第二章有理数及其运算（期中知识清单）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第二章 有理数及其运算　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识有理数 1.1 具有相反意义的量 “加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面的距离与低于海平面的距离”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用”““”来表示。 示例：”加 分”记为 分，“扣 分”就记为 分。 1.2 正数与负数 像 ，，，……都是正数。像 ，，，……都是负数。0 既不是正数，也不是负数。 “”读作”正”，如”“读作”正 3”。正号”“通常省略不写，简记为 。”“读作”负”，如”“读作”负 8”。 示例： 是正数， 是负数， 既不是正数，也不是负数。 1.3 有理数的概念与分类 整数与分数统称有理数（rational number）。 类别 例 正整数 如 ，，，…… 零 负整数 如 ，，，…… 正分数 如 ，，，…… 负分数 如 ，，，…… 示例：，，，， 都是有理数，其中 是正整数， 是负整数， 是正分数， 是负分数。 1.4 数轴 规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向。 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 图1：规定了原点、单位长度和正方向的数轴 示例：在这条数轴上， 可以用位于原点右边 个单位长度的点表示， 可以用位于原点左边 个单位长度的点表示。 1.5 相反数 像 与 ， 与 ， 与 这样符号不同、绝对值相同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地， 的相反数是 。 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。 示例： 的相反数是 ； 的相反数是 ； 的相反数是 。 1.6 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值。通常用 表示数 的绝对值。 图2：数轴上表示 、、 的点与原点的距离 数的取值 绝对值 正数 正数的绝对值是它本身 负数 负数的绝对值是它的相反数 的绝对值是 的相反数为 。 示例：，，。 1.7 有理数的大小比较 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于 ，负数小于 ，正数大于负数。 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 示例：，因为 ，，且 。 2. 有理数的加减运算 2.1 有理数的加法法则 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。 一个数同 相加，仍得这个数。 示例：；；；。 2.2 互为相反数的两个数的和 如果 ， 互为相反数，那么 ；反之，如果 ，那么 ， 互为相反数。 示例： 与 互为相反数，。 2.3 有理数的加法运算律 加法交换律、加法结合律在有理数范围内仍然成立。 加法交换律：；加法结合律：。 示例：。 2.4 有理数的减法法则 有理数减法法则：减一个数，等于加这个数的相反数。 示例：；。 2.5 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。 示例： 可以看成 ，，， 这 个数的和。 3. 有理数的乘除运算 3.1 有理数的乘法法则 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 相乘，积仍为 。 示例：；；。 注意：一个数乘 ，所得的积就是它的相反数。 3.2 倒数 如果两个有理数的乘积为 ，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 示例： 与 互为倒数， 与 互为倒数。 3.3 多个有理数相乘 几个不等于 的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定。当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正。积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。 几个数相乘，有一个因数为 时，积就为 。 示例：，负因数有 个，积为正。 3.4 有理数的乘法运算律 乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律在有理数范围内仍然成立。 乘法交换律：；乘法结合律：；乘法对加法的分配律：。 示例：。 3.5 有理数的除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 除以任何非 的数都得 。 注意： 不能作除数。 除以一个数等于乘这个数的倒数。 示例：；。 4. 有理数的乘方 4.1 乘方及相关概念 一般地， 个相同的因数 相乘，记作 。这种求 个相同因数 的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂， 叫作底数， 叫作指数， 读作” 的 次幂”（或” 的 次方”）。 示例：；；。 注意：，它表示 的相反数；，它表示 的 次幂，两者的底数不同。 4.2 科学记数法 一般地，一个大于 的数可以表示成 的形式，其中 ， 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。 示例：；。 5. 有理数的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 示例：。 6. 近似数 在许多情况下，很难取得准确数，或者没有必要使用准确数，可以使用近似数。 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 示例：（精确到个位）；（精确到 ）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相反数、绝对值、倒数的基本关系 一个数 的相反数是 ，即 ；互为相反数的两个数之和为 ，即 ；互为倒数的两个数之积为 ；，且 ， 当且仅当 。 1.2 负数的幂的符号规律 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。特别地，，（ 为正整数）。如 ，。 1.3 与 的区别 表示 个 相乘，底数是 ； 表示 的相反数，底数是 。如 ，而 。 1.4 平方的非负性 任何一个有理数的平方都是非负数，即 ，且 当且仅当 。如 恒成立。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加减混合运算的步骤 先统一成加法（把减法化为加相反数），再运用加法交换律、结合律把同号数或互为相反数的数先合并，最后依次相加。如 。 2.2 有理数乘法符号的判断 先看负因数的个数定符号（奇负偶正），再算绝对值之积。如 ，负因数有 个，积为负，。 2.3 绝对值的化简 （当 时），（当 时）。如 ；若 ，则 。 2.4 相反数、绝对值、倒数综合 一个数 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 （）。如 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 负数比较大小 两个负数，先比绝对值，绝对值大的反而小 ，因 用数轴比大小 数轴上右边的数总比左边的大 运算律凑整 同号先合并、互为相反数先抵消、凑整十整百 分配律简便 把括号外的因数分配给每一项，先约分再相加 带分数化假分数 乘除混合时先把带分数化为假分数，统一为乘法 4. 常见考试模型 4.1 数轴与绝对值（点到原点的距离） 公式： 表示数轴上表示 的点与原点的距离；数轴上两点 、 表示的数分别为 、，则 、 两点间的距离为 。 限定：距离是非负数，。 示例：如 、 两点表示的数分别为 和 ，则 。 4.2 概念辨析（正数、负数、相反数、绝对值、倒数） 公式： 既不是正数也不是负数； 的相反数是 ，绝对值是 ，没有倒数；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 限定： 不能作除数，故 没有倒数。 示例：如 ；； 的倒数是 。 4.3 科学记数法表示大数 公式：大于 的数写成 （， 为正整数）， 等于原数整数位数减 。 限定： 必须是大于或等于 且小于 的数， 是正整数。 示例：如 ，共 位整数，。 4.4 精确度的判断 公式：近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位。 限定：”42.3 万”精确到千位，“960 万”精确到万位。 示例：如 精确到百分位； 精确到千分位。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把 0 归入正数或负数 典例：判断”一个数不是正数，就是负数”是否正确。 错解：正确。因为正数和负数已经包括了所有的数。 正解：不正确。因为 既不是正数，也不是负数。一个数如果不是正数，可能是负数，也可能是 。 原因：概念理解错误。学生把”正数”和”负数”看作对全体数的完整分类，忽略了 这个特殊数。引入负数后，容易把”非正即负”的直觉直接套用，漏掉” 既不是正数也不是负数”这一规定。 易错点 2：把”符号不同”当作”互为相反数”的充分条件 典例：判断”符号不同的两个数互为相反数”是否正确。 错解：正确。如 与 符号不同，它们互为相反数。 正解：不正确。互为相反数的两个数必须同时满足”符号不同”且”绝对值相同”。如 与 虽然符号不同，但绝对值不同，不是相反数； 的相反数是 。 原因：概念条件遗漏。学生记住了”符号不同”这个显眼特征，忽略了”绝对值相同”这一关键限定。相反数的两个条件缺一不可，判断时要逐个核对。 易错点 3：负数的绝对值仍取负数 典例：求 的绝对值。 错解：。 正解：。因为负数的绝对值是它的相反数， 的相反数是 。 原因：把绝对值与数本身混淆。绝对值表示的是点到原点的”距离”，距离一定是非负数，故 ，不能是负数。学生误以为”绝对值”只是把符号去掉，对负数处理时仍保留负号。 易错点 4：两个负数比较大小套用正数规律 典例：比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 。 正解：因为 ，，且 ，所以 。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 原因：把正数比较大小的规律直接迁移到负数。学生对” 在数轴上位于 的左边”缺乏直观，只是机械套用”数字大的数大”。两个负数比较时，绝对值越大，这个数在数轴上越靠左，反而越小。 易错点 5：混淆 与 典例：计算 。 错解：。 正解：。 表示 的相反数，底数是 ；而 ，底数是 。 原因：底数判断错误。学生把 中的负号误当作底数的一部分，没有区分”（ 的相反数）“与”（ 的 次幂）“。带负号且无括号的乘方，负号在幂运算之外。 易错点 6：把乘法分配律错误迁移到除法 典例：计算 。 错解：。 正解：先算括号里面的：。 原因：运算律迁移错误。乘法对加法的分配律是 ，但除法没有分配律，即 。学生把乘法的分配律错误套用到除法上，遇到”一个数除以一个和”时，必须先算括号再除。 学科网（北京）股份有限公司 $