14.3 角的平分线同步练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 第 1 课时 角的平分线的性质 基础夯实 知识点 1 作已知角的平分线 1.如图所示的是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是 ( ) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 2.新尺规作图用尺规分别画出图1、图2 中∠AOB 的平分线. 知识点 2 角的平分线的性质 3.「2025海南海口期末」如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB 于E,BE=3,BC=7,则△BDE的周长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.14 4. 燃燃材如图,D是∠ABC平分线上的一点,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,连接EF,交BD 于点 O.已知∠EDF=120°,则∠DEF 的度数为 ( ) A.40° B.35° C.30° D.25° 5.「2025重庆西南大学附中期末」如图,OC平分∠AOB,P是OC上一点,过点 P 作 PM⊥OA 于M,PM=4,N 是 OB 上任意一点，连接 NP，则 NP 的最小值为 . 6.「2025福建厦门期中」如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AB =10,S△ABD = 15,则 CD 的长为 . 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点 E,点F在AC上,BD=DF.求证:BE=FC. 知识点 3 证明几何文字命题的一般步骤 8.答案求证：三角形互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边(或所在直线)的距离相等. 能力提升 9.「2025河南安阳期末, 」如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点 O,连接AO,过点 O 作 OD⊥BC 于 D,OE⊥AB 于 E,△ABC 的面积是16,周长是8，则OD的长是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.「如图，在平面直角坐标系的x轴，y轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点 P，若点 P 的坐标为(a,2a-3),则a 的值为 . 11.「2025辽宁本溪期中, 」如图,BD是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为 E,F. (1)求证:DE=DF. (2)若△ABC的面积为80,AB=16,DE=4,求 BC的长. 12.「2025重庆巴南实验中学月考, 〔☆」如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD⊥AB,BD平分∠ABC 交AD 于 D点,交AC 于 E 点. (1)求证:∠ADE=∠AED. (2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面积. 素养提优 13.「2025山东德州期中改编」角平分线定理：三角形一个内角的平分线与其对边相交，交点将该边分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，△ABC的角平分线BP交AC于点 P,则 (1)求证: (2)若AB=8,BC=12,CP=6,求AP 的长. 学科网（北京）股份有限公司 第2课时角的平分线的判定 基础夯实 知识点 角的平分线的判定 1.教材 「2025湖北武汉期中」两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放在△ABC 内，它们的顶点重合于点 M，则点 M一定在 ( ) A.∠A 的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 2.「2025江西赣州质检」已知,如图,OC是∠AOB 内部的一条射线,P 是射线 OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,下列条件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定 OC 是∠AOB 的平分线的有 ( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.「2025陕西榆林期中」如图,在△ABC 中,∠A=73°,∠C=47°,点 D 是AC上一点,连接BD,DE⊥AB 于E,DF⊥BC 于 F,若 DE=DF,则∠DBF 的度数是 4.「2025安徽合肥月考」如图,O是△ABC内一点,且点O到AB,AC,BC 三边的距离相等,即 OF=OE= OD,若∠BAC=100°,则∠BOC 的度数是 . 5.如图,在△ABC中,AC⊥BC,D,E,F分别是边AC,AB,BC上的点,已知DE⊥AB,AD=FD,AE=FC,求证:BD为∠ABC 的平分线. 能力提升 6.「2025山东临沂期中, 如图,直线l₁,l₂,l₃表示三条公路.现要建造一个中转站 P，使P 到三条公路的距离都相等，则中转站 P 可选择的位置有( ) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 7.「2025河北邢台期末，」如图，在四边形ABCD中,∠B=90°,BC=3,连接AC,AC⊥CD,垂足为 C,并且∠ACB=∠D,点E 是AD 边上一动点，则CE 的最小值是 ( ) A.1.5 B.3 C.3.5 D.4 8.「2025福建厦门期末, 」如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,CP 平分∠ACB,作 PD⊥AB 于点 D,连接BP. (1)求证:BP平分∠ABC. (2)若△ABC的面积为15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD 的长. (3)若AB=7,BC=5,AC=8,求BD的长. 素养提优 9.在△ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点B,C重合),连接AD. (1)如图①,当点 D 是BC边的中点时,,S△ABD: S△ACD= . (2)如图②,当 AD 平分∠BAC 时,若 AB =m,AC=n,求 S△ABD : S△ACD(用含 m,n 的式子表示). (3)如图③,AD 平分∠BAC,延长AD 到E,使得DE=AD,连接 BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC. 学科网（北京）股份有限公司 微专题对角互补模型 学科网（北京）股份有限公司 1.如图,已 知 ∠AOB = 90°, OC 平分∠AOB,点 P 在射线OC上,点 E 在射线 OA 上,点 F 在射线 OB 上,且∠EPF=90°.求证:PE=PF. 2.如图,OC平分 ,P 是OC上任意一点,点M,N分别在射线OB 和射线OA 上,连接PM 和 PN,若 求证：PM=PN. 学科网（北京）股份有限公司 14.3 角的平分线 第 1 课时角的平分线的性质 基础夯实 知识点 1 作已知角的平分线 1.如图所示的是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是 (D) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 2.新兴趣作用用尺规分别画出图1、图2 中∠AOB 的平分线. 知识点 2 角的平分线的性质 3.「2025海南海口期末」如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB 于E,BE=3,BC=7,则△BDE的周长为 (C) A.6 B.8 C.10 D.14 4.整整 如图,D是∠ABC平分线上的一点,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为 E,F,连接EF,交 BD 于点 O.已知∠EDF=120°,则∠DEF 的度数为 (C) A.40° B.35° C.30° D.25° 5.「2025重庆西南大学附中期末」如图,OC平分∠AOB,P是OC上一点,过点 P 作 PM⊥OA 于M,PM=4,N 是OB 上任意一点，连接 NP，则 NP 的最小值为 4 . 6.「2025福建厦门期中」如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AB = 10,S△ABD = 15,则 CD 的长为 3 . 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点 E,点F在AC上,BD=DF.求证:BE=FC. 答案证明 ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°, ∴DC=DE,∠C=∠DEA=90°, 在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中, ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL),∴ FC=BE. 知识点 3 证明几何文字命题的一般步骤 8.求证：三角形互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边(或所在直线)的距离相等. 解析 已知:如图,BD 为△ABC 的外角∠CBG 的平分线,CE为△ABC的外角∠BCH 的平分线,BD,CE 相交于点 P. 求证：点P到△ABC 的三边(或所在直线)的距离相等. 证明:如图,过点 P作PF⊥BC,PM⊥AG,PN⊥AH,垂足分别为F,M,N. ∵PF⊥BC,PM⊥AG,且 BD 平分∠CBG,∴ PF=PM.同理PF=PN,∴ PF=PM=PN,即点 P 到△ABC 的三边(或所在直线)的距离相等. 能力提升 9.「2025河南安阳期末, 」如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点 O,连接AO,过点 O 作 OD⊥BC 于 D,OE⊥AB 于 E,△ABC 的面积是16,周长是8，则OD的长是 (D) A.1 B.2 C.3 D.4 10.「如图，在平面直角坐标系的x轴，y轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点 P 的坐标为(a,2a-3),则a的值为 3 . 11.「2025辽宁本溪期中, 如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为 E,F. (1)求证:DE=DF. (2)若△ABC的面积为80,AB=16,DE=4,求 BC的长. 解析 答案(1)证明:∵ BD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F, ∴ DE=DF. (2)∵DE⊥AB,AB=16,DE=4, ∵DF⊥BC,DF=DE=4, 32=48,∴BC=24. 12.「2025重庆巴南实验中学月考, 如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AD⊥AB,BD平分∠ABC 交AD 于 D点,交AC于E点. (1)求证:∠ADE=∠AED. (2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面积. 解析 (1)证明:∵AD⊥AB, ∴ ∠DAB=90°,∴∠D+∠ABD=90°, ∵∠C=90°,∴ ∠CEB+∠CBE=90°, ∵ BD 平 分 ∠ABC,∴ ∠CBE = ∠ABE,∴ ∠D=∠CEB, ∵∠CEB=∠AED,∴∠ADE=∠AED. (2)如图,过点 E作EF⊥AB,垂足为 F, ∵BD平分∠ABC,∠ACB=90°,∴EF=CE=2, ∵AB=6,∴ △ABE 的面积 =6. 素养提优 13「2025山东德州期中改编」角平分线定理：三角形一个内角的平分线与其对边相交，交点将该边分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，△ABC的角平分线BP 交AC于点 P,则 (1)求证: (2)若AB=8,BC=12,CP=6,求AP的长. C 第2课时 角的平分线的判定 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 角的平分线的判定 1.「2025湖北武汉期中」两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放在△ABC 内，它们的顶点重合于点M，则点M一定在 (A) A.∠A 的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB 边的中线上 2.「2025江西赣州质检」已知,如图,OC是∠AOB 内部的一条射线,P是射线 OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,下列条件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定 OC 是∠AOB 的平分线的有 (D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.「2025陕西榆林期中」如图,在△ABC 中,∠A=73°,∠C=47°,点 D 是AC上一点,连接BD,DE⊥AB 于E,DF⊥BC 于 F,若 DE=DF,则∠DBF 的度数是 30°. 4.「2025安徽合肥月考」如图,O是△ABC内一点,且点O到AB,AC,BC三边的距离相等,即OF=OE=OD,若∠BAC=100°,则∠BOC 的度数是 140°. 5.如图,在△ABC中,AC⊥BC,D,E,F分别是边AC,AB,BC上的点,已知DE⊥AB,AD=FD,AE=FC,求证:BD为∠ABC的平分线. 答案证明 ∵AC⊥BC,DE⊥AB,∴∠AED=∠FCD=90°,在 Rt△AED 和 Rt△FCD 中, ∴Rt△AED≌Rt△FCD(HL),∴DE=DC, 又∵AC⊥BC,DE⊥AB, ∴BD 为∠ABC的平分线. 能力提升 6.「2025山东临沂期中, 」如图,直线l₁,l₂,l₃表示三条公路.现要建造一个中转站 P，使P 到三条公路的距离都相等，则中转站 P 可选择的位置有(D) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 7.如图，在四边形ABCD中,∠B=90°,BC=3,连接AC,AC⊥CD,垂足为 C,并且∠ACB=∠D,点E 是AD 边上一动点，则CE的最小值是 (B) A.1.5 B.3 C.3.5 D.4 8.「2025福建厦门期末, 」如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,CP 平分∠ACB,作 PD⊥AB 于点 D,连接BP. (1)求证:BP平分∠ABC. (2)若△ABC的面积为15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD 的长. (3)若AB=7,BC=5,AC=8,求BD的长. 素养提优 9.新推理能在△ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点B,C重合),连接AD. (1)如图①,当点 D 是BC边的中点时,,S△ABD:S△ACD= . (2)如图②,当 AD 平分∠BAC 时,若 AB =m,AC=n,求S△ABD : S△ACD(用含 m,n的式子表示). (3)如图③,AD 平分∠BAC,延长AD 到 E,使得DE=AD,连接 BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC· 微专题 对角互补模型 1.如图,已知 ∠AOB = 90°,OC 平分∠AOB,点 P 在射线 OC 上,点 E 在射线 OA 上,点 F 在射线 OB 上,且∠EPF=90°.求证:PE=PF. 答案证明 如图,过 P 作 PG⊥OB 于 G,PH⊥AO 于 H,则∠PGF=∠PHE=90°, ∵OC平分∠AOB,∴PH=PG, ∵∠AOB=∠EPF=90°, ∴∠PFG+∠PEO=180°, 又∵ ∠PEH+∠PEO=180°, ∴∠PEH=∠PFG, ∴△PEH≌△PFG(AAS),∴PE=PF. 2.如图,OC平分∠AOB,P是OC 上任意一点,点M,N分别在射线OB 和射线OA 上,连接PM 和 PN,若∠PMO+∠PNO=180°,求证:PM=PN. 证明 如图,过点 P 作 PE⊥OB 于 E,PF⊥OA于F, ∵OC平分∠AOB, ∴PE=PF, ∵∠PMO+∠PME=180°,∠PMO+∠PNO=180°, ∴∠PME=∠PNO,在△PME 和△PNF 中, ∴△PME≌△PNF(AAS),∴PM=PN. 学科网（北京）股份有限公司 $$