精品解析：湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期12月测试数学试题（12.25）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得. 故选：A. 2. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 3. 如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】空间向量，平方求模长即可求解. 【详解】由，两边平方得： . 所以. 故选：A. 4. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 5. 已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，设，利用点到直线的距离公式得到，再利用辅助角公式及的性质，即可求解. 【详解】由题可设， 则点到直线的距离为，其中， 所以当时，最小，最小值为. 故选：D. 6. 已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线所过点，然后利用点差法求得直线的斜率，进而求得正确答案. 【详解】由于，所以在椭圆上， 设的中点为，则，则直线过点，且是的中点， 设，则：， 两式相减并化简得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线也即直线的方程为. 故选：C 7. 已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 10. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D. 【详解】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确； 对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，， 则，所以在的下方， 所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确； 对于C，因为，等号仅当时成立， 所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确; 对于D，因为，所以， 等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误. 故选:ABC. 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为.过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限.的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或. B. 若，且，则双曲线的离心率为. C. 若，则的取值范围是. D. 若直线的斜率为，则双曲线的离心率为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A正确；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；由内切圆性质可得所在直线方程为，根据直线的倾斜角范围与渐近线关系可得，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确. 【详解】对于A，双曲线渐近线的夹角为，则或者， 故或.A正确； 对于B，设，则. 故，解得. 又，故.B正确； 对于C，令圆切分别为点，则 ， 令点，而， 因此，解得，又， 则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线的方程为， 设直线的倾斜角为，那么， 在中，. 在中，，渐近线的斜率为. 因为，均在右支上，故. 如图所求，，C不正确； 对于D，，故， 而， 故， 由余弦定理可知.， 故.D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有两个等差数列及由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为________________ . 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在等差数列和等差数列中，公共项按从小到大的顺序组成一个新的等差数列：共项，它们的和为 考点：等差数列及其求和公式. 13. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积. 【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且， 则，，，于是， 以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 令，由，，得，，， 则，化简得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，，， 因此点在底面上的射影在上，且，又， 显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程. 【小问1详解】 的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； （3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先设出事件，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式列方程即可求解； （2）先设出事件，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式计算即可； （3）运用独立事件的乘法公式，结合对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， 则 设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语” ，解得 【小问2详解】 由（1）知， 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 则 所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为. 【小问3详解】 “‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”， 则 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 17. 已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，即可得到，从而得到答案. （2）首先利用错位相减法得到，从而得到，即可得到答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，得或. 又数列的各项均为正数，. 【小问2详解】 由（1）得，， ，① ，② ①-②得， . 由，化简得， 对任意的恒成立. 又的最大值为，所以， 的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面 ． （1）求证：平面； （2）点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：若分别为中点，连接， 由，，则 为直角梯形，且为中位线， 所以，且， 由，则，又，可得， 面面 ，面，面面， 则面 ，面 ，故，则， 由面 ，则，又，均在面内， 所以面，面，可得， 所以，故，即， 由，则，而均在面内， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面 ，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论； （2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系， 所以， 令且，则， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令 ，则， 由题意， 整理得，故，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知抛物线，顶点为O，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点. （1）若，求线段中点到y轴的距离； （2）设点G是线段上的动点，顶点O关于点G的对称点为C，求四边形面积的最小值； （3）设D为抛物线上的一点，过点D作直线，分别交抛物线于M，N两点，作直线，分别交抛物线于P，Q两点，且，，设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1）3； （2）4； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由求出即可求解； （2）先由题意得，接着设直线l方程为，再与抛物线方程联立求出，将其代入即可求解. （3）设，将抛物线方程分别与直线联立，利用韦达定理求出用a表示的两点的纵坐标，，进而可得直线的方程，证明直线过定点T即可再分析直线斜率的取值范围. 【小问1详解】 因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. 【小问2详解】 因为顶点O关于点G的对称点为C，所以O和C到直线l的距离相等， 所以， 由题意可知直线l斜率存在时不为0，焦点，所以可设直线l方程为， 联立，则， 所以， 所以当时，四边形面积取得最小值为4. 【小问3详解】 由题可设，，且直线的斜率存在且不为0， 所以可设直线的方程为， 联立，所以， 所以， 设直线的方程为， 联立，所以， 所以， 若， 所以即，所以直线斜率不为0， 当直线斜率存在时，直线的方程为， 所以 ， 所以直线恒过定点，即， 所以直线的斜率为， 所以当时； 当时，，当且仅当即时等号成立； 当时，，当且仅当即时等号成立. 综上，当直线斜率存在时，直线斜率的取值范围为. 当直线斜率不存在时，设 ，则， 所以， 解得，所以直线的方程为 所以直线恒过定点. 综上所述，直线斜率的取值范围为. 【点睛】关键点睛：设，求直线斜率的取值范围的关键是求出直线的方程并证明直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 2. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 3. 如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 10. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为.过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限.的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或. B. 若，且，则双曲线的离心率为. C. 若，则的取值范围是. D. 若直线的斜率为，则双曲线的离心率为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有两个等差数列及由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为________________ . 13. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________． 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； （3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 17. 已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面 ． （1）求证：平面； （2）点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知抛物线，顶点为O，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点. （1）若，求线段中点到y轴的距离； （2）设点G是线段上的动点，顶点O关于点G的对称点为C，求四边形面积的最小值； （3）设D为抛物线上的一点，过点D作直线，分别交抛物线于M，N两点，作直线，分别交抛物线于P，Q两点，且，，设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $