精品解析：海南省琼海市海桂中学2024-2025学年下学期九年级第二次月考数学试卷（周练15）

2025届数学基础训练（15） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 文昌至琼海高速公路项目起点位于文昌市文城镇，途经文昌市文城镇、会文镇、重兴镇，以及琼海市长坡镇、塔洋镇、嘉积镇、中原镇，终点设万泉枢纽互通立交与G98东线高速进行交通转换，路线全长65700米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由七个相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是( ) A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小珍同学借助直角三角板（）测量纸杯底面圆的半径，圆与边相切于点，与的延长线相切于点，测得cm，则底面圆O的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交BC于点D，则下列说法不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. D. 点D在的垂直平分线上 12. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 分解因式：______． 14. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点，．若点恰好落在上，则点A与点的距离的长为______． 15. 如图，正方形ABCD中，，点E在CD边上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则______，______． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 人工智能的飞速发展，改变了人们的工作与生活．某快递公司为了提高工作效率，购买机器人分拣快递．已知购买1台甲型机器人的费用比购买2台乙型机器人的费用少6万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人1台，共需要花费28万元，求甲、乙两种型号机器人的单价． 18. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 近年来，教育部相继出台文件，加强对义务教育阶段学生作业、手机、睡眼、读物、体质管理等“五项管理”以及考试管理作出部署，琼海市某学校对本校开展“五项管理”工作以来收到的成效进行调研，采用随机抽样的方法，抽取了九年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的扇形统计图和统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 组别 睡眠时间分组 频数 A 4 B m C 10 D 21 E 7 （1）本次被抽取的九年级学生共有______名； （2）统计图表中______；本次被抽取的学生中，他们平均每天睡眠时间的中位数落在的“组别”是______； （3）请估计该校1000名九年级学生中睡眠达到8小时或以上的人数为______人； （4）教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》明确初中生每天睡眠时间应达到9小时，针对本次调查中不符合这一要求的学生，请你为他们提一条合理的建议． 20. 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 每周一练（15） 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线AC上方抛物线上一动点， ①当点P的坐标为时，求四边形APCO的面积； ②求点P到直线AC距离的最大值； （3）点Q是抛物线上任意一点，当时，求点Q的坐标． 22. 【问题背景】（1）如图1，，，．填空：______（填“全等于”或“相似于”）； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形外一点，，过点D作，垂足为F，连接、，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届数学基础训练（15） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．利用幂的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则计算各式后进行判断即可． 【详解】解：，则A选项不符合题意； ，则B选项不符合题意； ，则C选项不符合题意； ，则D选项符合题意； 故选：D． 3. 文昌至琼海高速公路项目起点位于文昌市文城镇，途经文昌市文城镇、会文镇、重兴镇，以及琼海市长坡镇、塔洋镇、嘉积镇、中原镇，终点设万泉枢纽互通立交与G98东线高速进行交通转换，路线全长65700米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为； 故选C． 4. 如图是由七个相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】从正面看易得左边第一列有2个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有2个正方形，故B正确． 故选：B 【点睛】本题考查了三视图的识别，知道主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键． 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．利用解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 移项，合并同类项得：， 检验，当时，是分式方程的解， 故原方程的解为， 故选：C． 6. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据简单事件概率公式，求出所有等可能的结果有6种，指针指向大于等于3的可能结果有4种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意知，所有等可能的结果有6种，指针指向大于等于3的可能结果有4种，则指针指向大于等于3的概率为； 故选：B． 7. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， （米）， 故选：A． 8. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选C． 9. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 故选：． 10. 如图，小珍同学借助直角三角板（）测量纸杯底面圆的半径，圆与边相切于点，与的延长线相切于点，测得cm，则底面圆O的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，，，根据切线长定理求出，根据切线的性质得到，再根据正切的定义计算即可． 【详解】如图，连接，， ∵， ∴， ∵、是圆的切线， ∴，， ∴， 故选：C． 11. 如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交BC于点D，则下列说法不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. D. 点D在的垂直平分线上 【答案】C 【解析】 【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线； B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数； D利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点D在的中垂线上； C利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点D在的中垂线上，故D说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键． 12. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为．抛物线开口向上， ∴和时的函数值相等， ∵，当时，函数取得最大值， ∴ ， 又∵当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合运用提取公因式和平方差公式因式分解，熟练掌握综合运用提取公因式和平方差公式因式分解是关键．观察表达式，先提取公因式，再应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点，．若点恰好落在上，则点A与点的距离的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了所对直角边是斜边一半，勾股定理，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．熟练掌握所对直角边是斜边一半，勾股定理，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用所对直角边是斜边一半和勾股定理求出，的长，再根据旋转的性质得，结合角度推出是等边三角形，进而得到相关角度，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：连接， ，， ， 在中，， 由旋转的性质可知：，， 是等边三角形， ，． ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD中，，点E在CD边上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则______，______． 【答案】 ①. 45° ②. 【解析】 【分析】由“HL”可证Rt△ABG≌Rt△AFG，可得BG=GF，∠AGB=∠AGE，由勾股定理可求GF=BG=3，从而可求得CG=BC-BG=3，然后求出S△GCE==×4×3=6，GF=BG=3，GE=GF+EF=3+2=5，利用同高三角形面积关系得，即，即可求出S△GFC． 【详解】解：∵正方形ABCD ∴CD=BC =AB=6，∠D=∠B =∠BAD=∠BCD=90°， ∵CD=3DE， ∴DE=2，EC=4， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD=AF=AB，DE=EF=2，∠D=∠AFE=90°，∠DAE=∠FAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG=∠GAF，BG=GF，∠AGB=∠AGE， ∴∠GAF+∠FAE=∠BAG+∠DAE，即∠EAG=∠BAG+∠DAE， ∵∠EAG+∠BAG+∠DAE=∠BAD=90°， ∴∠EAG=45°， ∵GE2=EC2+GC2， ∴（BG+2）2=16+（6-BG）2， ∴BG=3， ∴CG=BC-BG=6-3=3， ∵S△GCE==×4×3=6，GF=BG=3，GE=GF+EF=3+2=5， ∴，即， ∴S△GFC=， 故答案为：45°，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，一元一次不等式组的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）优先化简指数幂，二次根式，再根据运算法则运算即可； （2）根据一元一次不等式组的运算法则运算求解即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为：． 17. 人工智能的飞速发展，改变了人们的工作与生活．某快递公司为了提高工作效率，购买机器人分拣快递．已知购买1台甲型机器人的费用比购买2台乙型机器人的费用少6万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人1台，共需要花费28万元，求甲、乙两种型号机器人的单价． 【答案】甲、乙两种型号机器人的单价分别为10万元、8万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组应用，设甲型机器人的单价为万元，乙型机器人的单价为万元，根据题意列出关于x，y的一元二次方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：设甲型机器人的单价为万元，乙型机器人的单价为万元， 根据题意得： ，解得． 答：甲、乙两种型号机器人的单价分别为10万元、8万元. 18. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ． （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 近年来，教育部相继出台文件，加强对义务教育阶段学生作业、手机、睡眼、读物、体质管理等“五项管理”以及考试管理作出部署，琼海市某学校对本校开展“五项管理”工作以来收到的成效进行调研，采用随机抽样的方法，抽取了九年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的扇形统计图和统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 组别 睡眠时间分组 频数 A 4 B m C 10 D 21 E 7 （1）本次被抽取的九年级学生共有______名； （2）统计图表中______；本次被抽取的学生中，他们平均每天睡眠时间的中位数落在的“组别”是______； （3）请估计该校1000名九年级学生中睡眠达到8小时或以上的人数为______人； （4）教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》明确初中生每天睡眠时间应达到9小时，针对本次调查中不符合这一要求的学生，请你为他们提一条合理的建议． 【答案】（1）； （2），； （3） （4）建议：合理安排学习时间，提高学习效率，减少熬夜，保证每天达到小时睡眠． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中某一组的频数和对应的百分比，利用“总数=频数÷对应百分比”来计算抽取的学生总数． （2）先由总数和组的百分比求出的值；再根据中位数的定义，确定中位数所在的组别，即把数据排序后，找中间位置的数所在的组． （3）先算出睡眠达到小时或以上的人数在抽取样本中的百分比，再用样本百分比估计总体人数． （4）从合理安排时间、提高效率等角度给出建议． 【小问1详解】 解：本次被抽取的九年级学生共有（名） 故答案为：． 【小问2详解】 解： 将个数据从小到大排列，第、个数据的平均数是中位数，组个，组个，组个，，，，所以第、个数据在组，即中位数落在组 故答案依次为：；． 【小问3详解】 解：该校名九年级学生中睡眠达到小时或以上的人数为（人） 故答案为：． 【小问4详解】 解：建议：合理安排学习时间，提高学习效率，减少熬夜，保证每天达到小时睡眠． 【点睛】本题主要考查了统计中的扇形统计图、频数分布表、中位数以及用样本估计总体，熟练掌握这些统计概念和计算方法是解题的关键． 20. 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】（1） 证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）1或100 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 每周一练（15） 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线AC上方抛物线上一动点， ①当点P的坐标为时，求四边形APCO的面积； ②求点P到直线AC距离的最大值； （3）点Q是抛物线上任意一点，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴交点设交点式，代入轴交点坐标求表达式； （2）①通过分割图形（四边形拆为两个三角形），结合三角形面积公式计算；②作平行线构造等腰直角三角形，用坐标表示线段长，结合三角函数求距离最大值； （3）设点坐标，用斜率表示直线倾斜程度，结合三角函数值列方程求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①连接OP， ∵，， ∴，， ∴，， ． ②过点P作轴交AC于E，作于点H， ∵， ∴直线AC的解析式为， 设点P的坐标为，则E的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当时，PH的最大值为． 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为， 当在轴的上方时，过作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，（此时为，不符合题意，舍去）， ∴， 当在轴的下方时，同理可得． 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数表达式求解、图形面积计算、函数最值探究及三角函数与坐标的综合应用，熟练掌握“二次函数交点式用法、图形面积分割策略、利用几何性质转化最值问题、三角函数与坐标斜率的关联”是解题的关键． 22. 【问题背景】（1）如图1，，，．填空：______（填“全等于”或“相似于”）； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形外一点，，过点D作，垂足为F，连接、，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，求出的长． 【答案】（1）相似于；（2）的值为；（3）的长为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及构造辅助线是解题的关键． （1）先利用等腰直角三角形的性质得出对应边成比例和夹角相等，然后依据“两边对应边成比例且夹角相等”的相似三角形判定定理，判断； （2）利用正方形的性质和角的等量转换得到，以及，证明，从而可求出的值； （3）过点A作，交于点H，连接，先利用“等腰对等角”以及角的等量代换得到，然后根据三角函数得到，再根据“两边对应成比例且夹角相等”证明，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1），， ， 在中，根据勾股定理得，， 又， ， 在中，根据勾股定理得，， ，即， 又，， ， ． 故答案为：相似于； （2）∵，， ∴， 在正方形中，， ∴，， ∴， ∴． （3）过点A作，交于点H，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $