14.2三角形全等的判定 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.2三角形全等的判定 第 1 课时 两边及其夹角证全等(SAS) 基础夯实 知识点 用 “边角边 (SAS)”判定两个三角形全等 1.「2025江苏常州期中」下列与如图所示的三角形全等的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.只有① 2.「2025湖北宜昌期中」如图,AC 和BD 相交于点 O,OA=OC,OB=OD,下列说法错误的是 ( ) A. AB∥CD B. AB≠CD,AB∥CD C. AB=CD D. AB=CD,AB∥CD 3.「2025北京东城期末」如图,点E,F在BC上,AB=CD,AF=DE,AF,DE 相交于点 G,若添加一个条件,可使得△ABF≌△DCE，则添加的条件可以是 4.「2025河南洛阳期中改编」在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务.小亮同学想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根长度相等的小棒AD，BC的中点O 固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB 的长.此方案中，判定△AOB 和△DOC是全等三角形的依据是 . 5.「2025山东青岛月考」如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=35°,则∠DAO 的度数是 . 6.在台风来临之前，园林管理人员用钢管加固树木(如图)，树干固定点为 P 点，树干PO 垂直于地面AB，地面固定点A，B到树干底部点O 的距离相等，此时两钢管 PA，PB的长度相等吗?为什么? 7.「2025广东韶关期末」如图,点A,D,B,F在一条直线上,AC∥EF,AC=EF,AD=BF. (1)求证:△ABC≌△FDE. (2)若∠A=30°,∠ABC=75°,求∠E的度数. 能力提升 8.「2025河南信阳质检，」如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，∠1与∠2的和为 ( ) A.45° B.60° C.90° D.100° 9.「2025江苏南京一中月考，」如图，点D，E分别在AB,AC上,若AB=AC,BE=CD,BD=EC,∠B=32°,∠A=41°,则∠BOC 的度数是 ( ) A.135° B.125° C.115° D.105° 10.「2024河南焦作一中期末, 」如图,在△ABC 中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=64°,则∠A的度数是 ( ) A.42° B.52° C.62° D.51° 11.「2024山东淄博中考改编, 」如图,已知AB=CD,点E,F 在线段 BD 上,且AF=CE.请从①∠BAF=∠DCE；②AF=CF中，选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE. 你添加的条件是 (只填写一个序号). 添加条件后，请证明AE∥CF. 素养提优 12.「2025河南周口期中」如图1,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm;点 P 在线段AB 上以1 cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动，它们运动的时间为t(s). (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t=1时,△ACP 与△BPQ 是否全等? 请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系. (2)如图2,将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变.设点 Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的x的值；若不存在，请说明理由. 第2课时 两角及一边证全等(ASA、AAS) 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 1 用“角边角 (ASA)”判定两个三角形全等 1.小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图，他想到玻璃店配一块大小、形状完全一样的玻璃，则他应 ( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 2.如图,AB∥DE,且AB=DE,∠B=∠E,若AF=1,FD=4,则 FC的长是 . 3.「2025甘肃武威期末」如图，四边形ABCD 中，对角线AC,BD交于点O,AB=AC,点 E 是 BD 上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC. (1)求证:AE=AD. (2)若BD=8,DC=5,求ED的长. 知识点 2 用“角角边 (AAS)”判定两个三角形全等 4.「2025湖北荆州联考」如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是 ( ) A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.乙 5.如图,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=5,AD=12,AB∥CD,点E是CD上一点,BE交AD 于点 F,若AB=DE，则图中阴影部分的面积为 ( ) A.30 B.40 C.45 D.60 6.「2024江苏镇江中考」如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB. (1)求证:△ABC≌△BAD. (2)若∠DAB=70°,则∠CAB= °. 能力提升 7.「2023四川凉山州中考, 」如图,点 E,点 F 在 BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE 的是 ( ) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C. AB=DC D. AF=DE 8.如图,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点 D 在边 BC 上,CD=2BD,点 E,F 在线段AD 上,∠1= ∠2=∠BAC,若△ABC 的面积为 18,则△ACF 与△BDE 的面积之和为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.16 9.「2025广东东莞期中, 」海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目.如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离 BD=15 m.当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A 到地面的距离 AE=9 m.当船头从 A 处摆动到A'处时,A'B⊥AB,则点 A'到BD 的距离为 . 10.「2024四川南充中考, 」如图,在△ABC 中,点 D为 BC边的中点,过点 B 作BE∥AC交AD 的延长线于点 E. (1)求证:△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证:BA=BE. 11.「如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90°,点D是BC边上一点,DE⊥AD,CE⊥AC,DE和CE 交于点 E.求证:AD=DE. 证明:如图,在AB 上取一点 F,使 BF=BD,连接 DF. ∵∠ABC=90°,∴ △BFD 是等腰直角三角形, ∴ ∠BFD=45°,…… 请将此证明过程补充完整. 素养提优 12.如图,在△ACB 中,∠ACB =90°,AC=BC,点C 的坐标为(-2,0),点A 的坐标为(-6,3),求点B 的坐标. 第3课时 三边证全等(SSS) 基础夯实 知识点 用“边边边 (SSS)”判定两个三角形全等 1.〔2025山东济南期中」如图,在△ABC 和△DEF中,AB=DE,AC=DF,要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则可添加的条件为 ( ) A. BF=CF B. BF=CE C. CF=CE D.∠A=∠D 2.「2024四川内江中考改编」如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.若∠A=55°,∠E=45°,则∠F的度数为 . 3.「2023西藏中考」如图,已知AB=DE,AC=DC,CE=CB.求证:∠1=∠2. 4.「2025重庆渝北月考」如图,已知AB=AD,BC=DE,AC=AE,∠1=42°,求∠2的度数. 能力提升 5.「2025广东深圳联考, 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD相交于点 O.已知AD=BC,AC=BD,若∠ACD=30°,则∠AOD的度数为 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 6.「2024安徽合肥月考, 如图,CA=CB,AD=BD,M,N分别是 CA,CB 的中点,若△ADM 的面积为3,则图中阴影部分的面积为 . 7.如图，已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,B,D,E三点共线,AC 与 BE 相交于点 F,请从结论①∠ADE=∠CAE+∠ACE,②∠BAC=∠BEC 中选择一个进行证明. 第4课时 尺规作图 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 1 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1.「2025山东聊城月考」如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了 在作图痕迹中，弧EF是 ( ) A.以点 O'为圆心，OD长为半径的弧 B.以点 O'为圆心，CD长为半径的弧 C.以点 D'为圆心，OD长为半径的弧 D.以点 D'为圆心，CD长为半径的弧 2.「2025河南商丘期中改编」用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，其中说明△O'C'D'≌△OCD的依据是 . 3.「2024山东淄博沂源月考」尺规作图：如图，光线CO 射到镜面AB 上的O 点处，反射光线与镜面AB 的夹角等于∠AOC，请作出 CO 经过镜面反射后的光线OD.(保留作图痕迹，不写作法) 知识点 2 用直尺和圆规作直线的平行线 4.「2025陕西西安期末」如图,点 D 是△ABC的BC边上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点 E，连接DE，使得DE∥BA.(保留作图痕迹，不写作法) 知识点 3 用直尺和圆规作三角形 5.已知:线段a,b及∠MON. 求作:△ABC,使得AB=a,AC=b,∠A=∠MON.(保留作图痕迹，不写作法) 能力提升 6.「2025四川成都期末，)如图，已知∠AOB，以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点E,F,再以点 E 为圆心，以EF长为半径画弧,交前弧于点 D,画射线 OD,若∠AOB=28°,则∠BOD 的度数为 . 7.「2025福建泉州期末,「穴」尺规作图：如图，已知∠α=40°，过点O 在直线 AB 上方作一条射线 OD，使得∠AOD=140°(保留作图痕迹,不写作法). 8.「2024山东淄博张店期末， 尺规作图：已知∠α和线段a，作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两个内角的夹边等于 a.(不写作法，但要保留作图痕迹) 第5课时 斜边及一直角边证全等 (HL) 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 1 用“斜边、直角边 (HL)”判定两个三角形全等 1.「2025辽宁沈阳期中」如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.能直接判定△ABD 和△CDB 全等的依据是 ( ) A. AAS B. SAS C. ASA D. HL 2.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是AB上一点,过点D作DE⊥AC 于点E,DB=DE,连接CD.若BC=8,AE=2,则AC的长为 . 3.如图,在△ABC中,过点A 向 BC作垂线,垂足为 E,D 为CA 延长线上一点,过点 D 作 DF∥AE交BC 于点 F,交AB于点 P,若DF=BE,BA=DC.请判断AB与CD的位置关系，并说明理由. 知识点 2全等三角形判定方法的灵活应用 4.「2025安徽马鞍山期末」如图,AB∥DE,A,C,F,D在同一直线上，添加下列条件仍不能判定△ABC≌△DEF的是 ( ) A. BC∥EF,AF=CD B. AB=DE,AF=CD C. AB=DE,BC=EF D. BC∥EF,BC=EF 5.如图,AD=AE,∠1=∠2,请你添加一个条件: (只填一个即可),使△ABD≌△ACE. 6.「2025广东潮州期末」王强同学用10 块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点C 在 DE上，点A 和点 B 分别与木墙的顶端重合.由题意知AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE. (1)求证:△ADC≌△CEB. (2)求两堵木墙之间的距离. 能力提升 7.「2024安徽中考, 」在凸五边形ABCDE 中,AB=AE,BC=DE,F 是 CD的中点.下列条件中,不能推出AF与CD一定垂直的是 ( ) A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 8.「2025云南昆明期末, 」如图,D 是∠MAN内部一点,DE⊥AM 于E,DF⊥AN于 F,且DE=DF,点 B是射线AM上一点,AB=6,BE=2,在射线AN上取一点C,使得DC=DB,则AC的长为 . 9.「2023江苏南通中考, 」如图,点 D,E分别在AB,AC 上,∠ADC=∠AEB = 90°,BE,CD 相交于点O,OB=OC.求证:∠1=∠2.小虎同学的证明过程如下： 证明:∵∠ADC=∠AEB=90°, ∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. ∵∠DOB=∠EOC, ∴∠B=∠C.……第一步 又OA=OA,OB=OC, ∴△ABO≌△ACO.……第二步 ∴ ∠1=∠2.……第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误. (2)请写出正确的证明过程. 10.「2025江西南昌期末」如图,AD 是△ABC 的中线,BE⊥AD,垂足为 E,CF⊥AD,交AD 的延长线于点 F,G是 DA 延长线上一点,连接BG. (1)求证:BE=CF. (2)若BG=CA,求证:GA=2DE. 素养提优 11. 如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE 相交于点 P. (1)求∠APC 的度数. (2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长. 14.2三角形全等的判定 第1 课时 两边及其夹角证全等(SAS) 基础夯实 知识点用“边角边 (SAS)”判定两个三角形全等 1.「2025江苏常州期中」下列与如图所示的三角形全等的是 (D) A.①② B.②③ C.①③ D.只有① 2.「2025湖北宜昌期中」如图,AC 和BD 相交于点 O,OA=OC,OB=OD,下列说法错误的是 (B) A. AB∥CD B. AB≠CD,AB∥CD C. AB=CD D. AB=CD,AB∥CD 3.「2025北京东城期末」如图,点E,F在BC上,AB=CD,AF=DE,AF,DE 相交于点 G,若添加一个条件,可使得△ABF≌△DCE,则添加的条件可以是∠A=∠D(答案不唯一). 4.「2025河南洛阳期中改编」在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务.小亮同学想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根长度相等的小棒AD，BC的中点O 固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长.此方案中，判定△AOB 和△DOC是全等三角形的依据是 SAS . 5.「2025山东青岛月考」如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=35°,则∠DAO 的度数是 85°. 6.在台风来临之前，园林管理人员用钢管加固树木(如图)，树干固定点为 P 点，树干PO 垂直于地面AB，地面固定点A，B到树干底部点O 的距离相等，此时两钢管PA，PB的长度相等吗?为什么? 解析 PA=PB. 理由:在△POA 和△POB中, ∴ △POA≌△POB(SAS),∴PA=PB. 7.「2025广东韶关期末」如图,点A,D,B,F在一条直线上,AC∥EF,AC=EF,AD=BF. (1)求证:△ABC≌△FDE. (2)若∠A=30°,∠ABC=75°,求∠E的度数. 能力提升 8.「2025河南信阳质检，〔如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，∠1 与∠2的和为 (C) A.45° B.60° C.90° D.100° 9.对称「2025江苏南京一中月考，如图，点 D，E 分别在AB,AC上,若AB=AC,BE=CD,BD=EC,∠B=32°,∠A=41°,则∠BOC 的度数是 (D) A.135° B.125° C.115° D.105° 10.「2024河南焦作一中期末, 」如图,在△ABC 中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=64°,则∠A的度数是 (B) A.42° B.52° C.62° D.51° 11.「2024山东淄博中考改编, 」如图,已知AB=CD,点E,F 在线段 BD 上,且AF=CE.请从①∠BAF=∠DCE；②AF=CF中，选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE. 你添加的条件是 (只填写一个序号). 添加条件后，请证明AE∥CF. 解析 当选择①∠BAF=∠DCE时, 在△ABF和△CDE 中, ∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠B=∠D,BF=DE, 同理可证△ABE≌△CDF(SAS), ∴∠AEB=∠CFD,∴AE∥CF. 当选择②AF=CF时,不能判定△ABF≌△CDE. 素养提优 12.「2025河南周口期中」如图1,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm;点 P 在线段AB上以1 cm/s的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q在线段BD上由点 B 向点 D 运动，它们运动的时间为t(s). (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t=1时,△ACP 与△BPQ 是否全等? 请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系. (2)如图2,将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的x的值；若不存在，请说明理由. 解析 答案(1)全等,PC⊥PQ,理由如下: 当t=1时,AP=BQ=1cm,∴BP=AB-AP=3cm=AC,在△ACP 和△BPQ 中, ∴ △ACP≌△BPQ(SAS),∴∠ACP=∠BPQ, ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°, ，即线段PC 与线段 PQ 互相垂直. (2)存在, ①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ, 解得 ②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP, 解得 综上所述，x=1或 时,△ACP与△BPQ 全等 第2课时 两角及一边证全等(ASA、AAS) 基础夯实 知识点 1 用“角边角 (ASA)”判定两个三角形全等 1.小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图，他想到玻璃店配一块大小、形状完全一样的玻璃，则他应 (C) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 2.如图,AB∥DE,且AB=DE,∠B=∠E,若AF=1,FD=4,则FC的长是 3 . 3.「2025甘肃武威期末」如图，四边形ABCD 中，对角线AC,BD交于点O,AB=AC,点 E 是 BD上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC. (1)求证:AE=AD. (2)若BD=8,DC=5,求ED的长. 解析 答案(1)证明:∵ ∠BAC=∠EAD, ∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD, 在△ABE 和△ACD 中, ∴△ABE≌△ACD(ASA), ∴AE=AD. (2)∵△ABE≌△ACD, ∴BE=CD, ∵BD=8,DC=5, ∴ED=BD-BE=BD-CD=8-5=3. 知识点 2 用“角角边 (AAS)”判定两个三角形全等 4.「2025湖北荆州联考」如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是 (B) A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.乙 5.如图,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=5,AD=12,AB∥CD,点E是CD上一点,BE交AD 于点 F,若AB=DE，则图中阴影部分的面积为 (A) A.30 B.40 C.45 D.60 6.「2024江苏镇江中考」如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB. (1)求证:△ABC≌△BAD. (2)若∠DAB=70°,则∠CAB= °. B 能力提升 7.「2023四川凉山州中考, 金台」如图,点 E,点 F 在 BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE 的是 (D) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C. AB=DC D. AF=DE 8.「2025河北沧州质检, 」如图,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点 D 在边 BC 上,CD=2BD,点 E,F 在线段AD 上,∠1= ∠2=∠BAC,若△ABC 的面积为 18,则△ACF 与△BDE 的面积之和为 (A) A.6 B.9 C.12 D.16 9.「2025广东东莞期中, 」海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目.如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离BD=15 m.当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离 AE=9 m.当船头从 A 处摆动到A'处时,A'B⊥AB,则点A'到BD 的距离为 6m . 10.「2024四川南充中考, 」如图,在△ABC 中,点 D为BC边的中点,过点 B 作BE∥AC交AD 的延长线于点 E. (1)求证:△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证:BA=BE. 11.「如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90°,点D是BC边上一点,DE⊥AD,CE⊥AC,DE和CE交于点 E.求证:AD=DE. 证明:如图,在AB上取一点 F,使 BF=BD,连接 DF. ∵∠ABC=90°,∴△BFD 是等腰直角三角形, ∴∠BFD=45°,…… 请将此证明过程补充完整. 答案解析 补充证明过程如下： ∵∠AFD+∠BFD=180°,∴∠AFD=135°, ∵AB=BC,∠B=90°,CE⊥AC, ∴∠ACB=45°,∠ACE=90°, ∴∠DCE=45°+90°=135°,∴∠AFD=∠DCE, ∵∠B=90°,∠ADE=90°, ∴ ∠BAD+∠ADB=90°,∠ADB+∠CDE=90°, ∴∠BAD=∠CDE. ∵AB=BC,BF=BD,∴AF=DC, ∴△AFD≌△DCE(ASA),∴AD=DE. 素养提优 12. 如图,在△ACB 中,∠ACB =90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A 的坐标为(-6,3),求点B的坐标. 第3课时 三边证全等(SSS) 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 用“边边边 (SSS)”判定两个三角形全等 1.做好教材「2025山东济南期中」如图,在△ABC 和△DEF中,AB=DE,AC=DF,要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则可添加的条件为 (B) A. BF=CF B. BF=CE C. CF=CE D.∠A=∠D 2.「2024四川内江中考改编」如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.若∠A=55°,∠E=45°,则∠F的度数为80°. 3.「2023西藏中考」如图,已知AB=DE,AC=DC,CE=CB.求证:∠1=∠2. 答案证明 在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(SSS), ∴ ∠ACB=∠DCE, ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,∴∠1=∠2. 4.「2025重庆渝北月考」如图,已知AB=AD,BC=DE,AC=AE,∠1=42°,求∠2的度数. 解析 ∵在△ABC和△ADE 中, ∴△ABC≌△ADE(SSS), ∴∠ADE=∠B, ∵∠1+∠B+∠ADB=180°,∠2+∠ADE+∠ADB=180°, ∴∠2=∠1=42°. 能力提升 5.「2025广东深圳联考, 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD相交于点 O.已知AD=BC,AC=BD,若∠ACD=30°,则∠AOD 的度数为 (B) A.50° B.60° C.70° D.80° 6.「2024安徽合肥月考, 如图,CA=CB,AD=BD,M,N分别是 CA,CB的中点,若△ADM 的面积为3,则图中阴影部分的面积为 6 . 7.「2025江苏镇江模拟， 如图，已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,B,D,E三点共线,AC 与 BE 相交于点 F,请从结论①∠ADE=∠CAE+∠ACE,②∠BAC=∠BEC中选择一个进行证明. 第4课时尺规作图 基础夯实 知识点 1 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1.「2025山东聊城月考」如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时,作了∠A'O'B'=∠AOB,在作图痕迹中，弧EF是 (D) A.以点O'为圆心，OD 长为半径的弧 B.以点O'为圆心，CD长为半径的弧 C.以点 D'为圆心，OD长为半径的弧 D.以点 D'为圆心，CD长为半径的弧 2.「2025河南商丘期中改编」用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，其中说明△O'C'D'≌△OCD 的依据是 SSS . 3.「2024山东淄博沂源月考」尺规作图：如图，光线 CO 射到镜面AB 上的O点处，反射光线与镜面AB 的夹角等于∠AOC，请作出CO 经过镜面反射后的光线OD.(保留作图痕迹，不写作法) 知识点 2 用直尺和圆规作直线的平行线 4.「2025陕西西安期末」如图,点 D 是△ABC 的BC 边上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点 E，连接DE，使得DE∥BA.(保留作图痕迹，不写作法) 知识点3 用直尺和圆规作三角形 5.已知:线段a,b及∠MON. 求作:△ABC,使得AB=a,AC=b,∠A=∠MON.(保留作图痕迹，不写作法) 见答案册D16 能力提升 6. 「2025四川成都期末，)如图，已知∠AOB，以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点E,F,再以点 E 为圆心，以EF长为半径画弧,交前弧于点 D,画射线 OD,若∠AOB=28°,则∠BOD 的度数为 56°. 7.「2025福建泉州期末，〔穴〕尺规作图：如图，已知∠α=40°，过点O 在直线AB上方作一条射线OD，使得∠AOD=140°(保留作图痕迹,不写作法). 解析 如图，射线OD为所求. 8.「2024山东淄博张店期末， 」尺规作图：已知∠α和线段a，作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两个内角的夹边等于 a.(不写作法，但要保留作图痕迹) 解析 如图，△ABC 即为所求. 第4课时 斜边及一直角边证全等(HL) 基础夯实 知识点 1 用“斜边、直角边 (HL)”判定两个三角形全等 1.「2025辽宁沈阳期中」如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.能直接判定△ABD 和△CDB全等的依据是 (D) A. AAS B. SAS C. ASA D. HL 2.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是AB上一点,过点D作DE⊥AC于点E,DB=DE,连接CD.若BC=8,AE=2,则AC的长为 10 . 3.根据如图,在△ABC中,过点A 向 BC作垂线,垂足为E,D为CA 延长线上一点,过点 D 作 DF∥AE交BC 于点F,交AB于点 P,若DF=BE,BA=DC.请判断AB 与CD的位置关系，并说明理由. 答案解析 AB⊥CD.理由如下: ∵AE⊥BC,DF∥AE,∴DF⊥BC,∴∠DFC=90°,在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中 ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL),∴∠B=∠D, ∵∠BPF=∠APD,∴∠DAP=∠BFD=90°,∴AB⊥CD. 知识点 2全等三角形判定方法的灵活应用 4.「2025安徽马鞍山期末」如图,AB∥DE,A,C,F,D在同一直线上，添加下列条件仍不能判定△ABC≌△DEF的是 (C) A. BC∥EF,AF=CD B. AB=DE,AF=CD C. AB=DE,BC=EF D. BC∥EF,BC=EF 5.如图,AD=AE,∠1=∠2,请你添加一个条件: AB=AC(答案不唯一) (只填一个即可),使△ABD≌△ACE. 6.「2025广东潮州期末」王强同学用10 块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点C 在DE上，点A 和点 B 分别与木墙的顶端重合.由题意知AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE. (1)求证:△ADC≌△CEB. (2)求两堵木墙之间的距离. 能力提升 7.「2024安徽中考, 」在凸五边形ABCDE 中,AB=AE,BC=DE,F 是CD的中点.下列条件中,不能推出AF与CD一定垂直的是 (D) A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 8.「2025云南昆明期末, 」如图,D 是∠MAN 内部一点,DE⊥AM于E,DF⊥AN于F,且DE=DF,点 B是射线AM上一点,AB=6,BE=2,在射线AN上取一点C,使得DC=DB,则AC的长为6或10 . 9.「2023江苏南通中考, 」如图,点D,E分别在AB,AC 上,∠ADC=∠AEB=90°,BE,CD 相交于点O,OB=OC.求证:∠1=∠2.小虎同学的证明过程如下： 证明:∵∠ADC=∠AEB=90°, ∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. ∵∠DOB=∠EOC, ∴∠B=∠C.……第一步 又OA=OA,OB=OC, ∴△ABO≌△ACO.……第二步 ∴∠1=∠2.……第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误. (2)请写出正确的证明过程. 解析 答案(1)二. (2)证明:∵∠ADC=∠AEB=90°, ∴∠BDC=∠CEB=90°, 在△DOB 和△EOC中, ∴△DOB≌△EOC(AAS),∴OD=OE, 在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中, ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), ∴∠1=∠2. 10.「2025江西南昌期末, 」如图,AD 是△ABC 的中线,BE⊥AD,垂足为 E,CF⊥AD,交AD 的延长线于点 F,G是 DA 延长线上一点,连接BG. (1)求证:BE=CF. (2)若BG=CA,求证:GA=2DE. 证明 (1)∵AD是△ABC的中线, ∴BD=CD, ∵ BE⊥AD,CF⊥AF, ∴∠BED=∠F, 在△BED和△CFD中, ∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF. (2)在 Rt△BGE 和 Rt△CAF 中, ∴ Rt△BGE≌Rt△CAF(HL), ∴GE=AF,∴GA=EF, ∵ △BED≌△CFD, ∴DE=DF,∴GA=EF=2DE. 素养提优 11.新篇直观 如图,△ABC 中,∠ABC=60°,AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE 相交于点 P. (1)求∠APC 的度数. (2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$