第二章 有理数及其运算 分课时练习课件2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学六年级上册

该初中数学课件聚焦第二章有理数及其运算，从小学算术自然导入，通过温故知新搭建小学与初中数学知识的衔接支架，系统涵盖正负数意义、运算技巧及实际应用等核心内容。 其亮点在于以实际情境题（如温度记法、零件比例尺）培养数学眼光，通过简便运算（如提取公因数）发展数学思维，用纳税计算、达标率问题强化数学语言表达。分层设计“夯基础”“练能力”题型，助力学生巩固知识、提升应用能力，也为教师提供高效教学资源。

4　有理数的乘除运算 4.1　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 2．[2024·天河区期末]若表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是( ) A．a＋b＜0 B．－a＜b C．ab＞0 D．|b|＜|a| 4．如果两个有理数x，y满足x＋y＞0，且xy＜0，那么说法正确的是( ) A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 5．根据算式2×4＝8，2×(－4)＝－8，(－2)×4＝－8，(－2) ×(－4)＝8，不能得到的结论是( ) A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负 B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变 C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积 D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的 积是原来积的相反数 6．[2024·科左中旗期中]已知|x|＝7，|y|＝5，且xy＜0，则x－y＝( ) A．2 B．12 C．±2 D．±12 7．－1 的倒数是_____； －(2－7)的倒数是_____； －|－4|的倒数是____． 8．[2024·浦东新区期末]五个有理数的积为负数，那么这五个 有理数之中至少有__个负数． 9．两数的积是1，已知一个数是－2 ，则另一个数是____． 10．[2024·潍坊期中]如图，现有5张写着不同数字的卡片，请 你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，则积最小 是_____． 1 －48 13．若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数a⊙b＝4ab， 如2⊙3＝4×2×3＝24. (1)求3⊙(－4)的值； (2)求(－2)⊙(－6⊙3)的值． 解：(1)3⊙(－4)＝4×3×(－4)＝－48； (2)(－2)⊙(－6⊙3) ＝(－2)⊙[4×(－6)×3] ＝(－2)⊙(－72)＝4×(－2)×(－72)＝576. 14．阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一．”例如：①24×11＝264.计算过程：24两数拉开，中间相加，即2＋4＝6，最后结果264；②68×11＝748.计算过程：68两数分开，中间相加，即6＋8＝14，满十进一，最后结果748. (1)计算：①32×11＝ ，②78×11＝ ； (2)若某个两位数十位数字是a，个位数字是b(a＋b＜10)，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是 ，十位数字是 ，个位数字是 ；(用含a，b的式子表示) (3)请你结合(2)利用所学的知识解释其中原理． 解：(1)①352；②858；　(2)a，a＋b，b； (3)两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数， 若两位数十位数为a，个位数为b， 则11(10a＋b) ＝10(10a＋b)＋(10a＋b) ＝100a＋10b＋10a＋b ＝100a＋10(a＋b)＋b， 根据上述式子，可以总结出规律口诀为 “头尾一拉，中间相加，满十进一”． 15.[新定义][2025·北京期中节选]定义：将n个互不相等的有理数a1，a2，a3，a4，…，an两两相乘，得到的乘积是m个互不相等的数(相同的乘积看作是一个数)，称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为0×1＝0，0×3＝0，1×3＝3，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求－1，2，－4，8这四个数的二维组中的所有数； (2)当n＝5时，即给定任意五个有理数，m的最小值是 ，写出一组满足条件的五个有理数为 ． 解：(1)－1×2＝－2，－1×(－4)＝4，－1×8＝－8， 2×(－4)＝－8，2×8＝16，－4×8＝－32， 所以－1，2，－4，8这四个数的二维组中的所有数为－2，4，－8，16，－32； (2)5；－2，－1，0，1，2. 1．[2025·山东一模]eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))的倒数是( ) A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C．4 D．－4 3．[2024·包头]若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，则n的值为( ) A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．2 D．4 eq \f(2,3) －eq \f(3,5) eq \f(1,5) －eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \x(－6) eq \x(－5) eq \x(－1) eq \x(＋2) eq \x(＋4) －eq \f(2,5) 11．若“！”是一种数学运算符号，并且：(－1)！＝－1，(－2)！＝(－2)×(－1)＝2，(－3)！＝(－3)×(－2)×(－1)＝－6， (－4)！＝(－4)×(－3)×(－2)×(－1)＝24……则eq \f(（－17）！,（－18）！) ＝ ． －eq \f(1,18) 12．计算： (1)(－3)×eq \f(5,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))； (2)3eq \f(1,3)×(－0.3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,3)))； (3)(－5)×(－6)×3×(－2)； (4)(－3)×(－1)×2×0×(－2)； (5)(－5.6)×(－4.2)×2eq \f(1,7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,14)))； (6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,12)))×(－3)×(－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,11)))×(－25)×5. 解：(1)(－3)×eq \f(5,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(5,6)×\f(9,5)×\f(1,4)))＝－eq \f(9,8)； (2)3eq \f(1,3)×(－0.3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,3))) ＝－eq \f(10,3)×eq \f(3,10)×eq \f(5,4)×eq \f(7,3) ＝－eq \f(35,12)； (3)(－5)×(－6)×3×(－2)＝－5×6×3×2＝－180； (4)(－3)×(－1)×2×0×(－2)＝0； (5)(－5.6)×(－4.2)×2eq \f(1,7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,14))) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5.6×4.2×\f(15,7)×\f(5,14)))＝－18； (6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,12)))×(－3)×(－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,11)))×(－25)×5 ＝－eq \f(11,12)×eq \f(12,11)×(4×25)×3×5 ＝－1×100×15＝－1 500. $$3.2　有理数的减法 1．[2024·南川区期末]若|x|＝5，|y|＝2，且x＋y＜0，则x－y的值为( ) A．7 B．3 C．－7或－3 D．－5 2．[2024·成华区期末]如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为20 m，F点的海拔高度为－30 m(以海平面为基准)，则点E比点F高( ) A．50 m B．40 m C．20 m D．10 m 3．[2024·通州区期末]下列描述正确的是( ) A．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a＋b＞0 B．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a－b＞0 C．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么b－a＞0 D．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a＋b＞b 4．[2024·吉州区期中]已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是( ) A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．a－b＜0 D．b－a＜a＋b 5．[2024·楚雄期中]数轴上有A，B两点，它们表示的数分别 是5和－1，那么A，B两点之间的距离是__个单位长度． 6．[2024·桓台县期中]已知a是最大的负整数，b是绝对值最小 的整数，c是最小的正整数，则|a＋b－c|等于__． 6 2 7．[2024·南岗区期末]如图，是A市某一天的气温随时间变化的 情况，则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是___ ℃. 12 ＞ ＜ －3或－5 10．[2025·漳州期末]小明用下图直观解释4－(－3)＝7，请你 用类似的方法直观解释3－(－2)＝5. 解：如图， 12．[2024·南阳期末]某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如表所示(记盈余为正，单位：元)： (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数； (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 解：(1)458－(－27.8)－(－70.3)－200－138.1－38－188 ＝458＋27.8＋70.3－200－138.1－38－188 ＝－8， 所以星期五的盈亏数为－8； (2)由于－8是负数，故星期五亏了，亏了8元； (3)200－(－70.3)＝200＋70.3＝270.3(元)． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多270.3元． 13．[2024·萧县期中]数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段AB＝0－(－1)＝1；线段BC＝2－0＝2；线段AC＝2－(－1)＝3. 则：(1)数轴上点M，N代表的数分别为－9和1，则线段MN＝ ； (2)数轴上点E，F代表的数分别为－6和－3，则线段EF＝ ； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2， 则另一个点表示的数为 ． 解：(1)10； (2)3； (3)7或－3. 14．[2024·高安期中]学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a≤0时，|a|＝－a. 根据以上阅读，解答下列问题： (1)|2－3|＝ ； (2)|3.14－π|＝ ； (3)如果有理数a＜b，则|a－b|＝ ； 8．(1)如果a＞0，b＜0，那么a－b 0； (2)如果a＜0，b＞0，那么a－b 0. 9．[2024·重庆期中]定义一种新运算f(a，b)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b（a>b），,a－b（a≤b），))已知|a＋2|＝1，b＝2，那么f(a，b)＝ ． 11．计算： (1)0－30； (2)－30－(－85)； (3)－3－6－(－15)－(－10)； (4)eq \f(2,3)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋\f(3,4))). 解：(1)原式＝0＋(－30)＝－30； (2)原式＝－30＋85＝55； (3)原式＝－3＋(－6)＋15＋10＝－9＋25＝16； (4)原式＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)－eq \f(3,4)＝eq \f(4,3)－eq \f(3,4) ＝eq \f(7,12). (4)请利用你探究的结论计算下面式子： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 025)－\f(1,2 024))). 解：(1)1； (2)π－3.14； (3)b－a； (4)原式＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2 024)－eq \f(1,2 025) ＝1－eq \f(1,2 025) ＝eq \f(2 024,2 025). $$5　有理数的乘方 5.1　有理数的乘方 2．[2024·杨浦区期末]乘法运算(－4)×4×4×4×4×4可以表示为( ) A．－46 B．(－4)6 C．(－4)×6 D．(－6)×4 6．[2025·赣州期末]已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32……那么21＋22＋23＋…＋210的个位上的数字是( ) A．6 B．4 C．2 D．0 7．[2025·东营期末]将一张长方形纸对折，如图所示可得到一 条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保 持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折2 025次， 可以得到__________条折痕． (22 025－1) 8．[2024·吉州区期中]若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝16，且 |a＋b|＝－(a＋b)，则a－3b的值为______． 9．[2024·覃塘区期中]规定两数a，b之间的一种运算，记作： (a，b)，若ac＝b，则(a，b)＝c，我们叫(a，b)为“雅对”．根 据上述规定，(－2，4)＝__． 15或9 2 10．[2025·吉林期末]阅读理解：十进制记数采用10个数码：0， 1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”．德国数学家莱布 尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”， 他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦．八卦是中国 古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由 符号“━━”和“━ ━”组成(如图)，分别表示1 和0.探究下面关于八卦与二进制关系的表， 则（-a）b＝___． 16 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二 进制数 111 000 011 101 110 转换成十 进制数 7 0 a 3 b 5 6 解：(1)－24÷(－8)×(－2)2 ＝－16÷(－8)×4 ＝2×4 ＝8； (4)16÷(－2)3×|－3－1| ＝16÷(－8)×4 ＝(－2)×4 ＝－8. 12．【阅读材料】 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化 了解到23＝2×2×2；24＝2×2×2×2，则23×242×2×2×2×2×2× 2＝27，即23×24＝27. 类比上述式子，解答下列问题： (1)102×105＝ ，a3×a5＝ ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：am×an＝ (m，n都 是整数)； 我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂 的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【知识运用】 (3)x·x2·x2 024＝ ， y2n·yn＋1＝ ； (4)已知xa＝3，xb＝6，求xa＋b的值． 解：(1)107，a8； (2)a m＋n； (3)x2 027，y3n＋1； (4)因为xa＝3，xb＝6， 所以xa＋b＝xa·xb＝3×6＝18. 13.[整体思想][2025·内江期中]数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想． 【案例学习】 计算1＋3＋32＋…＋39＋310的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设S＝1＋3＋32＋…＋39＋310，① 则3S＝3×(1＋3＋32＋…＋39＋310)＝3×1＋3×3＋3×32＋…＋3×39＋3×310， 得3S＝3＋32＋33＋…＋310＋311，② 【实践操作】 (1)计算1＋2＋22＋…＋29＋210的值； 【迁移拓展】 (2)观察分析1－2＋22－23＋…＋298－299＋2100，该算式中第56个加数为 (直接写出结果)； (3)计算1－2＋22－23＋…＋298－299＋2100的值； 解：(1)设S＝1＋2＋22＋…＋29＋210，① 则2S＝2×(1＋2＋22＋…＋29＋210)＝2×1＋2×2＋2×22＋…＋2×29＋2×210， 得2S＝2＋22＋23＋…＋210＋211，② ②－①得2S－S＝(2＋22＋23＋…＋210＋211)－(1＋2＋22＋…＋29＋210)， 即S＝211－1， 即1＋2＋22＋…＋29＋210＝211－1； (2)－255； (3)设S＝1－2＋22－23＋…＋298－299＋2100，① 则2S＝2×(1－2＋22－23＋…＋298－299＋2100)＝2×1－2×2＋2×22－2×23＋…＋2×298－2×299＋2×2100， 则2S＝2－22＋23－24＋…＋299－2100＋2101，② ②＋①得2S＋S＝(1－2＋22－23＋…＋298－299＋2100)＋(2－22＋23－24＋…＋299－2100＋2101)， 所以3S＝1＋2101， 1．[2024·天山区期末]下列各组的两个数相等的是( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)与eq \f(22,3) B．－23与(－2)3 C．34与43 D．23与2×3 3．[2024·庐江县期末]一根1米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，第二次再剪去剩下的三分之一，如此剪下去，第十次后剩下的绳子长度为( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9米 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))10米 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))10米 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))9米 4．[2025·枣庄期中]已知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＝3，y2＝49，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－y))＝－(x－y)， 则x＋y的值为( ) A．10或－4 B．10或4 C．－10或4 D．－4或－10 5．[2024·合肥期末]下列数或式子：23，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(5)，－52，0，m2＋1在数轴上所对应的点一定在原点右边的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11.计算：(1)－24÷(－8)×(－2)2； (2)(－2)2×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) eq \s\up12(2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(3)； (3)(－33)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(5,27)))÷(－42)； (4)16÷(－2)3×|－3－1|. (2)(－2)2×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) eq \s\up12(2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＝4×eq \f(1,4)×eq \f(9,4)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝eq \f(9,4)×(－8)＝－18； (3)(－33)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(5,27)))÷(－42)＝－27×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(32,27)))÷(－16) ＝32÷(－16)＝－2； ②－①得3S－S＝(3＋32＋33＋…＋310＋311)－(1＋3＋32＋…＋ 39＋310)， 所以2S＝311－1， 所以S＝eq \f(311－1,2)， 即1＋3＋32＋…＋39＋310＝eq \f(311－1,2). 【灵活运用】 (4)现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进eq \f(1,2)个单位长度，第2次前进eq \f(1,4)个单位长度，第3次前进eq \f(1,8)个单位长度……依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？ 所以S＝eq \f(1＋2101,3)， 即1－2＋22－23＋…＋298－299＋2100＝eq \f(1＋2101,3)； (4)不能．由题意可知，第1次前进eq \f(1,2)个单位长度， 第2次前进eq \f(1,22)＝eq \f(1,4)个单位长度， 第3次前进eq \f(1,23)＝eq \f(1,8)个单位长度， …， 即第50次前进eq \f(1,250)个单位长度， 所以该跳蚤第50次前进后的长度为eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,250)， 设S＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,250)，① 则2S＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,250)))＝2×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,22)＋2×eq \f(1,23)＋…＋2×eq \f(1,250)， 则2S＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,249)，② ②－①得2S－S＝(1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,249))－(eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,250))， 所以S＝1－eq \f(1,250)<1， 所以eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,250)<1， 即该跳蚤第50次前进后，不能到达该数轴表示数1的点处，此时它在数1的左侧，且与之距离为eq \f(1,250)个单位长度． $$专题训练二　用数形结合解决距离问题 2．[2024·咸阳期中]如图，点A，C在数轴上表示的数分别是 －3，1，点B在点C的右侧，且B，C两点间的距离为4. (1)点B表示的数为 ； (2)动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，P，Q两点相遇？ ②当点P表示的数为2时，求B，Q两点间的距离． 3．[2025·济宁期中]如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为 1 cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重 合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时， 它的右端在数轴上所对应的数为27.若将木棒沿数轴向左水平移 动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数 为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点A所表示的数是 ， 点B所表示的数是 ； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 解：(1)观察数轴可知三根木棒长为27－6＝21(cm)，则一根木棒的长为21÷3＝7(cm)． 答：这根木棒的长为7 cm； (2)13，20； (3)当奶奶像甲同学这样大时，甲同学为(－38)岁， 所以奶奶与甲同学的年龄差为[115－(－38)]÷3＝51(岁)， 所以奶奶现在的年龄为115－51＝64(岁)，甲同学的年龄为64－51＝13(岁)． 答：奶奶现在的年龄为64岁，甲同学的年龄为13岁. 1．阅读材料：经过有理数运算的学习，我们知道eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－3))可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－（－6）))可以表示5与－6之差的绝对值，也可以表示5与－6两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探究： (1)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4＋1))表示数轴上4与 所对应的两点之间的距离； (2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－5))表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离； (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))x－5))＝7.这样的整数有 个； (4)利用绝对值的几何意义，写出|x＋3|＋|x－2|的最小值． 解：(1)－1；(2)5，－2；(3)8； (4)由题意，得 当－3≤x≤2时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋3\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))x－2))有最小值，最小值为2－(－3)＝5. 解：(1)5； (2)由题意得点P表示的数为－3＋4t，点Q表示的数为1－t， AC＝4. ①当P，Q相遇时，－3＋4t＝1－t， 解得t＝eq \f(4,5)，故当t＝eq \f(4,5)时，P，Q两点相遇； ②当点P表示的数为2时，－3＋4t＝2，解得t＝eq \f(5,4)， 此时点Q表示的数为1－t＝1－eq \f(5,4)＝－eq \f(1,4)， 因为点B表示的数为5， 点B，Q两点间的距离为5－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝5eq \f(1,4)， 故当点P表示的数为2时，点B，Q两点间的距离为5eq \f(1,4). $$第2课时 有理数的乘法运算律 夯基础 1.2025·铁龄期中]算式-到×3可以化为 B.-2X3+号x3 0-2x3 D.-2×3-2 2.[2025嘉兴期末]老师设计了计算接力游戏，规则是每名同 学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果 传给下一个同学，最后解决问题.过程如下： 题目 甲 乙 (-5.1)×12 (-5-0.1)×12 (-5)×12-(-0.1)×12 丙 丁 -60+1.2 -58.8 其中步骤错误的是( A.甲 C.丙 丁 3.如图，观察它的计算过程可以解释的运算律是( A.加法交换律 3 B.乘法结合律 4 4 6 3 C.乘法交换律 乘法对加法的分配律 6 4 3 3 4. [2024·于洪区期中]对式子（一0×号+》X(- 25)进行简便运算， 如下计算过程中，②运用到的运算律是( 解：(-0×吉+引×(-2) +×(-×(-20 ×[(-4)×(-25]② +×10=X100+子X10图 =-20+75=55 乘法结合律 B.乘法交换律 C.乘法对加法的分配律 D.加法结合律 ○ 5.学习了有理数的运算律后，小红、小梅、小心和小愿四人利 用扑克牌玩起了“凑24”进阶版，规则如下：①黑花色代表负数； ②每人每次只能发一张；③最早算出结果的为赢家；④运用有理 数的加减和乘法运算.在一次游戏过程中出现了红桃6，方块5， 方块4及黑桃8四张牌，请根据牌面数字和颜色，写出一个正确算 式为(6-5一4)×（一8）.（写出一个算式即可） 6.用乘法运算律先将下列算式变形，再计算 (1)8×(-5.06)×1.25 ol 0 解：(1)(-5.06)×(8×1.25)，-50.6； 2-44 e-卧+号到品第二章综合测试卷 一、选择题(共10小题，共30分) 1．在－0.316 8中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是( ) A．1 B．3 C．6 D．8 2．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．路程最长、途经城市和国家最多的一趟专列全程长约13 000 km，将13 000用科学记数法表示应为( ) A．0.13×105 B．13×103 C．1.3×105 D．1.3×104 3．在(－1)2 024，(－1)2 025，－22，(－3)2四个数中，最大的数与最小的数的和等于( ) A．6 B．8 C．－5 D．5 4．有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子： ①a＞0＞b　②|b|＞|a|　③ab＜0　④a－b＞a＋b　⑤ ＜－1. 其中错误的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法： ①－a不一定是负数　②|m|＝2，则m＝2　③－a2＝(－a)2　 ④a3＋(－a)3＝0. 其中正确的共有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为( ) A．－2 B．1 C．3 D．7 7．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工 具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的 是＋21－32＝－11的计算过程，则图2表示的过程是在计算( ) A．(－13)＋(＋23)＝10 B．(－31)＋(＋32)＝1 C．(＋13)＋(＋23)＝36 D．(＋13)＋(－23)＝－10 8．若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为( ) A．－1 B．1 C．4 D．7 9．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16……根据上述算式中的规律，请你猜想2100的末尾数字是( ) A．2 B．4 C．8 D．6 10．定义一种新运算符号“Θ”，满足a Θ b＝|a－b|＋ab，则(－1) Θ (2 Θ 3)的值为( ) A．7 B．8 C．9 D．11 二、填空题(共6小题，共18分) 11．数－5.678用四舍五入法精确到0.01得到_______；近似数 2.40×104精确到___位． －5.68 百 < 13．某市十二月某天上午10时气温为5 ℃，过4小时后气温上 升了4 ℃，又过了3小时气温又下降了19 ℃，则此时的气温 是_____℃. 14．在数－5，1，－3，6，－2中任取两个数相加，和最大是__， 和最小是____． 15．若有理数a等于它的倒数，则a2 024＝__． －10 7 －8 1 (4)(－1)10×2＋(－2)3÷4 ＝1×2＋(－8)÷4 ＝2－2 ＝0. 19．(9分)(1)在如图1所示的数轴上分别表示出下列三个数： |1|，|－4|，＋(－2.5)． (2)有理数m，n在数轴上的对应点如图2所示． ①在数轴上分别表示出数－n和|m|. ②把m，n，－n，|m|这四个数从小到大用“＜”连接． 解：(1)如图所示： (2)①如图所示： ②把m，n，－n，|m|这四个数从小到大用“＜”连接为－n＜m＜|m|＜n. 20．(9分)【思考】定义一种新运算“※”，观察下面的算式， 你能发现什么规律吗？ 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ； 任何数同0进行“※”运算，都得 ； 3※5＝8， (－3)※(－5)＝8. (－3)※5＝－8， 3※(－5)＝－8. 3※0＝3， (－3)※0＝3. 【运用】 (2)计算：(－12)※(4※0)； (3)化简：(－7)※x. 解：(1)绝对值相加；这个数的绝对值； (2)(－12)※(4※0) ＝(－12)※4 ＝－16； (3)当x＞0时，(－7)※x＝－(7＋x)＝－7－x； 当x＝0时，(－7)※x＝7； 当x＜0时，(－7)※x＝7＋|x|＝7－x. 21．(9分)某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表(规定向南为正，向北为负，单位：km)： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 5 km 2 km －4 km －3 km 10 km (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向，距离公司多 少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3 km收费10元，超 过3 km的部分按每千米加2元收费，在这过程中该驾驶员共收到车 费多少元？ 解：(1)5＋2＋(－4)＋(－3)＋10＝10(千米)， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南方，距离公司10千米； (2)|5|＋|2|＋|－4|＋|－3|＋|10| ＝5＋2＋4＋3＋10 ＝24(千米)， 0．2×24＝4.8(升)， 答：在这过程中共耗油4.8升； (3)第1批客人收费为10＋2×(5－3)＝14(元)， 第2批客人收费为10元； 第3批客人收费为10＋2×(4－3)＝12(元)， 第4批客人收费为10元， 第5批客人收费为10＋2×(10－3)＝24(元)， 14＋10＋12＋10＋24＝70(元)， 答：在这过程中该驾驶员共收到车费70元． 22．(11分)如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x. (1)若点P为AB的中点，则x的值为 ； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 ； (3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数． (1)求出|x＋2|和|x－4|的零点值； (2)化简代数式|x＋2|＋|x－4|； (3)对于任意有理数x，|x＋2|＋|x－4|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 解：(1)令x＋2＝0和x－4＝0， 得x＝－2，x＝4， 所以－2与4分别为|x＋2|与|x－4|的零点值； (3)有， 由(2)可得对于任意有理数x，|x＋2|＋|x－4|有最小值，最小值为6. eq \f(a,b) 12．[2025·烟台期中]小明与小刚分别用教材上的科学计算器进行计算： 小明的按键顺序： eq \x(（) eq \x(－) eq \x(3) eq \x(）) eq \x(×) eq \x(（) eq \x(（－）) eq \x(1) eq \x(ab/c) eq \x(2) eq \x(）) eq \x(x2) eq \x(＝) 小刚的按键顺序： eq \x(2) eq \x(÷) eq \x(（) eq \x(5) eq \x(－) eq \x(2) eq \x(yx) eq \x(3) eq \x(）) eq \x(＝) 则小明的计算结果 小刚的计算结果．(用“<”或“>”连接) 16．观察下列有理数：－eq \f(1,2)，－eq \f(1,5)，eq \f(3,10)，－eq \f(5,17)，eq \f(7,26)，－eq \f(9,37)……按此规 律，第n个有理数是 ．(n为正整数) (－1)n＋1·eq \f(2n－3,n2＋1) 三、解答题(共7小题，共72分) 17．(10分)把下列各数填在相应的数集内： 1，－eq \f(3,5)，＋3.2，0，eq \f(1,3)，－6.5，＋108，－4，－6，20%， (1)正整数集合{ ……}； (2)整数集合{ ……}； (3)正分数集合{ ……}； (4)负分数集合{ ……}； (5)非负数集合{ ……}． 解：(1)正整数集合{1，＋108，……}； (2)整数集合{1，0，＋108，－4，－6，……}； (3)正分数集合{＋3.2，eq \f(1,3)，20%，……}； (4)负分数集合{－eq \f(3,5)，－6.5，……}； (5)非负数集合{1，＋3.2，0，eq \f(1,3)，＋108，20%，……}． 18．(12分)计算：(1)－4÷eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))×(－30); (2)－22＋|5－8|＋24÷(－3)×eq \f(1,3)； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)＋\f(3,4)))×(－48); (4)(－1)10×2＋(－2)3÷4. 解：(1)－4÷eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))×(－30)＝－6－20＝－26； (2)－22＋|5－8|＋24÷(－3)×eq \f(1,3) ＝－4＋3＋24÷(－3)×eq \f(1,3) ＝－4＋3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3))) ＝－eq \f(11,3)； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)＋\f(3,4)))×(－48) ＝1×(－48)－eq \f(1,6)×(－48)＋eq \f(3,4)×(－48) ＝－48＋8－36 ＝－76； 解：(1)1；　(2)5； (3)设运动时间为t秒，则运动后点A表示：－1＋2t，点B表示：3＋0.5t，点P表示：x＝1－6t， 因为点A，B之间的距离为3个单位长度， 所以(3＋0.5t)－(－1＋2t)＝±3，解得t＝eq \f(2,3)或eq \f(14,3)， 所以x＝1－6×eq \f(2,3)＝－3或x＝1－6×eq \f(14,3)＝－27. 答：点P表示的数是－3或－27. 23．(12分)阅读下列材料： 我们知道eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x＋1|＋|x－2|时可令x＋1＝0和x－2＝0，分别求得x＝－1，x＝2(称－1与2分别为|x＋1|与|x－2|的零点值)．在有理数范围内，零点值x＝－1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①当x<－1时，原式＝－(x＋1)－(x－2)＝－2x＋1； ②当－1≤x<2时，原式＝x＋1－(x－2)＝3； ③当x≥2时，原式＝x＋1＋x－2＝2x－1； 综上所述，原式＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋1（x<－1），,3（－1≤x<2），,2x－1（x≥2）.)) 通过以上阅读，请你解决以下问题： (2)当x<－2时，原式＝－(x＋2)－(x－4)＝－2x＋2； 当－2≤x<4时，原式＝x＋2－(x－4)＝6； 当x≥4时，原式＝x＋2＋x－4＝2x－2. 故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋2（x<－2），,6（－2≤x<4），,2x－2（x≥4）；)) $$第二章　章末能力突破 解：正数集合：{②③⑥}； 负整数集合：{①⑧}； 整数集合：{①④⑥⑧}； 负分数集合：{⑤⑦}． 考点二 数轴，相反数，倒数，绝对值 4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上分别用A，B两点表示－a，－b； (2)若数b与－b表示的点相距20个单位长度，则b与－b表示的数分别是什么？ (3)在(2)的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与－a表示的数是多少？ 解：(1)如图： (2)数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为20÷2＝10， 所以b表示的数是－10，－b表示的数是10； (3)因为－b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为10－5＝5， 所以a表示的数是5，－a表示的数是－5. 考点三 有理数的大小比较 6．[2024·义乌期中]回答下列问题： (1)过A，B两点画一条数轴，使点A表示3，点B表示－2； (2)在所画的数轴上将4，|－1|表示在数轴上，并将4，|－1|，3，－2这四个数用“＜”连接起来． 解：(1)如图1， (2)在数轴上表示各数如图2： 所以－2＜|－1|＜3＜4. 考点四 有理数的运算及应用 8．[2024·上城区期末]用“☆”定义新运算：对于任意有理 数a，b，都有a☆b＝a2－b2.例如：7☆4＝72－42＝33，那么 5☆(－3)＝___；－1☆(2☆3)＝_____． 9．[2024·嵊州期末]按下面的程序计算，若开始输入的值x为正 数，最后输出的结果为26，请写出符合条件的所有x的值为_____． 16 －24 2或8 11．[2024·南明区期末]小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七 年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180 个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，如表是他测 试六次的成绩： (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩(个) －6 －2 0 ＋4 ＋10 ＋12 解：(1)12－(－6)＝12＋6 ＝18(个)， 即在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高18个； (2)180＋(－6－2＋0＋4＋10＋12)÷6 ＝180＋18÷6 ＝180＋3 ＝183(个)， 即他这六次跳绳测试的平均成绩是183个． 12．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽 取四张，根据牌面上的数字进行混合运算(每一张牌必须用一次且只 能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或－24，其中红色扑克 牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J，Q，K，A分别代表11，12，13， 1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑 成了：3×{10－[－4－(－6)]}＝24.(提示：数2，数3可列为23＝8或 32＝9) (1)如果抽到的是红桃2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？ (2)如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？ 解：(1)－2×(－3－3－6)＝24； (2)[1－(－2)]×23＝24. 考点五 科学记数法及近似数 13．[2024·拱墅区期末]2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了( ) A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 14．[2024·瑶海区期末]合肥2024上半年GDP达6 100亿元，同比增长5.5%.其中6 100亿用科学记数法表示为( ) A．61×1010 B．6.1×1010 C．6.1×1011 D．6.1×1012 考点六 综合实践 15．[2024·宝安区期中]小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 人数 －10 －5 －12 ＋3 ＋10 ＋19 ＋30 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 人； (2)若这些人中有60%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面师傅拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，求一碗拉面有多少根？ (4)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用1 kg面粉拉出了约100万根面条，请问这个师傅拉出约100万根面条大概需要拉 次．(已知220＝1 048 576) 解：(1)42； (2)这一周的人流量为100－10＋100－5＋100－12＋100＋3＋100＋10＋100＋19＋100＋30＝735(人)， 所以平均每天的销售额为735×60%×14÷7＝882(元)； (3)拉伸1次，得到的面条数为1×2＝2(根)， 拉伸2次，得到的面条数为1×2×2＝22＝4(根)， 拉伸3次，得到的面条数为1×2×2×2＝23＝8(根)，…， 以此类推，拉伸8次，得到的面条数为28＝256(根)， 所以一碗拉面有256根； (4)20. 解：(1)5；2或－4； (2)8；2； (3)12； (4)1； (5)当25≤x≤26时， |x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋…＋|x－50| ＝x－1＋x－2＋x－3＋…x－25＋26－x＋27－x＋…＋50－x ＝－1－2－3－…－25＋26＋27＋28＋…＋50 ＝(26－1)＋(27－2)＋(28－3)＋…＋(50－25) ＝25×25 ＝625， 故答案为：625. 考点一 有理数的概念及分类 1．在－1，－eq \f(4,3)，0，eq \f(3,4)，2，3，4中，非负整数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．[2024·青白江区期中]把下列各数填在相应的大括号里(填序号)． ①－8　②0.275　③eq \f(22,7)　④0　⑤－1.04　⑥－(－10)　⑦－eq \f(1,3)　 ⑧－(－2)2 正数集合：{ ……}； 负整数集合：{ ……}； 整数集合：{ ……}； 负分数集合：{ ……}． 3.[新定义][2024·榕江县期中]观察下列两个等式：2－eq \f(1,3)＝2×eq \f(1,3)＋1，5－eq \f(2,3)＝5×eq \f(2,3)＋1.给出如下定义：我们称使等式a－b＝ab＋1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为(a，b)，如数对eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))都是“共生有理数对”． (1)判断数对eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若(m，－n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mn≠－\f(1,2)))是“共生有理数对”，则(2n，－2m)是“共生有理数对”吗？请说明理由． 解：(1)是．理由如下： 因为3－eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，3×eq \f(1,2)＋1＝eq \f(5,2)， 所以3－eq \f(1,2)＝3×eq \f(1,2)＋1， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))是“共生有理数对”； (2)不是，理由如下： 因为(m，－n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mn≠－\f(1,2)))是“共生有理数对”， 所以m－(－n)＝－mn＋1，即m＋n＝－mn＋1， 因为2n－(－2m)＝2n＋2m＝2(m＋n)，2n×(－2m)＋1＝－4mn＋1， 所以2(m＋n)＝2(－mn＋1)＝－2mn＋2， 因为mn≠－eq \f(1,2)，所以－2mn＋2≠－4mn＋1， 所以(2n，－2m)不是“共生有理数对”． 5．[2024·玉林期中]已知a，b互为相反数(a≠b)，c的倒数是－5，d是最小的正整数． (1)填空：eq \f(a,b)＝ ； (2)求a＋b－c－d的值． 解：(1)－1； (2)因为a，b互为相反数(a≠b)，c的倒数是－5，d是最小的正整数， 所以a＋b＝0，c＝－eq \f(1,5)，d＝1， 所以a＋b－c－d＝0＋eq \f(1,5)－1＝－eq \f(4,5). 7．[2024·桓台县期中]把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按照从小到大的顺序用“＜”连接起来． －2，|－4|，－(－1.5)，－3eq \f(1,3)，0 解：各数在数轴上表示如图所示： 从小到大排列为－3eq \f(1,3)＜－2＜0＜－(－1.5)＜|－4|. 10．[2024·沙坡头区期末]计算： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－1\f(3,4)－\f(5,8)))×(－24)； (2)eq \f(1,7)×|2－(－3)2|＋[23－3×(－22)]÷(－5)． 解：(1)原式＝eq \f(2,3)×(－24)－eq \f(7,4)×(－24)－eq \f(5,8)×(－24) ＝(－16)－(－42)－(－15) ＝－16＋42＋15 ＝－16＋57 ＝41； (2)原式＝eq \f(1,7)×|2－9|＋[8－3×(－4)]×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))) ＝eq \f(1,7)×|－7|＋[8－(－12)]×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))) ＝eq \f(1,7)×7＋(8＋12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))) ＝eq \f(1,7)×7＋20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝1－4＝－3. 易错点 对于数形结合理解有误造成错误 16．[2025·湛江期中]【阅读】 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－2))表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5＋2))可以看作eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－（－2）))，表示5与－2的差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： (1)数轴上表示－3和2两点之间的距离是 ．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m－n)).如果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a的值为 ； (2)若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－3))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b＋2))＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－5))＝7，这些点表示的数的和是 ； 【应用】 (4)小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))的最小值是 ； 【拓展】 (5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－3))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4))＋…＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－50))的最小值是 ． $$2.3　绝对值与相反数 2．[2024·宁乡期末]若一个数的绝对值是2，则这个数是( ) A．2 B．－2 C．±2 D．0 3．[2025·鞍山期中]如图，数轴上有三个点A，B，C，且B，C表示的数互为相反数，若每个单位长度表示1，则点A表示的数为( ) A．不能确定 B．－5 C．4 D．0 4．[2024·东坡区期中]|x－3|＋|y－2|＝0成立的条件是( ) A．x＝3 B．y＝2 C．x＝3且y＝2 D．x＝3或y＝2 6．[2024·兰山区期中]已知a，b为有理数，且a＞0，b＜0， a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小顺序是( ) A．b＜－a＜a＜－b B．－a＜a＜－b＜b C．－a＜b＜a＜－b D．－b＜a＜－a＜b 7．[2024·武冈期中]已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是( ) A．－b＜a＜－1 B．1＜－a＜b C．1＜|a|＜b D．|a|＜1＜|b| ＜ ＞ ＜ －8 10．[2025·赣州期中]当x＝__时，2 024－|x－2|的值最大． 11．[2024·天山区期末]若(m－3n)的相反数是－7，则5＋m－3n 的值为___． 2 12 12．[2024·徐州期末]一个点从数轴原点开始，先向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，如图所示，由图可以看出，到达的终点是表示5的点． 一个点从数轴上的原点开始按下列方式移动： ①向左移动2个单位长度，再向左移动4个单位长度； ②向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度； ③向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度； 将上述①②③中移动到达终点表示的数，用“＜”连接起 来____________． －6＜－1＜3 (2)回答问题： ①当＋5的前面有2 024个负号时，化简后的结果是 ； ②当＋5的前面有2 025个负号时，化简后的结果是 ； ③由①②你能总结出什么规律？ 解：(1)①2；②－ ；③－4；④3.5；⑤5； (2)①5；②－5； ③总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它 的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于 它本身. 15．[2025·淄博期中]某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果记录如下(已知零件的标准直径为10 mm，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数)： 1号零件：＋0.1 mm；2号零件：－0.15 mm； 3号零件：－0.2 mm；4号零件：＋0.25 mm； 5号零件：－0.05 mm. 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在0.18 mm之内为正品，误差在0.18～0.22 mm 之间为次品，误差超过0.22 mm为废品，那么这5个零件，哪件是正 品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 16．[2024·柘城县期中]如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是－3. (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ； 解：(1)4； 原点如图所示； (2)2或6； 1．[2024·安阳期末]a的相反数是2 025，则a的值为( ) A．2 025 B．－2 025 C.eq \f(1,2 025) D．－eq \f(1,2 025) 5．[2024·浏阳期末]把－(－1)，－eq \f(2,3)，－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))，0，用“＞”连接正确的是( ) A．0＞－(－1)＞－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＞－eq \f(2,3) B．0＞－(－1)＞－eq \f(2,3)＞－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5))) C．－(－1)＞0＞－eq \f(2,3)＞－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5))) D．－(－1)＞0＞－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＞－eq \f(2,3) 8．[2024·方城县期末]比较大小：－eq \f(3,4) －eq \f(2,3)；－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7))) －eq \f(3,8)； eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1\f(3,4))) －(－1.8)(填“＞”“＜”或“＝”)． 9．[2025·菏泽期中]如果m是负数，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))＝8，那么m＝ ． 13．[2024·番禺区期末]在数轴上表示所给各数|－3|，0，－2.5，－(－2)，－1，eq \f(3,2)，并按从小到大的顺序排列． 解：在数轴上表示如图， 按从小到大的顺序排列为－2.5＜－1＜0＜eq \f(3,2)＜－(－2)＜|－3|. 14．(1)化简下列各式的符号： ①－(－2)＝ ； ②＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝ ； ③－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))))＝ ； ④－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3.5))))＝ ； ⑤－eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－（－5）))))＝ ； eq \f(1,5) 解：(1)因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－0.05))<eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋0.1))<eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－0.15))<eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－0.2))<eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋0.25))， 所以5号零件的大小最符合标准； (2)因为|＋0.1|＝0.1<0.18，|－0.15|＝0.15<0.18， |－0.05|＝0.05<0.18，所以第1，2，5号是正品； 因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－0.2))＝0.20，0.18<0.2<0.22，所以3号是次品， 因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋0.25))＝0.25>0.22，所以4号为废品． (3)在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2．5，－4，5eq \f(1,2)，－2eq \f(1,2)，|－1.5|，－(＋1.6) (3)|－1.5|＝1.5，－(＋1.6)＝－1.6， 在数轴上表示，如图所示： 所以－4＜－2eq \f(1,2)＜－(＋1.6)＜|－1.5|＜2.5＜5eq \f(1,2). $$3　有理数的加减运算 3．1　有理数的加法 第1课时　有理数的加法法则 2．[2024·惠东县期末]小邱同学做这样一道题“计算|(－6)＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“■”表示的数是( ) A．9 B．9或－21 C．－21 D．－9或21 3．[2025·昭通期末]对2＋(－3)＝－1用生活实例解释其意义正确的是( ) A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长 度，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意，1月赚了2万元，2月亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．某天早上的气温是零上2 ℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3 ℃， 现在的气温是零上1 ℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3 m3水，接着他又往水池注入2 m3水， 现在水池里的水比原来多了1 m3 4．[2024·东坡区期中]如图，将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则a－b＋c的值为( ) A．0 B．－4 C．－5 D．5 5．[2024·海安期末]若四个有理数之和是10，其中三个数分别 是4，3，－5，则第四个数是__． 6．[2024·双城区期末]若|a|＝1，|b|＝4，且a＋b的值为负数， 则a＋b的值为_________． 8 －3或－5 －2 8．[2024·永昌县期中]绝对值不大于2的所有整数和是__． 9．[2025·唐山期末]中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家 刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的计数工 具)正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法， 图1表示的是＋1和－2，图2表示的两数之和是____． 0 －2 11．[2025·泉州期末]如图所示，是北京市地铁1号线的部分线路图． 小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动，从“西单站”入站，服 务活动结束后从A站出站．若规定向东为正，向西为负，则小王当志愿 者过程中乘车的站数，按先后顺序依次记录如下(单位：站)：＋5， ＋3，－12，＋5，＋10，－3，－9.请通过计算说明A站为哪一站． 解：＋5＋(＋3)＋(－12)＋(＋5)＋(＋10)＋(－3)＋(－9)＝－1， 因为向东为正，向西为负， 所以－1所在的位置是复兴门站， 答：A站是复兴门站． 12．[2025·商丘期末]扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为A→B(＋1，＋3)，从点B到点A记为B→A(－1，－3)，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为D→C ； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为(＋2，＋2)，(＋2，＋3)，(＋1，－2)，(－2，0)，(－1，－1)，请借助加法运算，在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在(2)的条件下，若每小格的边长表示1米， 则扫地机器人在此次运动过程中共走了 ． 解：(1)(＋2，－3)； (2)左右方向：2＋2＋1＋(－2)＋(－1)＝2， 上下方向：2＋3＋(－2)＋0＋(－1)＝2， 即点E与点A的相对位置是右移2，上移2， 点E即为所求作； (3)16米． 1．[2025·青岛期中]有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( ) A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))<eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) B．a＋c>0 C．a＋b>0 D．b＋c>0 7．[2025·泰安期中]用eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超过x的整数中的最大整数，如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2.23))＝2，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3.24))＝－4，则计算eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3.3))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4.8))的值为 ． 10．计算： (1)(－3)＋(－7)； (2)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋5\f(1,6)))； (3)(－17)＋(＋49)； (4)(－3.2)＋(－5.6)＋(＋3.2)＋4.6. 解：(1)原式＝－10； (2)原式＝5eq \f(1,6)； (3)原式＝49－17＝32； (4)原式＝(－3.2)＋(＋3.2)＋(－5.6)＋4.6＝0＋(－1)＝－1. $$3.3　有理数的加减混合运算 1．[2024·海伦期末]阳光明媚的清晨，蜗牛从树根沿着树干笔直往上爬3 m，又下滑1 m，这样一共反复两次，则该蜗牛此时距离树根( ) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m 2．[2024·安州区期末]某人用400元购进了8套儿童服装准备出售．如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，售价记录如下：＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，0，－3(单位：元)，当他卖完这八套儿童服装后( ) A．亏损了4元 B．亏损了32元 C．盈利了36元 D．盈利了51元 3．[2024·桥西区一模]式子－2－1＋6－9有下面两种读法： 读法一：负2，负1，正6与负9的和； 读法二：负2减1加6减9. 则关于这两种读法，下列说法正确的是( ) A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 4．[2024·长泰区期中]把12＋(－9)－(－1)－(＋3)写成省略括号的和的形式为( ) A．12－9－1－3 B．12＋9－1＋3 C．12－9＋1－3 D．12－9＋1＋3 7 6．[2024·浑南区期末]利用直观分析策略解决问题：一次测试 共有两道题，全班有45名学生参加测试，答对第一题的有36人， 答对第二题的有24人，两道题都答对的有18人，那么两道题都答 错的人数为____． 3人 －10 8．[2024·沙河口区期末]七名同学为了测量一栋高楼的实际高 度，需要在若干个观测点，测量两个相邻可视观测点的相对高度． 如A－C为9米表示观测点A比观测点C高9米，然后用这些相对高度 计算出楼的高度．表格是某次测量数据的部分记录，根据这次测 量的数据，可得A－B是_____米． A－C C－D E－D F－E G－F B－G 9米 7.5米 －5米 4米 －7米 6米 18.5 9.一跳蚤在一条数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度， 紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第 4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第80次落下 时，落到数轴上的点表示的数为_____． －40 王林发现自己的答案和其他同学的不一样． (1)请指出他从第 步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 12．[2024·金水区期末]最近几年时间，全球的新能源汽车发 展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加． 小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶 的路程(如表)．以50千米为标准，多于50千米的记为“＋”，不 足50千米的记为“－”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程(千米) －8 －12 －16 0 ＋22 ＋31 ＋33 (1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？ (2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶100千米需用汽油7升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量为20度，每度电为0.8元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 解：(1)路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，由题意得 33－(－16)＝33＋16＝49(千米)， 答：路程最多的一天比最少的一天多行驶49千米； (2)－8－12－16＋0＋22＋31＋33＝－36＋86＝50(千米)，50×7＋50＝350＋50＝400(千米)， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米； (3)汽油车的行驶费用为400÷100×7×8＝4×7×8＝224(元)， 新能源汽车的行驶费用为400÷100×20×0.8＝4×20×0.8＝ 64(元)，224－64＝160(元)， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省160元． 13．幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方 中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x－ y的值为____. x －4 2 7 8 y －2 解：(1)因为－2＋(－1)＝－3，2×[－2－(－1)]＋1＝－1， 所以－2＋(－1)≠2×(－2＋1)＋1， 所以数对(－2，－1)不是“携手有理数对”； 故答案为：不是； 5．[2024·闵行区期末]7＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,7)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))＝ ． 7．[2024·绥化期中]1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)－eq \f(1,8)－eq \f(1,16)－eq \f(1,32)＝ ；1－3＋5－7 ＋9－11＋13－15＋17－19＝ ． eq \f(1,32) 10．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋2\f(3,4)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2))). 王林的做法如下： 解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,2)))＋3eq \f(1,4)＋2eq \f(3,4)－eq \f(1,2)(第一步) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,2)))－eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(1,4)＋2\f(3,4)))(第二步) ＝－5＋6(第三步) ＝1(第四步) 解：(1)三； (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,2)))＋3eq \f(1,4)＋2eq \f(3,4)－eq \f(1,2) ＝－5eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(1,4)＋2\f(3,4)))＝－6＋6＝0. 11．计算： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(5,6)))＋(－0.5)＋eq \f(4,5)＋3eq \f(1,6)； (2)(－8)－(－15)＋(－9)－(－12)； (3)15－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋5\f(5,6)))－eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(3,7)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,6)))＋)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋6\f(4,7))))). 解：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(5,6)))＋(－0.5)＋eq \f(4,5)＋3eq \f(1,6) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)－0.5))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(5,6)＋3\f(1,6)))＋eq \f(4,5) ＝－4＋4＋eq \f(4,5) ＝eq \f(4,5)； (2)(－8)－(－15)＋(－9)－(－12) ＝－8＋15－9＋12＝10； (3)15－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋5\f(5,6)))－eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(3,7)))－)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(（－2\f(1,6)）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋6\f(4,7))))) ＝15－5eq \f(5,6)－3eq \f(3,7)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,6)))－6eq \f(4,7) ＝15－5eq \f(5,6)－2eq \f(1,6)－3eq \f(3,7)－6eq \f(4,7) ＝15－8－10＝－3. 14.[新定义]观察下列两个等式2＋1＝2×(2－1)＋1，3＋eq \f(4,3)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3)))＋1.给出定义：称使等式a＋b＝2(a－b)＋1成立的一对有理数a，b为“携手有理数对”，记为(a，b)．如数对(2，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(4,3)))都是“携手有理数对”． (1)判断：数对(－2，－1) “携手有理数对”(填“是”或“不是”)； (2)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，m))是“携手有理数对”，那么m的值为多少？ (3)若(a，b)，(b，a)都是“携手有理数对”，求a＋b的值． (2)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)， m))是“携手有理数对”， 所以eq \f(1,5)＋m＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－m))＋1，解得m＝eq \f(2,5)； (3)因为(a，b)，(b，a)都是“携手有理数对”， 所以a＋b＝2(a－b)＋1，b＋a＝2(b－a)＋1， 两式相加得2(a＋b)＝2， 解得a＋b＝1. $$6　有理数的混合运算 1．[2024·新华区期末]下列计算结果为正数的是( ) A．(－2)－(－3) B．(－2)÷3 C．3×(－2) D．(－2)＋(－3) 5．[2024·海伦期末]定义一种新运算：a※b＝b2－ab，则2※(－1)的结果是( ) A．6 B．4 C．3 D．1 2 1.5 8．[2025·佛山期中]24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌(去掉大王、小王后剩下52张)中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24.每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13. (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式： ， ； (2)在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式： ． (4)52－|32÷(－2)3|－(－4)2×5 ＝25－4－16×5 ＝25－4－80 ＝－59. 11．现定义新运算“※”，对任意有理数a，b，规定a※b＝ab－ab，例如2※3＝23－2×3＝2，求： (1)－1※2 024； (2)(3※2)※5. 解：(1)－1※2 024＝(－1)2 024－(－1)×2 024＝1＋2 024 ＝2 025； (2)(3※2)※5＝(32－3×2)※5＝3※5＝35－3×5＝228. 12．[2024·九龙坡区期末]进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，M(M≠10)进制就是逢M进一．为与十进制进行区分，我们常把用M进制表示的数a写成(a)M.M进制的数转化为十进制的数的方法是：若M进制表示的数为(1 111)M，则转换为十进制数的过程为(1 111)M＝1×M3＋1×M2＋1×M1＋1×M0(规定当M≠0时，M0＝1)． 根据你所学知识与阅读材料，解答以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：(1 011)2＝ ，(1 024)5＝ ； (2)已知二进制数s＝(1 110)2＋(1 011)2，请计算并写出s的值(要求写成二进制表示的数)； (3)请把(11 001)2转换成十二进制的数． 解：(1)(1 011)2＝1×23＋0×22＋1×2＋1×20＝11， (1 024)5＝1×53＋0×52＋2×5＋4×50＝139， 故答案为：11，139； (2)s＝(1 110)2＋(1 011)2 ＝1×23＋1×22＋1×2＋1×23＋1×2＋1×20 ＝8＋4＋2＋8＋2＋1 ＝25 ＝(11 001)2； (3)(11 001)2 ＝1×24＋1×23＋1×20 ＝25 ＝(21)12. 2．[2024·番禺区期末]下列各式中，计算正确的是( ) A．(－4)×(－2)＝－2×4＝－8 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))×12＝eq \f(1,2)×12－eq \f(1,3)×12＝2 C.eq \f(1,2)÷(－2)＝eq \f(1,2)×2＝1 D．3＋eq \f(1,4)÷eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)×4×3＝4 3．[2024·綦江区期末]已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋2 024的值是( ) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 4．[2024·新城区期末]如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数a为1，则输出的结果是( ) A．－eq \f(27,8) B．eq \f(27,8) C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2) 6．[2024·开州期末]已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，c是绝对值最小的负整数，则mn＋a＋b－c的值等于 ． 7．[2024·普陀区期末]定义a*b＝eq \f(a＋b,ab)，则2*(2*2)＝ ． 解：(1)(－4)×(－6)×(3－2)，(－4×2)×(－6＋3)(答案不唯一)； (2)7×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－（－3÷7）))(答案不唯一)． 9．[2024·肥西县期末]计算： (1)(－7)×5－(－36)÷4； (2)－14－(1－0.4)×eq \f(1,3)×(2－32)； (3)eq \f(5,7)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(2,5)))－eq \f(5,7)×eq \f(5,12)－eq \f(5,3)÷4； (4)52－|32÷(－2)3|－(－4)2×5. 解：(1)(－7)×5－(－36)÷4 ＝－35－(－9)＝－35＋9＝－26； (2)－14－(1－0.4)×eq \f(1,3)×(2－32) ＝－1－0.6×eq \f(1,3)×(2－9)＝－1－0.2×(－7) ＝－1＋1.4＝0.4； (3)eq \f(5,7)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(2,5)))－eq \f(5,7)×eq \f(5,12)－eq \f(5,3)÷4 ＝－eq \f(25,84)－eq \f(25,84)－eq \f(5,12) ＝－eq \f(85,84)； 10．[2024·郑州期末]学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： －32÷(－9)－eq \f(4,7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＋\f(7,2))) ＝9÷(－9)－eq \f(4,7)×eq \f(5,4)＋eq \f(4,7)×eq \f(7,2)①. (1)指出第①步的算式中小明同学所有运算错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 解：(1)计算－32时符号算错，应用乘法分配律去括号时符号出错； (2)原式＝－9÷(－9)－eq \f(4,7)×eq \f(5,4)－eq \f(4,7)×eq \f(7,2) ＝1－eq \f(5,7)－2 ＝－1eq \f(5,7). $$5.2　科学记数法 1．[2024·南通期末]2024年国庆假期，综合省、市智慧文旅 平台监测，南通市接待游客总量约6 530 000人次．将数据 6 530 000用科学记数法表示为( ) A．65.3×104 B．6.53×105 C．6.53×106 D．0.653×107 2．一个整数310…0用科学记数法表示为3.1×108，则原数中“0”的个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 3．[2023·邵阳期末]用科学记数法表示的数8.07×108的原数为( ) A．80 700 000 000 B．8 070 000 000 C．807 000 000 D．80 700 000 4．[2024·金平区一模]2023年我国国内生产总值约1.26×106亿 元，用科学记数法表示的数1.26×106亿元的原数约为__________ 亿元． 5．[2024·松北区期末]长征十一号运载火箭成功完成了“一箭 七星”海上发射技术试验，该火箭重58 000 kg，将数58 000用 科学记数法表示为________． 1 260 000 5.8×104 6．用科学记数法表示下列各数： (1)18 000 000; (2)78 000； (3)39亿； (4)189.9×105. 解：(1)18 000 000＝1.8×107； (2)78 000＝7.8×104； (3)39亿＝39×108＝3.9×109； (4)189.9×105＝1.899×107. 7．[2024·铁岭县期中]一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？(用科学记数法表示) (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖多少钱？(用科学记数法表示) (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 解：(1)10÷500＝0.02(克)， 答：一粒大米重约0.02克； (2)0.02×1×3×365×1 400 000 000÷1 000＝30 660 000(千克) ＝3.066×107(千克)， 答：一年大约能节约大米3.066×107千克； (3)2×3.066×107＝6.132×107(元)， 答：可卖6.132×107元； (4)6.132×107÷500＝122 640(名)， 答：可供122 640名失学儿童上一年学． 8．据生物学统计，一个健康的成年女子体内的血量一般不低于4×103毫升，每毫升血中红细胞的数量约为4.2×106个，那么一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于多少个？(结果用科学记数法表示) 解：4×103×4.2×106 ＝4×4.2×103×106 ＝16.8×109 ＝1.68×1010. 答：一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于1.68×1010个． 9．[2023·天台县一模]513的含义是5×102＋1×10＋3，4 251 的含义是4×103＋2×102＋5×10＋1.设abc是一个三位数． (1)342可写成 ；abc可写成 ； (2)若a＋b＋c能被3整除，试说明abc这个数能被3整除． 解：(1)3×102＋4×10＋2，a×102＋b×10＋c； (2)abc＝100a＋10b＋c＝(99a＋9b)＋(a＋b＋c)， 因为99a＋9b能被3整除，a＋b＋c能被3整除， 所以abc能被3整除． $$8　用计算器进行计算 1．[2024·临淄区期中]若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图： 则输出的结果应为( ) A．－14 B．－6.5 C．1.5 D．－4.5 5．[2024·桓台县一模]使用课本上的科学计算器，进行如下按 键： 按键结束后输出的结果为_____． －45 6．[2023·莱州期中]用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如 图，则计算器最后显示的结果是____． 7．用计算器求下列各式的值： (1)(－4.57)×(－2.18)； (2)(－8.73)÷7.5； (3)(－3.54)4； (4)24×(3.17－1.25)2＋35.43. 解：(1)9.962 6； (2)－1.164； (3)157.040 998 56； (4)94.412 4. 8．(1)用计算器探究： ①10 101×11＝ ； ②10 101×22＝ ； ③10 101×33＝ ； ④10 101×44＝ ； 写出你发现的规律； (2)根据你发现的规律，不用计算器直接写出下列各式的结果： ①10 101×88； ②10 101×99. 解：(1)①111 111；②222 222；③333 333； ④444 444； 规律：10 101×aa＝aaaaaa，其中aa表示十位数字与个位数字相同的两位数，aaaaaa表示各位数字相同的六位数； (2)①10 101×88＝888 888； ②10 101×99＝999 999. 2．[2023·龙口期末]用计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是( ) A．按键顺序为 B．按键顺序为显示结果为1 C．按键顺序为显示结果为16 D．按键顺序为显示结果为－1 3．[2024·利津县一模]用计算器计算，按键顺序是eq \x(2) eq \x(yx) eq \x(3) eq \x(＝)，显示的结果是( ) A.eq \f(2,3) B．6 C．8 D．9 4．若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，表示的计算式正确的是( ) A．－42－eq \f(5,6) B．(－4)2－eq \f(5,6) C．－42－eq \f(6,5) D．(－4)2－5×6 －eq \f(1,4) $$4.2有理数的除法 夯基础 1.[2025·泰安期中]与10÷（一5)结果相同的是() A0(-5) B.10×(-5) yox副 D10-(周副 2.[2024吐鲁番期末]如图，下列结论不正确的是（) -1 Aa+b>0 B.a-b<0 C.ab<0 D.a÷b<0 3.[204·澄迈县期门计算：1片（一8）×}的结果是(） A.1 C.-1 D. 9 4.[2024·汾阳期中]下列计算中，正确的是() A.3÷3-1 c(音 D.-2÷(-8)÷(-16)=1 5.若a+b<0,>0,则有() A.a>0,b>0 B.a,b异号，且正数的绝对值较大 Ca<0,b<0 D.a,b异号，且负数的绝对值较大 6.[2024·杨浦区期末]小海在计算(-16)÷a时，误将“÷” 看成了“+”，所得结果是一12，那么（一16）÷a的正确结果应 是 7.[2024·市中区期末]下列结论：①若a为有理数，则川a>0 ②若引a+b=0,则a-b=0®若a-b=0,则2-1④若abc <0,则日+台+后--2其中正确的结论有 2 (填序号). 8.[2025·果洛期末]小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新 a÷bb>0, 定义”问题：定义运算☆为：一3a☆b=仁a÷bb<0, 则1☆(-2) 的值为 6 9.计算： (1)0÷(-1000); ②(-20÷哥 o3-动 (4)(-17000)÷(-16)÷25÷(-25). 解：(1)原式=0； (2)原式= 58 2×5-4: (3)原式=3x -》2=-2:第二章　有理数及其运算 1　从小学算术说起 1．[2024·江北区期末]如果温度上升3 ℃记作＋3 ℃，那么温度下降5 ℃记作( ) A．＋5 ℃ B．＋8 ℃ C．－5 ℃ D．－2 ℃ 2．工程师要画一个微型零件的图纸，下列比例尺中最合适的是( ) A．1∶3 000 B．1∶2 000 000 C．500∶1 D．1∶20 4．一件篮球打九折出售后，售价为72元，原价为___元． 5．把边长是3厘米的正方形按4∶1扩大后，扩大前后图形之间的 面积比是______． 6．一个圆柱体和一个圆锥体体积相同，底面积也相同，如果圆 柱的高是12厘米，圆锥的高是___厘米，如果圆锥的高是12厘米， 圆柱的高是__厘米． 80 1∶16 36 4 7．李叔叔写了一部长篇小说，超出800元的部分，按14%缴纳了 532元个人所得税，李叔叔这次的稿费税前合计为______元． 4 600 10．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉 尼、纽约和北京时间，根据表格给出的伦敦、悉尼、纽约与北京的 时差(“＋”表示同一时刻比北京早的时间，“－”表示同一时刻比 北京晚的时间)，表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别 是_________． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 －8 ＋2 －13 ①④②③ 11.[2025·吉林期中]体育课上，老师对七年级(8)班的女生进行了仰卧起坐测试，做36个及以上为达标，超过36个用正数表示，不足36个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位：个)：－2，3，4，－7，2，3，－5，0. (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐； (2)第一组学生的达标率是 %； (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 解：(1)36；(2)62.5； (3)8×36＋3＋4＋2＋3－2－7－5＝286(个)， 所以第一组 8 名学生共做了286个仰卧起坐. 3．黄豆中的蛋白质、脂肪、碳水化合物分别约占总量的eq \f(9,25)，18%，eq \f(1,4)，其中含量最高的是( ) A．蛋白质　　　 B．脂肪　　 C．碳水化合物　　 D．无法确定 8．计算： (1)1.6×eq \f(1,4)＋2.4×25%； (2)7.6×2.5×4； (3)eq \f(16,9)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,7)÷（\f(2,3)＋\f(1,7)）))； (4)(eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＋eq \f(1,4))×12. 解：(1)1.6×eq \f(1,4)＋2.4×25%＝0.25×(1.6＋2.4)＝0.25×4＝1； (2)7.6×2.5×4＝7.6×(2.5×4)＝7.6×10＝76； (3)eq \f(16,9)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,7)÷（\f(2,3)＋\f(1,7)）))＝eq \f(16,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)÷\f(17,21)))＝eq \f(16,9)×eq \f(9,17)＝eq \f(16,17)； (4)(eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＋eq \f(1,4))×12＝eq \f(1,3)×12 －eq \f(1,6)×12 ＋eq \f(1,4)×12＝4－2＋3＝5. 9．列式计算： (1)用2除eq \f(10,7)的商，减去7的倒数，差是多少？ (2)甲数的eq \f(3,4)等于乙数的eq \f(4,5)，如果乙数是15，甲数是多少？ 解：(1)eq \f(10,7)÷2－eq \f(1,7)＝eq \f(4,7)； (2)15×eq \f(4,5)÷eq \f(3,4)＝16. $$2　认识有理数 2.1　有理数 4．[2025·济宁二模]某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是( ) A．2.76 g B．2.72 g C．40.05 mm D．39.95 mm 6．[2025·吕梁期末]第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，如表是几个城市与北京的时差(两个地区地方时之间的差别)：(带“＋”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数) 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 －13 －8 －7 ＋1 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是( ) A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 正分数：________； 非正整数：_____________． ，2.4 －6，0，－11 8．在数－25%，＋3.5，0，－1 ，－0.7，11，－π中，负有 理数有__个． 3 10．[2024·江安县期中]下面两个圈分别表示正数集和整数集，那么这两个圈的重叠部分表示 数的集合．请写出9个数填入这两个圈中，使其中每个圈中各有6个数． 解：正整； 如图，(答案不唯一) 11．[2024·东莞期末]洗衣粉厂生产某种规格的洗衣粉，每袋标准质量为450克．质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，超过或不足标准质量的部分分别用“＋”和“－”表示，记录如表： 超过或不足(克) －6 －3 －2 0 ＋1 ＋4 ＋5 袋数 1 1 1 6 5 2 4 (1)这20袋洗衣粉的平均质量是多少克？ (2)厂家规定每袋质量超过或不足的部分大于5克时为不合格，不能出厂销售．若每袋洗衣粉的定价为5.6元，则抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为多少元？ 解：(1)(450×20－6×1－3×1－2×1＋0×6＋1×5＋4×2＋5×4)÷20＝451.1(克)， 答：这20袋洗衣粉的平均质量是451.1克； (2)根据题意，合格的袋数为19袋， 5．6×19＝106.4(元)， 答：抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为106.4元． 12．[2025·临沂期中]如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“＋5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“－2”，再逆时针旋转3个小格记为“＋3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“＋5，－2，＋3”．此时标记线对准的数是6.如果一组开锁密码为“－15，＋10，－5”，要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？( ) A．10 B．0 C．30 D．25 13.[规律探究]如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是 ；(填“正数”或“负数”) (2)在A，B，C，D四个位置， 所在位置的数是负数； (3)第2 025个数是 (填“正数”或“负数”)，位于A，B，C，D中的 处． 解：(1)正数；(2)B和D；(3)负数，B. 14．[2024·永春县期中]足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在球门前来回跑动．如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下(单位：m)：＋10，－2，＋5，－6，＋12，－9，＋4，－14(假定开始计时时，守门员正好在球门线上)． (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员在这段时间内共跑了多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10 m(不包括10 m)，那么对方球员挑射极有可能破门．请问在这段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 解：(1)10＋5＋12＋4－2－6－9－14＝0， 答：守门员最后正好回到球门线上； (2)10＋2＋5＋6＋12＋9＋4＋14＝62(米)， 答：守门员在这段时间内共跑了62米； (3)第一次10＝10，第二次10－2＝8＜10，第三次8＋5＝13＞10， 第四次13－6＝7＜10，第五次7＋12＝19＞10，第六次19－9＝10， 第七次10＋4＝14＞10，第八次14－14＝0， 答：对方球员有三次挑射破门的机会. 1．[2024·启东期末]在数eq \f(2,3)，125%，－25，0，－0.3，0.67，－4，－5eq \f(2,7)中，是负分数的有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．[2024·徐州期末]在－eq \f(1,2)，0，3，－3中，负整数有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．[2024·徐汇区期末]在－2，0.31，17，0，－eq \f(2,3)，1eq \f(3,5)中，非负数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．[2024·长沙县期末]在数eq \f(22,7)，－3.14，π，－0.4，0.7， 0.eq \o(1,\s\up18(·)) eq \o(4,\s\up18(·))中，有理数的个数是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 7．将下列各数分别填在相应的横线上：－6，＋3，－0.2，eq \f(1,2)， 0，－eq \f(3,5)，－11，2.4，72. eq \f(1,2) eq \f(2,5) 9．[2024·新源县期中]把下列各数填入相应的大括号里：0，－16，0.001，5，－eq \f(2,5)，eq \f(22,7)，98%，－2.6，－3. 正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}． 解：正整数集合：{ 5…}； 负整数集合：{－16，－3…}； 正分数集合：{0.001，eq \f(22,7)，98%…}； 负分数集合：{－eq \f(2,5)，－2.6…}． $$2.2　数轴 1．[2024·广元]将－1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是( ) A．－1 B．1 C．－3 D．3 3．[2025·威海期中]若数轴上点A表示的数是－2，点B到点A的距离是6，则点B表示的数是( ) A．4 B．－8 C．8 D．－8或4 4．[2024·礼县期末]点A在数轴上到原点的距离为5，则A点表示的数为( ) A．5 B．－5 C．10 D．5或－5 5．[2024·梓潼县期末]在数轴上，表示－12的点与表示－17的点之间的距离是( ) A．29个单位长度 B．5个单位长度 C．－5个单位长度 D．－29个单位长度 6．[2025·淄博期中]数轴上表示数a和a－4的点到表示数－1的点的距离相等，则a的值为( ) A．－2 B．1 C．1.5 D．2 7.[规律探究]如图，正六边形ABCDEF(每条边都相等)在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为－2和－1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2 025这个数所对应的点是( ) A．A点 B．B点 C．C点 D．F点 8.[分类讨论][2025·济宁期中]若数轴上的点A距离原点3个单位 长度，若一个点从点A出发向右移动2个单位长度，此时终点所表 示的数是_______． 9.[分类讨论][2024·枣阳期末]已知点A，B是数轴上的两个点， 点A到原点的距离等于3，点B在点A左侧，并且距离A点2个单位长 度，则点B表示的数是_______． －1或5 1或－5 10．[2024·巫山县期末]如图，数轴上有A，B，C三点，A，B两 点表示的有理数分别是－2和8，若将该数轴从点C处折叠后，点A 和点B恰好重合，那么点C表示的有理数是__． 3 解：将各数表示在数轴上如图所示： 由数轴得－5<－2<－0.5<0<2 <4. 12．如图，点A表示的数是－5. (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是 ； (2)将点B向左移动3个单位长度到点C，请在图中标出点C表示的 数． 解：(1)如图1所示， B点表示的数为2. 故答案为：2； (2)如图2所示， C点表示的数为－1. 13.[新定义+数形结合+分类讨论][2024·黄石期中]定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是(A，B)的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(A，B)的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是(A，B)的美好点，但点D是(B，A)的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2. (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是(M，N)美好点的是 ；写出(N，M)美好点H所表示的数是 ； (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位长度每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 解：(1)G；－4或－16； (2)①当P为(M，N)的美好点且点P在M，N之间，如图1， MP＝2PN，PN＝3，因此t＝1.5秒； ②当P为(N，M)的美好点且点P在M，N之间，如图2， 2PM＝PN，NP＝6，因此t＝3秒； ③P为(N，M)的美好点且点P在M左侧，如图3， PN＝2PM，NP＝18，因此t＝9秒； ④M为(P，N)的美好点且点P在M左侧，如图4， MP＝2MN，NP＝27，因此t＝13.5秒； ⑤M为(N，P)的美好点且点P在M左侧，如图5， MN＝2MP，NP＝13.5，因此t＝6.75秒； ⑥M为(N，P)的美好点且点P在M右侧，如图6， MN＝2MP，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； ⑦N为(P，M)的美好点且点P在M左侧，如图7， PN＝2MN，NP＝18，因此t＝9秒； ⑧N为(M，P)的美好点且点P在M右侧，如图8， MN＝2PN，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为1.5，2.25，3，6.75，9，13.5. 14.[数形结合]数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： (1)折叠纸面，若使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－3的点与表示 的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使表示2的点与表示－6的点重合，回答以下问题： ①表示3的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为16(A在B的左侧)，且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是 ； 操作三： (3)在数轴上剪下9个单位长度(从－3到6)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1∶1∶2，求折痕处对应的点所表示的数． 2．[2024·浏阳期末]如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是( ) A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(5,2) C．eq \f(7,2) D．eq \f(5,2) eq \r(5)，eq \r(11)，… 11．[2025·乐山期中]在数轴上画出表示下列各数的点，并将它们按从小到大的顺序排列． 4，－2，0，－5，2eq \f(1,2)，－0.5 eq \f(1,2) 解：(1)3； (2)①－7；②－10，6； (3)设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当AB∶BC∶CD＝1∶1∶2时，设AB＝a，BC＝a，CD＝2a， 所以a＋a＋2a＝9，所以a＝eq \f(9,4)， 所以AB＝eq \f(9,4)，BC＝eq \f(9,4)，CD＝eq \f(9,2)， 所以x＝6－eq \f(9,2)－eq \f(9,4)÷2＝eq \f(3,8)； 如图2，当AB∶BC∶CD＝1∶2∶1时， 设AB＝a，BC＝2a，CD＝a， 所以a＋a＋2a＝9， 所以a＝eq \f(9,4)， 所以AB＝eq \f(9,4)，BC＝eq \f(9,2)，CD＝eq \f(9,4)， 所以x＝6－eq \f(9,4)－eq \f(9,2)÷2＝1.5； 如图 3，当AB∶BC∶CD＝2∶1∶1时，设AB＝2a，BC＝a，CD＝a， 所以a＋a＋2a＝9，所以a＝eq \f(9,4)， 所以BC＝eq \f(9,4)，CD＝eq \f(9,4)，AB＝eq \f(9,2). 所以x＝6－eq \f(9,4)－eq \f(9,4)÷2＝eq \f(21,8)； 综上所述，折痕点可能表示的数是eq \f(3,8)，1.5或eq \f(21,8). $$第二章 7　近似数 1．[2024·桥西区期末]用四舍五入法将3.854 1精确到十分位后的结果是( ) A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．3.85 2．[2024·武汉期末]用四舍五入法按照要求对0.150 64(精确到千分位)取近似值，其中正确的是( ) A．0.15 B．0.150 C．0.151 D．0.150 6 3．[2024·安阳期末]北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树，其中2.2万精确到( ) A．万位 B．千位 C．十分位 D．百分位 4．[2025·德州期中]一个数a精确到十分位的结果是3.6，那么这个数a的范围满足( ) A．3.55≤a≤3.65 B．3.55<a≤3.65 C．3.55<a<3.65 D．3.55≤a<3.65 5．[2024·启东期末]用四舍五入法把4.069 2精确到0.01，所 得到的近似数为_____． 6．[2024·射洪期末]用四舍五入法得到的近似数96.37精确到 _____位． 7．[2024·衡阳期中]“近似数3.14万”精确到___位． 4.07 百分 百 8．用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数． (1)0.632 8(精确到0.01)； (2)7.912 2(精确到个位)； (3)130.96(精确到十分位)． 解：(1)0.632 8≈0.63(精确到0.01)； (2)7.912 2≈8(精确到个位)； (3)130.96≈131.0(精确到十分位)． 9．甲、乙两名同学的身高都约是1.6×102 cm，但甲却比乙 高9 cm，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明． 解：有这种可能．因为身高大于等于1.55×102 cm小于1.65× 102 cm时可近似为1.6×102 cm，当甲为1.55×102 cm，乙为 1.64×102 cm时，他们相差9 cm. 车站名 A B C D E F G H 各站至 H站的 里程数 1 200 1 030 910 620 450 219 98 0 (3)旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到张大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请问张大妈是在哪一站下车？(要求写出解答过程) 10．据了解，火车票价按“eq \f(全程参考价×实际乘车里程数,总里程数)”的方法来确定，已知A站至H站总里程数为1 200千米，全程参考价为180元，如表是沿途各站至H站的里程数(单位：千米)： 例如：要确定B站至D站火车票价，其票价为eq \f(180×（1 030－620）,1 200)＝61.5(元)． (1)C站与F站的实际乘车里程数为 千米； (2)求A站至F站的火车票价(精确到1元)； 解：(1)691； (2)eq \f(180×（1 200－219）,1 200)＝147.15≈147(元)， 答：A站至F站的火车票价为147元； (3)设张大妈的实际乘车里程数为x千米， 则eq \f(180x,1 200)＝87，解得x＝580， 所以张大妈上车后，经过三站下车，实际乘车里程数为580千米， 对照表格可知，A站与D站的距离、B站与E站的距离均为580千米， 答：张大妈在D站或E站下车． $$第2课时 有理数的加法运算律 夯基础 1.224·衣定区期门若号+(-26+85时到引+ [(-2.5)+3.5],则这个算式() A.只用了加法交换律 B.只用了加法结合律 既用了加法交换律，又用了加法结合律 D.没有运用运算律 2.-1+2-3+4-5十-99+100=() 450 B.-50 C.5050 D.-5050 3.[2025泉州期中]如图是泉州市某条东西走向的公交线路，东起泉 州市图书馆站，西至清源山风景区站，共17个站点. 某天，小明同学参 加该线路上的志愿者服务活动，从现代广场站出发，最后在A站结束。 如果规定向东记为正，向西记为负，小明同学当天的乘车站数按先后顺 序依次记录如下（单位：站）：十5，一2，一6，-5，十2，则A站是钟 楼站. ●】 木泉北华钟东泉 清源山风景区 门 侨楼门 路 院 华侨历史博物馆 乡体育馆 客运中心站东门 代广场 厝 埔菜市 滨公园 政府服务中心 泉州市图书馆 4.用简便方法计算：©号+时号+9号+99后+9999后+4 =111111 ○ 5.计算： (1)22+(-15)+7+(-24);(2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4): ++ω+到++ (5)(-1.9)+3.6+(-10.1)+1.4: o+o时+ 解：(1)原式=7+7+（一24） =14+(-24) =-10; (2)原式=[（一2）+2]+[3+（一3）]+1+（一4） =0+0+1+(一4) =-3; 。 (3)原式 -+ ④原式-+引+【(-+(- =9+(-11) =-2; (5)原式=[(-1.9)+(-10.1)]+3.6+1.4 =-12+5 =-7; 返【-(-95++9++1 =-4+2 =-2. 6.[2024·潮南区期末]阅读：对于 可以按如下方法计算： 原式(-6)+副-+到++到+-3 -[+(-++(-]+【哥到+ =0+金专题训练三 有理数中的简便运算 ○ 一、有理数加减中的简单计算 类型=互为相反数结合 1.计算：(1)(-2.8)+(-3.6)+3.6； ++ (3)43+(-77)+27+(-43). 解 :(1)原式=-2.8+0=-2.8； 2限式---+引+号 =-1+号=3 (3)原式=43+(-43)+[(-77)+27] =0-50=-50. 类型三同号数结合 2.计算：(1)(-12)+13+(-18)： (2)(-12)+11+(-8)+29. 解：（1)（一12）+13+（一18) =-12+(-18)+13 =-30+13=-17; (2)(-12)+11+(-8)+29 =[(-12)+(-8)]+(11+29) =-20+40=20. 类型三同分母数结合 3计算0-污+2 a(到++ ⑧爱++ 解：山)原式=兮+到+造 =-6+2-品 2源式=+召 =1+(-1)=0; 3)原武-居+亿+2 8+10=18. 类型四凑整法 4.简便运算： (1)31+(-28)+28+69: ②-4+84-(-475+号 ○ 解：(1)31+(-28)+28+69 =(31+69)+[(-28)+28] =100+0=100; 2-4+84-(-4.75+3号 =（-4.25+4.75)+(8.4+3.6) =0.5+12=12.5. 类型五拆项法 6.计算+++8+8++号0 9701.9 899 98 100