例 6、设全集 ，，，求 ，。 变式训练 A 组（基础）： 1、设 ，，，求 ，。 2、设 ，，，求 ，。 B 组（中档）： 1、设 ，，，求 ，。 2、设 ，，，求  和 。 课堂小结 定义核心：并集（或）：“属于 A 或 B”，去重；交集（且）：“同时属于 A 和 B”，找公共元素；补集（非）：“U 中不属于 A”，依赖全集。 运算技巧：有限集：枚举法；无限集：数轴（区间）、Venn 图。 注意事项：区分 “或” 与 “且” 的逻辑；补集必明确定义域 U；区间运算验证端点开闭性。 课后作业 1. 设 ，，，求 。 2. 设 ，，求 。 3. 设 ，，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $$