第二章 有理数及其运算 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学六年级上册

3　有理数的加减运算 3.1　有理数的加法 第1课时　有理数的加法法则 知识点 有理数的加法法则 1．同号两数相加，取_____的符号，并把_______相加．例如： ＋2＋(＋5)＝＋(2＋5)＝＋7，－2＋(－5)＝－(2＋5)＝－7. 2．异号两数相加，绝对值相等时和为__．例如：3＋(－3)＝0； 绝对值不等时，取___________的数的符号，并用较___的绝对 值减去较___的绝对值．例如：3＋(－5)＝－(5－3)＝－2. 相同 绝对值 0 绝对值较大 大 小 3．一个数同0相加，仍得这个数．例如：0＋(－5)＝－5. 4．一个数加一个正数，结果变大；一个数加一个负数，结果变 小． 5．如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0；反之，如果a＋b＝0， 那么a，b互为相反数． 思路导析 根据有理数的加法法则计算即可． 【方法技巧】 加法运算时的步骤：一观察、二确定、三求和．第一步，观察两个数的符号是同号还是异号，有没有0；第二步，确定和的符号，第三步，计算求和． 变式 计算： (1)13＋(－7)； (2)(－51)＋(＋12)＋(－7)＋(－11)＋(＋36)． 解：(1)原式＝6；　(2)原式＝－21. 考点2 有理数加法的简单应用 典例2 [2025·宁波期末]某市一天早晨的气温是－2 ℃，中午比 早晨上升了8 ℃，则这天中午的气温是__摄氏度． 6 思路导析 根据题意，列出加法算式，再根据有理数的加法运算法则求解即可． 变式 [2025·上海期中节选]足球比赛中，根据场上攻守形势， 守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作 正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记 录如下(单位：m)：＋10，－2，＋5，＋12，－6，－9，＋4， －14.(假定开始计时时，守门员正好在球门线上) 请通过计算确认：守门员最后是否回到球门线上？ 解：根据题意得(＋10)＋(－2)＋(＋5)＋(＋12)＋(－6)＋ (－9)＋(＋4)＋(－14)＝0米， 所以守门员最后回到了球门线上． 考点1 有理数的加法法则 典例1 计算： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－15))； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－32))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋27))； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋2\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,4)))； (4)7＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10)). 解：(1)原式＝－22；　(2)原式＝－5； (3)原式＝－eq \f(11,12)；　(4)原式＝－4. $$7　近似数 知识点1 近似数 确切地反映了实际的数是_______．与实际的数接近，但有差别 的数是_______．例如：某学校有6个年级，约2 400人，其中6 是一个准确数，2 400是一个近似数． 准确数 近似数 知识点2 精确度 近似数与准确数的接近程度，可用精确度表示．一般地，一个 近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．例 如：6.345 4≈6.345就是精确到0.001或精确到千分位． 【注意】 一个近似数的精确度有三种表述方法：(1)用数位表示，如精确到千位或千分位等；(2)用小数点表示，如精确到0.1或0.01等；(3)对带有单位的数用单位表示，如精确到千克、米等． 考点1 用四舍五入法取近似值 典例1 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.318 9(精确到0.01)； (2)89.912 2(精确到个位)； (3)0.865 88(精确到千分位)； (4)563 127(精确到千位)． 思路导析 (1)把千分位上的数字8四舍五入即可；(2)把十分位上的数字9四舍五入即可；(3)把万分位上的数字8四舍五入即可；(4)先用科学记数法表示，然后把百位上的数字1四舍五入即可． 解：(1)2.318 9≈2.32； (2)89.912 2≈90； (3)0.865 88≈0.866； (4)563 127≈5.63×105. 变式 车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到2.80 m，一根为2.76 m，另一根为2.82 m，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80 m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 解：(1)设原轴的长度为a m， 则2.795 m≤a＜2.805 m； (2)因为2.795 m≤a＜2.805 m， 所以一根为2.76 m，另一根为2.82 m的轴都不符合要求， 所以小王加工的轴不合格． 考点2 确定近似值的精确度 典例2 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪位？ (1)132.4；(2)0.057 2；(3)5.08×105； (4)6.80万． 思路导析 (1)最后一位是十分位，所以132.4精确到十分位； (2)最后一位是万分位，所以0.057 2精确到万分位；(3)先将 5.08×105还原为508 000，8在千位上，所以5.08×105精确到 千位；(4)先将6.80万还原为68 000，可知6.80万精确到百位． 解：(1)132.4精确到十分位； (2)0.057 2精确到万分位； (3)5.08×105精确到千位； (4)6.80万精确到百位． 【规律总结】 精确度的确定： (1)对于含有小数的近似数，精确度由最后一位所在的数位决定； (2)对于近似数a×10n，精确度由还原后的数中a的末位数字所在 的数位决定； (3)对于含有文字单位的近似数，精确度也是由还原后的数中近 似数的末位数字所在的数位决定． 变式 [2024·泉港区期中]下列各数精确到什么位？请分别指出来． (1)0.016；(2)1 680；(3)1.20；(4)2.49万． 解：(1)0.016精确到千分位； (2)1 680精确到个位； (3)1.20精确到百分位； (4)2.49万精确到百位． $$3.2　有理数的减法 知识点 有理数的减法法则 有理数的减法法则：减一个数，等于___这个数的_______．例 如，－6－2＝－6＋(－2)＝－8. 加 相反数 【注意】 将减法变为加法时，要同时改变两处符号，一是运算中的符号“－”变“＋”，二是有理数的性质符号． 考点1 有理数的减法 典例1 计算： (1)(＋4)－(－7)； (2)(－5)－8； (3)(－7)－(－10)－(－8)－(－2)． 思路导析 根据有理数的减法法则计算即可． 解：(1)(＋4)－(－7) ＝4＋7＝11； (2)(－5)－8＝－5＋(－8)＝－13； (3)(－7)－(－10)－(－8)－(－2) ＝(－7)＋10＋8＋2＝13. 【方法技巧】 有理数的减法运算转化为有理数的加法运算时，要注意“两变一不变”． “两变”是指：(1)运算符号“－”变“＋”；(2)减数变为它的相反数． “一不变”是指：被减数不变． 变式 现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有a※b＝|a|－b.如：2※3＝|2|－3＝－1，(a＋1)※4＝|a＋1|－4. (1)计算：(－3)※(－2)； (2)计算：[(－4)※5]※2. 解：(1)原式＝|－3|－(－2)＝5； (2)原式＝(|－4|－5)※2 ＝(－1)※2＝|－1|－2＝－1. 考点2 有理数减法的实际应用 典例2 某日，北京、大连等五个城市的最高气温与最低气温记录如表所示，哪个城市温差最大？哪个城市温差最小？分别是多少？ 城市 北京 大连 哈尔滨 沈阳 武汉 最高 气温 12 ℃ 6 ℃ 2 ℃ 3 ℃ 18 ℃ 最低 气温 2 ℃ －2 ℃ －12 ℃ －8 ℃ 6 ℃ 思路导析 根据表格中的数据求出五个地区的温差，比较即可． 解：北京的温差为12－2＝10(℃)； 大连的温差为6－(－2)＝8(℃)； 哈尔滨的温差为2－(－12)＝14(℃)； 沈阳的温差为3－(－8)＝11(℃)； 武汉的温差为18－6＝12(℃)． 所以哈尔滨温差最大，为14 ℃；大连温差最小，为8 ℃. 【方法技巧】 有理数的减法在实际问题中的计算步骤： (1)审清题意，列出减法算式； (2)运用减法法则进行计算； (3)根据计算结果，确定实际问题的答案． 变式 全班学生分成五个小组进行知识抢答比赛，每组的基本分 是100分，答对1题加50分，答错1题扣50分，游戏结束时，其中 四个小组的分数如表：(单位：分) (1)第二组的分数超过第五组多少分？ (2)五个小组中，成绩最低的两组分数相差50分，请推断m的值． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 m 350 －100 解：(1)根据题意，得150－(－100)＝150＋100＝250(分)， 答：第二组的分数超过第五组250分； (2)由题意可知成绩最低的两组为第三组和第五组， 当第五组比第三组高50时，m＝－100－50＝－150， 当第五组比第三组低50时，m＝－100＋50＝－50， 所以，m的值为－50或－150. $$5.2　科学记数法 知识点 科学记数法的定义 一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中a的取 值范围是_________，n是_____数，这种记数方法叫作科学记数 法． 小于－10的数也可以用类似的方法表示，如－2 590 000可以表 示成－2.59×106. 1≤a＜10 正整 【注意】 (1)在a×10n中，n的确定方法是原数的整数位数减1.(2)把科学记数法形式的数化为原数的方法是小数点向右移n位．(3)对于小于－10的数也可以类似表示，如－370 000＝－3.7×105. 考点1 用科学记数法表示数据 典例1 某日李老师登陆“学习强国”APP，显示共有16 900 000 名用户在线，将数据16 900 000用科学记数法表示为_________． 1.69×107 思路导析 直接根据科学记数法写出答案即可． 变式 地日距离指地球与太阳之间的平均直线距离，是天文学中 重要的基准单位(1天文单位，即1 AU)，其数值约为1.496亿公 里，1.496亿公里换算成米并用科学记数法表示为___________米． 1.496×1011 考点2 根据科学记数法写出数据 典例2 一个数用科学记数法表示是3.024×106 ，则这个数的原 数是__________． 3 024 000 思路导析 利用科学记数法表示的数化为原数的方法还原原数 即可． 变式 [2025·石嘴山期中]已知：a＝3.456×106，则a表示的原 数为__________． 3 456 000 $$4.2　有理数的除法 知识点1 有理数的除法法则 1．法则一：两数相除，同号得___，异号得___，并把_______ 相除.0除以任何非0的数都得__． 2．法则二：除以一个数等于乘这个数的_____． 正 负 绝对值 0 倒数 【注意】 (1)0不能作除数． (2)有理数的除法运算可以转化为乘法运算，但要把除数化为它的倒数进行运算，渗透了转化的数学思想． 知识点2 有理数的乘除混合运算 1．有理数的乘除混合运算的顺序 按照自左至右的顺序计算，有括号的先算括号里面的． 2．有理数的乘除混合运算的步骤 (1)将除法化为乘法； (2)确定积的符号； (3)运用乘法运算律简化运算，求出结果． 【注意】 有理数除法没有简便运算，只有乘除混合运算统一成乘法运算后，才能按照乘法的运算律进行简便计算． 思路导析 根据有理数的除法法则进行计算即可． 【方法技巧】 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用． (1)对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则二比较简便，在能整除的情况下，选用法则一比较简便． (2)如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则二进行计算． 思路导析 把除法转化为乘法，再计算． (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是第 步，错因是 ； (2)请你写出这道题正确的解答过程． 考点1 有理数的除法 典例1 计算： (1)(－91)÷13； (2)(－56)÷(－14)； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,7)))÷eq \f(11,12)； (4)3eq \f(1,3)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(2,3)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,4)))； (5)(－3.5)÷eq \f(7,8)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))). 解：(1)原式＝－(91÷13)＝－7； (2)原式＝＋(56÷14)＝4； (3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,7)))×eq \f(12,11)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,7)×\f(12,11)))＝－eq \f(24,7)； (4)原式＝eq \f(10,3)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)×\f(3,8)×\f(4,5)))＝1； (5)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))×eq \f(8,7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)×\f(8,7)×\f(3,4)))＝3. 变式 [新定义]若规定：a△b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))÷eq \f(b,2)，例如：2△3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))÷eq \f(3,2)＝－eq \f(1,3)，试求(2△7)△4的值． 解：因为a△b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))÷eq \f(b,2)， 所以2△7＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))÷eq \f(7,2)＝－eq \f(1,7)， 所以(2△7)△4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))△4＝－eq \f(1,－\f(1,7))÷eq \f(4,2)＝eq \f(7,2). 考点2 有理数的乘除混合运算 典例2 计算： (1)(－27)÷eq \f(9,4)×eq \f(4,9)÷(－16)； (2)－1÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,7)))×eq \f(4,7)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,7))). 解： (1)原式＝(－27)×eq \f(4,9)×eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16))) ＝27×eq \f(4,9)×eq \f(4,9)×eq \f(1,16) ＝eq \f(1,3)； (2)原式＝－1×eq \f(7,3)×eq \f(4,7)×eq \f(7,36)＝－eq \f(7,27). 变式 阅读下面解题过程： 计算：(－15)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)×\f(25,3)))÷eq \f(1,3) 解：原式＝(－15)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))×3① ＝(－15)÷(－5)② ＝－3.③ 解：(1)②；乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序；③；两数相除，同号为正； (2)原式＝(－15)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))×3 ＝(－15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×3 ＝9×3＝27. $$5　有理数的乘方 5.1　有理数的乘方 知识点1 乘方及相关概念 求n个__________的积的运算叫作_____，记作an. 即 乘方的结果叫作___，__叫作底数，__叫作 指数．an读作_____________________．例如，(－2)3中，底数 是－2，指数是3. 相同因数a 乘方 幂 a n a的n次幂(或a的n次方) 【注意】 (1)一个数或一个字母可以看作它本身的一次方，指数1通常省略不写． (2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写上指数，指数要写得小一些． 知识点2 乘方的规律 正数的任何次幂都是___数，负数的___次幂是正数，负数的___ 次幂是负数，0的任何正整数次幂都是__． 正 偶 奇 0 (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 考点2 有理数乘方的实际应用 典例2 一个面积为1 m2的正方形纸片，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次剩下的面积是多少？第10次呢？ 思路导析 本题考查有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得结果． 变式 [2024·泌阳县期末]为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流量如表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 －80 －30 －50 －60 ＋160 ＋300 ＋180 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 人； (2)若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ (3)如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开……一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 根面． 解：(1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多300－(－80) ＝380(人)， 故答案为：380； (2)(－80－30－50－60＋160＋300＋180)÷7＋500＝560(人)， 560×30%×14＝2 352(元)， 答：平均每天的销售额是2 352元； (3)由题意，得 第1次捏合后可以拉出2根， 第2次捏合后可以拉出22＝4根， 第3次捏合后可以拉出23＝8根， 第4次捏合后可以拉出24＝16根， …， 第n次捏合后可以拉出2n根， 所以拉面师傅拉完八次后有28＝256根面． 故答案为：256. 【拓展】 (1)－1的奇次幂是它本身，而－1的偶次幂是它的相反数， 即(－1)n＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1（n为奇数），,1（n为偶数）.)) (2)若n是偶数，则有an＝(－a)n，即互为相反数的两个数，它们的偶次幂相等；若n为奇数，则有－an＝(－a)n，即互为相反数的两个数，它们的奇次幂仍互为相反数． 考点1 有理数的乘方 典例1 计算： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(4)；(2)－eq \f(43,3)；(3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(2). 解：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(4)＝eq \f(16,81)；　(2)－eq \f(43,3)＝－eq \f(64,3)； (3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝－eq \f(9,25). 变式 [2024·台州期末]小明与小红两位同学计算42÷(－2)3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))的过程如下： 解：(1)小明第一步，小红第二步； (2)原式＝16÷(－8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝eq \f(1,4). 解：因为第1次截去一半，剩下的面积是eq \f(1,2) m2 ，第2次截去剩下的一半，剩下的面积是eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)(m2)，第3次截去剩下的一半，剩下的面积是eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)(m2)，…，所以第5次截去剩下的一半，剩下的面积是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(5)＝eq \f(1,32)(m2)，第10次截去剩下的一半，剩下的面积是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(10)＝eq \f(1,1 024)(m2)． $$4　有理数的乘除运算 4.1　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 知识点1 有理数的乘法 1．有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得___，异号得___，并把_______相乘． 例如：2×(－5)＝－(2×5)＝－10； (－2)×(－5)＝2×5＝10. (2)任何数与0相乘，积仍为__． 例如：0×(－5)＝0. 正 负 绝对值 0 2．多个有理数相乘 (1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的_____来决定． 当负因数的个数是_____时，积的符号为负，当负因数的个数 是_____时，积的符号为___．积的绝对值等于各个因数的绝对 值的___． 例如：(－2)×(－3)×(－5)＝－(2×3×5)＝－30. (2)几个数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为__． 例如：(－2)×3×5×0＝0. 个数 奇数 偶数 正 积 0 【注意】 一个数乘－1，所得的积就是它的相反数． 知识点2 倒数的定义 如果两个有理数的________，那么称其中一个数是另一个数的 倒数，也称这两个有理数_________．__没有倒数． 乘积为1 互为倒数 0 思路导析 根据有理数的乘法法则计算即可． 解：(1)8×(－5) ＝－(8×5) ＝－40； (2)(－7)×(－0.25) ＝7×0.25 ＝1.75； 【规律总结】 多个有理数相乘的运算步骤： (1)看：观察因数中有没有0，若有，则积为0； (2)定：若因数中没有0，观察负因数的个数，确定积的符号； (3)算：计算各因数绝对值的积； (4)写：写出多个有理数相乘的积，注意积为负时，不要漏掉负号． 变式1 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d，它们的位 置如图所示，则表示数ab的点在点A___侧(填“左”或“右”)， 表示数cd的点与点__最接近． 左 B 解：(1)原式＝－2； (2)原式＝－2； (3)原式＝－24. 思路导析 根据倒数的定义求解即可． 【方法技巧】 求一个数的倒数的方法： (1)真分数和假分数：交换分子、分母的位置就得到该数的倒数； (2)整数：先看成是分母为1的分数，再颠倒分子、分母的位置； (3)小数和带分数：小数化为分数，带分数化为假分数，再求变 形后的分数的倒数． 变式 已知a，b互为倒数，|c－1|＝2，则abc的值为( ) A．－1或3 B．－1 C．3 D．±2 例如：－eq \f(1,2)与－2互为倒数，－2的倒数是－eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)的倒数是－2. 考点1 有理数的乘法 典例1 计算： (1)8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.25))； (3)1eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,3)))×6； (4)eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1.2))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9))). (3)1eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,3)))×6＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(7,3)×6)) ＝－21； (4)eq \f(5,4)×(－1.2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))＝eq \f(5,4)×eq \f(6,5)×eq \f(1,9) ＝eq \f(1,6). 变式2 计算：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,5)))； (2)10×eq \f(1,3)×(－0.1)×6； (3)－2×4×(－1)×(－3)． 考点2 倒数 典例2 写出下列各数的倒数： 3，－1，0.3，－eq \f(2,3)，eq \f(1,4)，－3eq \f(1,2). 解：eq \f(1,3)，－1，eq \f(10,3)，－eq \f(3,2)，4，－eq \f(2,7). $$6　有理数的混合运算 知识点 有理数的混合运算的顺序 1．有理数的混合运算的顺序：先算_____，再算_____，最后算 _____；如果有括号，先算___________． 2．同级运算，按_________的顺序进行． 乘方 乘除 加减 括号里面的 从左往右 【注意】 进行有理数的混合运算时，确定合理的运算顺序是正确解题的关键．能用简便方法的尽量用简便方法． 思路导析 (1)(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左往右的顺序进行，如果有括号，先算括号内的运算，注意乘法对加法的分配律的运用． 变式 [2024·顺德区期中]在玩“24点”游戏时，小明抽到以下 4张牌，其中红色扑克牌代表正数，黑色扑克牌代表负数，请你 帮他写出2个运算结果为24的算式：___________________，____ ____________________________． 2－(－4)－(－6)×3 2× (－4)×(－6＋3)(答案不唯一) 考点 有理数的混合运算 典例 计算： (1)－14－36÷(－2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,6)－\f(1,18)))×36－23. 解：(1)－14－36÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) ＝－1－36×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－1－6＝－7； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,6)－\f(1,18)))×36－23 ＝eq \f(1,9)×36－eq \f(1,6)×36－eq \f(1,18)×36－8 ＝4－6－2－8＝－12. $$8　用计算器进行计算 开机与清零 关闭 计算器 运算功能 知识点2 用计算器进行计算 用计算器计算时，按键的顺序与_________保持一致． 书写顺序 思路导析 根据计算器的使用方法，结合各项进行判断即可． x －2 －1 0 1 2 3 y －4 －1 2 5 8 11 当从计算器上输入的x的值为－10时，则计算器输出的y的值 为( ) A．－26 B．－30 C．28 D．－28 知识点1 计算器上的按键 计算器中常用的键：①eq \x(ON/C)是 键；②eq \x(OFF)是 键；③eq \x(＋) eq \x(－) eq \x(×) eq \x(÷)是 键；④eq \x(2ndF)是第二功能键，按eq \x(2ndF)再按其他键，会执行该键上方的第二功能；⑤若在中间输入时，输错了数或符号，可用eq \x(DEL)键消除后再输入；⑥eq \x(＝)的功能是完成运算． 【注意】 使用计算器时，要弄清楚键盘上每个键的功能，不同型号的计算器会有所不同，以课本计算器为例： (1)输入负数：先按eq \x(（－）)键，再输入这个数的绝对值；(2)输入分数：先按分子，再按 )eq \x(，再按分母；(3)输入指数不为2的乘方：先按底数，再按eq \x(yx)，再按指数；(4)使用过程中要善用括号键． 考点 用计算器进行计算 典例 使用科学计算器按如图所示的按键顺序输入，则它表达的算式的计算结果是( ) ) eq \x(6)eq \x(（－）) eq \x(3) eq \x(x2) eq \x(－) eq \x(5) eq \x( A.eq \f(39,5)　　 B．－eq \f(51,5)　　 C.eq \f(49,6)　　 D．－eq \f(59,6) 解析：按下列按键顺序输入 ) eq \x(6)eq \x(（－）) eq \x(3) eq \x(x2) eq \x(－) eq \x(5) eq \x(，则它表达的算式是－32－eq \f(5,6)＝－eq \f(59,6). 变式 [2024·中山期中]在计算器上按照下面的程序进行操作： eq \x(输入x) eq \o(——————————→,\s\up20(按键\x(×)\x(3)\x(　)\x(　)\x(＝))) eq \x(显示y（计算结果）) 下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果： $$2.3　绝对值与相反数 知识点1 绝对值与相反数 1．绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与_____之间的距离 叫作这个数的绝对值． 例如，＋2的绝对值是2，记作|＋2|＝2.－2的绝对值是2，记作 |－2|＝2.0的绝对值是0，记作|0|＝0. 原点 2．相反数 (1)符号_____、绝对值_____的两个数，我们称其中一个数为另 一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反 数是__． (2)在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且 与原点的距离相等． 不同 相同 0 【拓展】 数a的相反数是－a. 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是_______，一个负数的绝对值是它的_____ ___，0的绝对值是__． 即对于任何有理数a都有|a|＝ 例如，|－5|＝5，|2|＝2，|0|＝0. 它本身 相反 数 0 【拓展】 (1)若两个数的绝对值相等，则它们相等或互为相反数，即若 |a|＝|b|，则a＝b或a＝－b. (2)任何数的绝对值都不小于它本身，即|a|≥a. (3)距离不可能为负数，因此，任何一个数的绝对值都是非负的， 即|a|≥0.若几个数的绝对值之和为0，则这几个数同时为0. 知识点3 利用绝对值比较大小 两个负数比较大小，绝对值大的_______． 反而小 考点1 绝对值的概念及性质 典例1 [2024·顺义期末]若一个数的绝对值是4，则这个数 是( ) A．0 B．4 C．－4 D．±4 思路导析 本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可求解． 2 024 思路导析 先求出相反数，在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 变式 已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a，b的相反数的位置； (2)若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ (3)在(2)的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相 距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 解：(1)如图， (2)数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10， 所以b表示的数是－10； (3)因为－b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5， 所以a表示的数是5. 思路导析 本题考查了有理数大小的比较，多重符号化简，绝对值的应用，小数分数的互化．根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a<0）.)) 变式 [2025·武汉期中改编]若a是任意的有理数，则式子2 024－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－2 024))的最大值是 ． 考点2 相反数的概念及性质 典例2 [数形结合思想][2024·菏泽期中]在数轴上表示下列有理数及其相反数，再用“＜”把所有表示的数连接起来： －2，－eq \f(7,2)，1. 解：－2，－eq \f(7,2)，1的相反数分别为2，eq \f(7,2)，－1，数轴上表示各数如图： 由图可知－eq \f(7,2)<－2<－1<1<2<eq \f(7,2). 考点3借助绝对值比较有理数大小 典例3 比较下列各组数的大小： (1)－eq \f(2,5)与－0.5； (2)－1eq \f(7,9)与－1eq \f(3,4)； (3)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3.5))与－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,4)))))； (4)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6.5))与－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6.5)). 解：(1)因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))＝eq \f(2,5)＝0.4，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－0.5))＝0.5， 因为0.4<0.5， 所以－eq \f(2,5)>－0.5； (2)因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1\f(7,9)))＝1eq \f(7,9)＝eq \f(64,36)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1\f(3,4)))＝1eq \f(3,4)＝eq \f(63,36)，因为eq \f(64,36)>eq \f(63,36)， 所以－1eq \f(7,9)<－1eq \f(3,4)； (3)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3.5))＝－3.5，－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,4)))))＝－3.25， 因为3.5>3.25， 所以－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3.5))<－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,4)))))； (4)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6.5))＝－6.5，－(－6.5)＝6.5， 因为－6.5<6.5， 所以－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6.5))<－(－6.5)． 变式 [2025·南京期中]已知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))>b，下列推理正确的是( ) A．若a>0，b>0，则a<b B．若a<0，b<0，则a>b C．若a<0，b>0，则a<－b D．若a>0，b<0，则a>－b $$第二章 有理数及其运算 1　从小学算术说起 知识点1 加法 1．加法的意义：把两个数合并成一个数的运算． 2．加法运算 (1)整数、小数的加法：相同数位上的数字对齐，从_____算起， 哪一位上的数相加满十，向前一位进一． (2)分数的加法：①同分母分数相加，分母不变，分子相加． ②异分母分数相加，先_____，再按照同分母分数相加的法则进 行计算． 低位 通分 知识点2 运算律 (1)加法交换律：a＋b＝_____； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝__________； (3)乘法交换律：a×b＝_____； (4)乘法结合律：(a×b)×c＝__________； (5)乘法对加法的分配律：a×(b＋c)＝___________． b＋a a＋(b＋c) b×a a×(b×c) a×b＋a×c 知识点3 表示具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把一个量规定为正的， 而把与这个量意义相反的量规定为负的，用_____来表示． 负数 思路导析 根据加法运算法则直接进行计算即可． 117.4 思路导析 (1)运用乘法分配律；(2)乘法分配律的逆应用； (3)运用乘法交换律． 解：(1)原式＝25； (2)原式＝200 000. 考点3 表示具有相反意义的量 典例3 在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00 m，小明跳 出了2.12 m，记为＋0.12 m．小敏跳出了1.95 m，记为_______m. －0.05 思路导析 先规定其中超过标准的一个为正，则另一个不到标准 的就用负表示，即可解决． 变式 我国古代数学名著《九章算术》一书中明确提出“正负 数”，这是世界上至今发现的最早的详细记载．如果水位上升 7米记作＋7米，那么水位下降3米记作____米． －3 考点1 小学算术的加法 典例1 (1)0.15＋0.06＝ ； (2)2.75＋eq \f(2,3)＋1eq \f(1,6)＝ ． 解：(1)0.21；　(2)4eq \f(7,12). 变式 1＋4eq \f(1,6)＋7eq \f(1,12)＋10eq \f(1,20)＋…＋25eq \f(1,90)＝ ． 考点2 运算律 典例2 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,12)＋\f(3,4)－\f(1,6)))×36； (2)0.2÷3＋0.8×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)； (3)eq \f(1,6)×eq \f(8,15)×6×eq \f(3,4). 解：(1)原式＝eq \f(1,12)×36＋eq \f(3,4)×36－eq \f(1,6)×36＝3＋27－6＝24； (2)原式＝eq \f(1,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(4,5)＋1))×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)； (3)原式＝eq \f(1,6)×6×eq \f(8,15)×eq \f(3,4) ＝1×eq \f(2,5)＝eq \f(2,5). 变式 (1)25÷eq \f(2,3)－25×eq \f(1,2)； (2)40×8×5×125. $$2　认识有理数 2.1　有理数 知识点1 正数和负数的概念 1．正数 ______的数叫作正数，为了明确表达意义，在正数前面加上___， 读作___号． 2．负数 在正数前面加上___(读作___号)的数叫作_____． 大于0 ＋ 正 － 负 负数 3．0既不是正数，也不是负数． 4．“＋”读作“正”，如“＋3”读作“正3”．正号“＋” 通常省略不写，简记为3.“－”读作“负”，如“－8”读作 “负8”． 【注意】 用带有“＋”“－”号的数表示具有相反意义的量时，不要忘写单位． 知识点2 有理数的分类 _____与_____统称为有理数． 整数 分数 【注意】 有限小数和无限循环小数都可化为分数，在分类时，将其看作分数； 无限不循环小数都不是有理数； 现阶段最常接触到两类无限不循环小数：①与π相关的数；②小数数位有一定规律的数，例如：0.202 002 000 2……(每两个2之间逐次增加一个0)． 思路导析 本题考查了正、负数的分类，熟练掌握正负数定义是解题的关键． 变式 下列各数0，－5，－3 ，＋3.1，－2.4，2 025，－20% 中，负数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点2 借助具有相反意义的量解决实际问题 典例2 某中学六年级(1)班的同学在体检中测量了身高，王老师进行记录后，求出了该班同学的平均身高，并作下列分析： (1)如表给出了该班5名同学的实际身高(单位：cm)与王老师记录的数据(其中＋3表示比全班同学的平均身高高3 cm)，请补全该表，并求出该班同学的平均身高； (2)谁最高？谁最矮？ (3)计算这5名同学的平均身高是多少？ 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 实际身高 161 ______ ______ 163 156 老师记录 ＋3 －1 0 ______ ______ 思路导析 (1)根据刘杰的身高及老师记录的数据可求出全班的平均身高，再根据所求的全班的平均身高与已知数据逐一计算，即可补全表格； (2)比较这5名同学身高大小即可得出结论； (3)根据平均数的计算方法可得出这5名同学的平均身高． 解：(1)该班同学的平均身高为161－3＝158(cm)， 从左到右，依次填入表格的是157，158，＋5，－2，如表所示： 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 实际身高 161 157 158 163 156 老师记录 ＋3 －1 0 ＋5 －2 变式 [2024·西城区期末]检测某种零件的质量，将超过标准长 度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如表所示，其中 长度最接近标准长度的零件的编号是__号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm －0.15 ＋0.08 －0.04 ＋0.19 3 考点3 有理数的定义与分类 典例3 把下列各数的序号填在相应的数集内：①＋108　②－　 ③＋3.2　④0 ⑤－6.5　⑥－4　⑦－6　 (1)正数集合{ …}； (2)整数集合{ …}； (3)负分数集合{ …}； (4)非负整数集合{ …}． 思路导析 本题考查了有理数的定义和分类，熟记有理数的分类方法是解题的关键． 解：(1)正数集合{①③…}； (2)整数集合{①④⑥⑦…}； (3)负分数集合{②⑤…}； (4)非负整数集合{①④…}． 1．按定义分类 有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正整数,零,负整数)),分数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正分数,负分数)))) 2．按性质分类 有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正整数,正分数)),零,负有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(负整数,负分数)))) 考点1 认识正数、负数 典例1 [2023·钦州期中]把下列各数填入相应的大括号内(各数用逗号分开)： 6，－3，2.4，－eq \f(3,4)，0，－3.14，eq \f(2,9). 正数：{　　　　　　　　　　　　　 …}； 负数：{　　　　　　　　　　　　　 …}． 解：正数：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(6，2.4，\f(2,9)…))； 负数：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,4)，－3.14…)). eq \f(1,2) (2)由题(1)表可知，张春最高，刘建最矮； (3)eq \f(161＋157＋158＋163＋156,5)＝159(cm)， 答：这5名同学的平均身高为159 cm. eq \f(3,5) 变式 [2025·聊城期末]在－3，－eq \f(2,5)，0，18%，3.141 592 6，1.eq \o(3,\s\up6(·))，0.232 232 223……(每两个3之间依次增加一个2)，π中，有理数的个数是( ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 $$2.2　数轴 知识点1 数轴 在一条水平直线上取一点(称为原点)表示__，选取某一长度作为 _________，规定这条直线上向右的方向为_______，那么相反方 向就是_______．原点右边的点表示_____，原点左边的点表示 _____．这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了． 像这样，规定了_____，_________和_______的直线称为数轴． 通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向． 0 单位长度 正方向 负方向 正数 负数 原点 单位长度 正方向 【注意】 (1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，不能画成射线或线段． (2)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可． (3)原点位置的选取，单位长度的大小都是根据实际而定的． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1．任何一个有理数都可以用数轴上的_______来表示．也可以 说，每个有理数都对应数轴上的_______． 2．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的___ 边，与原点的距离是__个单位长度．表示数－a的点在原点的___ 边，与原点的距离是__个单位长度． 一个点 一个点 右 a 左 a 【注意】 数轴上的点与有理数的关系：任何有理数都可以用数轴上的点 表示，但数轴上的点表示的数不都是有理数，关于这一点，随 着所学知识的增加将逐渐清楚． 知识点3 有理数大小的比较 1．数轴上两个点表示的数，___边的总比___边的大． 2．正数_____0，负数_____0，正数_____负数． 右 左 大于 小于 大于 考点1 数轴上的点与有理数的关系 典例1 [2024·肇庆期中](1)如图，写出数轴上点A，B，C，D 表示的数；(B位于－2和－1的正中间) (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：－ ，4. 思路导析 (1)根据数轴可以直接写出点A，B，C，D表示的数； (2)画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点． 解：(1)由数轴可得，点A，B，C，D表示的数分别是－3，－1.5， 0，2； (2)画出数轴，如图所示： 变式 邮递员从邮局出发，先向西骑行3 km到达A村，继续骑行2 km到达B村，然后向东骑行9 km到达C村，最后回到邮局． (1)如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，1 km为1个单位长度的数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共行驶了多少千米？ 解：(1)如图： (2)C村离A村的距离为3＋4＝7(km)； (3)邮递员一共行驶了3＋2＋9＋4＝18(km)． 考点2 借助数轴比较有理数的大小 典例2 [2023·玉林期中]把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接起来． －4，3，－2.5，0，＋1 思路导析 本题考查了在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小．根据题意将各数表示在数轴上，然后根据“数轴右边的数大于左边的数”比较大小，即可求解． 解：如图所示， －4<－2.5<0<＋1<3. 变式2 如图，观察数轴，回答下列问题： (1)大于－3并且小于3的整数有哪几个？ (2)在数轴上表示到－1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 解：(1)由数轴，得大于－3并且小于3的整数有5个：－2，－1， 0，1，2； (2)在数轴上到表示－1的点的距离等于2个单位长度的点表示的 数是－3和1. eq \f(3,2) 变式1 在图中将数轴补充完整，将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序将各数用“＜”连接起来． ＋3，－4，－2.5，0，1，eq \f(5,2)，－4eq \f(1,2) 解：如图所示： 用“＜”连接为－4eq \f(1,2)＜－4＜－2.5＜0＜1＜eq \f(5,2)＜＋3. $$第2课时　有理数的加法运算律 知识点 有理数的加法运算律 用字母表示： 1．加法交换律：___________． 2．加法结合律：_____________________． a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 思路导析 根据有理数的加法运算法则，正确运用运算律运算 即可． 【规律总结】 在运算时，一定要根据具体情况灵活运用以下规律，以达到简化 运算的目的． (1)互为相反数的两个数可先相加——相反数结合法； (2)同分母的分数可先相加——同分母结合法； (3)几个数相加得整数时，可先相加——凑整法； (4)符号相同的数可先相加——同号结合法； (5)带分数可拆成整数和真分数两部分再相加——同形结合法． 解：(1)原式＝10；　(2)原式＝－5； (3)原式＝－0.5. 考点2 有理数加法的实际应用 典例2 某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如表所示：(单位：千米) (1)求收工时距A地多远，在A地的什么方向； (2)在第 次记录时距A地最远； (3)若每千米耗油0.15升，问共耗油多少升？ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －4 ＋7 －9 ＋8 ＋6 －5 －2 解：(1)(－4)＋7＋(－9)＋8＋6＋(－5)＋(－2)＝1(千米)， 所以收工时在A地的东边1 千米处； (2)由题意，得第一次距A地4千米； 第二次距A地|－4＋7|＝3(千米)； 第三次距A地|－4＋7＋(－9)|＝6(千米)； 第四次距A地|－4＋7＋(－9)＋8|＝2(千米)； 第五次距A地|－4＋7＋(－9)＋8＋6|＝8(千米)； 第六次距A地|－4＋7＋(－9)＋8＋6＋(－5)|＝3(千米)； 第七次距A地|－4＋7＋(－9)＋8＋6＋(－5)＋(－2)|＝1(千米)； 所以在第五次记录时距A地最远， 故答案为：五； (3)(4＋7＋9＋8＋6＋5＋2)×0.15＝41×0.15＝6.15(升)． 答：共耗油6.15升． 变式 请你将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入三阶幻方中(每个数都要用且只用一次)，使得每行、每列、每条对角线三个数之和都相等． 解： 如图所示：(答案不唯一) －3 4 －1 2 0 －2 1 －4 3 考点1有理数的加法运算律 典例1 用适当方法计算： (1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)； (2)4.1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋(－10.1)＋7； (3)29＋399＋4 999＋59 999； (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＋eq \f(7,12)＋1eq \f(9,20)＋eq \f(8,15)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＋eq \f(5,12). 解：(1)原式＝[(＋26)＋(＋18)]＋[(－14)＋(－16)] ＝44＋(－30) ＝14； (2)原式＝(－10.1＋4.1＋7)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))))) ＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)； (3)原式＝(30－1)＋(400－1)＋(5 000－1)＋(60 000－1) ＝(30＋400＋5 000＋60 000)－(1＋1＋1＋1) ＝65 430－4＝65 426； (4)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)＋\f(29,20)＋\f(8,15)＋\f(5,12)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－\f(1,4)）＋（－\f(1,5)）＋（－\f(17,30)）)) ＝eq \f(179,60)＋(－eq \f(61,60) )＝eq \f(59,30). 变式 计算： (1)(－13)＋(＋12)＋(－7)＋(＋18)； (2)(－2.39)＋(＋5.57)＋(－7.61)＋(－0.57)； (3)1eq \f(3,4)＋(－1.5)＋eq \f(5,8)＋(－1.75)＋eq \f(3,8). $$3.3　有理数的加减混合运算 知识点 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算的一般步骤： 1．把_________运算统一成___法运算． 加减混合 加 2．运用加法_______和加法_______简化运算． 例如：(－8)－7＋(－6)－(－5)＝(－8)＋(－7)＋(－6)＋(＋5) ＝－16. 或(－8)－7＋(－6)－(－5)＝－8－7－6＋5＝－21＋5＝－16. (“－8－7－6＋5”可看作－8，－7，－6与5的和) 交换律 结合律 【注意】 (1)运用加法交换律交换加数的位置时，要连同符号一起交换． (2)加减混合运算时，一定要熟悉加减法则，注意符号，灵活 运用运算律． 思路导析 先将各式统一成加法运算，再利用加法运算律进行计算即可． 解：(1)13＋(－24)－25－(－20) ＝13－24－25＋20 ＝13＋20－24－25 ＝33－49 ＝－16； 变式2 请根据图示的对话解答下列问题． 求：(1)a，b，c的值； (2)8－a＋b－c的值． 解：(1)因为a的相反数是3，b＜a，b的绝对值是6，c＋b＝－8， 所以a＝－3，b＝－6，c＝－2； (2)因为a＝－3，b＝－6，c＝－2， 所以8－a＋b－c＝8－(－3)＋(－6)－(－2) ＝8＋3＋(－6)＋2 ＝7. 考点2 有理数加减法的实际应用 典例2 一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下(单位：米): ＋5，－4，＋14，－9，－6，＋12，－12. (1)守门员是否回到了原来的位置？ (2)守门员离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员一共跑了多少路程？ 思路导析 (1)将所有记录数据相加，即可求出守门员最终离球门的位置，从而得出答案； (2)观察记录的数据并计算，取绝对值最大的作为守门员离开球门的最远距离； (3)将所有记录数据取绝对值，再相加即可． 解：(1)5－4＋14－9－6＋12－12＝0， 所以，守门员回到了原来的位置； (2)守门员第一次跑动后离球门距离： |＋5|＝5(米)； 守门员第二次跑动后离球门距离： |＋5－4|＝1(米)； 守门员第三次跑动后离球门距离： |＋5－4＋14|＝15(米)； 守门员第四次跑动后离球门距离： |＋5－4＋14－9|＝6(米)； 守门员第五次跑动后离球门距离： |＋5－4＋14－9－6|＝0(米)； 守门员第六次跑动后离球门距离： |＋5－4＋14－9－6＋12|＝12(米)； 守门员第七次跑动后离球门距离： |＋5－4＋14－9－6＋12－12|＝0(米)； 所以，守门员离开球门的位置最远为15米； (3)守门员一共跑的路程为|＋5|＋|－4|＋|＋14|＋|－9|＋ |－6|＋|＋12|＋|－12|＝62(米)． 变式1 我们定义一种新运算，规定：图形 表示a－b＋c， 图形 表示－x＋y－z，则 ＋ 的值为____． －3 变式2 下面是一页账单，但有一部分破损了．(支出记作“－”， 存入记作“＋”) 日期 (年－月－日) 支出或存入 (单位：元) 结余 (单位：元) 备注 2024－05－26 －120.00 9 546.00 2024－06－12 ＋150.00 2024－06－25 －130.00 2024－07－05 ＋315.00 2024－08－12 －150.00 2024－09－06 －470.00 (1)表格中第三行的“－130.00”代表的含义是 ； (2)请你根据账单中残余的数字，计算出这一页最后的结余． 解：(1)支出130元； (2)9 546＋150－130＋315－150－470＝9 261(元)， 即这一页最后的结余为9 261元． 考点1 有理数的加减混合运算 典例1 计算： (1)13＋(－24)－25－(－20)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)))； (3)－20.75－3.25＋eq \f(1,4)＋19eq \f(3,4)； (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(5,7)))＋15.5－6eq \f(2,7)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,2))). (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋(－eq \f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2))) ＝－eq \f(1,3)－eq \f(5,2)－eq \f(2,3)＋eq \f(1,2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(5,2))) ＝－1－2＝－3； (3)－20.75－3.25＋eq \f(1,4)＋19eq \f(3,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－20.75＋19\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－3.25)) ＝－1－3＝－4； (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(5,7)))＋15.5－6eq \f(2,7)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\f(1,2)))＝－3eq \f(5,7)＋15.5－6eq \f(2,7)－5eq \f(1,2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(5,7)－6\f(2,7)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15\f(1,2)－5\f(1,2))) ＝－10＋10＝0. 变式1 计算： (1)(－4.4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4\f(1,5)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋2\f(1,2)))＋(－2eq \f(7,10))＋12.4； (2)eq \f(3,4)－eq \f(7,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1. 解：(1)原式＝7；(2)原式＝－eq \f(13,4). $$第2课时　有理数的乘法运算律 知识点 有理数的乘法运算律 1．乘法交换律：ab＝ba. 2．乘法结合律：(ab)c＝a(bc)． 3．乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 思路导析 运用有理数的乘法运算律进行求解即可． 【方法技巧】 (1)运用乘法的交换律时，在交换因数的位置时，要连同符号一起交换； (2)运用乘法对加法的分配律时，要用括号外因数乘括号内的每一个因数，不能漏乘，同时还需注意符号问题； (3)对于某些计算，逆用分配律更简便，即ab＋ac＝a(b＋c)． 解：(1)原式＝－1 470；　(2)原式＝2 025； (3)原式＝－38. 考点 有理数的乘法运算律 典例 计算： (1)(－8)×eq \f(1,2)×(－0.25)×6； (2)－24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(3,4)－\f(1,3)))； (3)－19eq \f(18,19)×19； (4)－150×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))－25×0.125＋50×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))). 解：(1)原式＝(8×0.25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))＝2×3＝6； (2)原式＝－24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋(－24)×eq \f(3,4)＋(－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝12－18＋8＝2； (3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－20＋\f(1,19)))×19＝－20×19＋eq \f(1,19)×19＝－380＋1＝－379； (4)原式＝150×eq \f(1,8)－25×eq \f(1,8)－100×eq \f(1,8)＝(150－25－100)×eq \f(1,8)＝25×eq \f(1,8)＝eq \f(25,8). 变式 计算：(1)98×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－15))； (2)2 025×3eq \f(24,25)＋2 025×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,25)))－2 025×2eq \f(23,25)； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(5,26)＋\f(2,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－26)). $$