第一章 有理数（绝对值培优专题）2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

非同一般的绝对值（培优专用） 1、 代数视角 1.绝对值的代数意义（去绝对值法则）：｜a｜= 2.|非负|=本身；｜非正｜=相反数. 3.变式结论：①若|a|=a,则a0；②若｜a|=-a,则a0；③｜a｜ 典题训练 1.若｜a-3|=a-3,则a的取值范围是 . 2.｜a｜=5，｜b｜=3，ab,则｜a+b｜= . 3.已知｜a｜=5，｜b｜=3，且｜a-b｜=b-a，那么a+b的值为 . 4.已知｜｜=3，｜｜=5，，求的值. 5.有理数a,b,c在数轴上的位置如图，化简：｜c-a｜-｜a+b｜+｜b-c｜. 2、 几何视角 ｜a｜的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离。 ｜｜的几何意义：数轴上表示的点与表示a的点之间的距离。 典题训练 1.若｜3a-6｜=18，则a的值为 . 2.若｜a-6｜=2a,则a的值为 . 3.已知｜m-2｜=10,求｜m+1｜的值. 4.数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为，若A,B两点之间的距离为11，求的值. 5.若｜m-4｜=｜m-16｜，求m的值. 6.若｜t+4｜+｜t-1｜+｜t-8｜=12，请结合数轴，求t的值. 三、非负性 1.,绝对值无负数. 2.若｜a｜+｜b｜=0，则a=0且b=0. 3.若｜a｜+=0，则a=0且b=0. 典题训练 1.若，求的值. 2. 3. 四、分类讨论 1. ,若a,则值为1；若a,则值为-1. 2.,①a,b同正，值为1+1=2； ②a,b同负，值为-1-1=-2；③a,b异号，值为1-1=0. 典题训练 1. 2. 3. 4. 五、零点分段 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点。 方法：①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值。 易错点：分类不明确，不会去绝对值。 例如：化简｜｜+｜｜（） . . 典题训练 1.化简：｜｜+｜｜. 2. 3 非同一般的绝对值典题训练参考答案 1、 代数视角 1. 2.8 3.-2或-8 4.解：∵｜｜=3，｜｜=5，∴ ∵，∴. 5. 解：由数轴可知 ∴原式= = = 2、 几何视角 1.8或-4 2.2 3.解：｜m-2｜的几何意义是数轴上表示数m和2两点之间的距离. 当m在2的左侧即时，｜m-2｜=2-m=10,m=-8,此时｜m+1｜=｜-8+1｜=7；当m在2的右侧即时，｜m-2｜=m-2=10,m=12,此时｜m+1|=｜12+1｜=13； 综上所述，｜m+1｜的值为7或13. 4.解：依题意，得｜｜=11，∴ 5.解：｜m-4｜=｜m-16｜的几何意义是，数轴上表示数m的点到表示数4和16这两个点的距离相等，所以m必定在4和16之间，∴｜m-4｜=m-4,｜m-16｜=16-m, ∴m-4=16-m,解得m=10. 6.解：｜t+4｜+｜t-1｜+｜t-8｜=12的几何意义是，数轴上表示数t的点到表示数-4，1，8这三个点的距离之和为12，只有当表示数t的点与表示数1的点重合时，距离之和才等于12，表示数t的点在其它位置时，距离都大于12，所以t=1. 三、非负性 1.分析：几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0. 解：∵, ∴解得a=-2,b=3. 2.解：由已知，得｜a-1｜+｜b-2｜=0,又∵ ∴a-1=0且b-2=0,解得a=1,b=2. ∴a-3b=1-6=-5. 3.解： ∴ ∴｜a-2｜+｜b-5｜=0, ∴a-2=0且b-5=0,解得a=2,b=5. ∴a+b=2+5=7. 四、分类讨论 1. 解：分四种情况讨论： ①a,b,c全正，原式=1+1+1=3； ②两正一负，原式=1+1-1=1； ③一正两负，原式=1-1-1=-1； ④a,b,c全负，原式=-1-1-1=-3. 综上所述，原式的值为 2.解： 或4个.① ②. 综上所述，原式的值为1或-3. 3.解： ①若两正一负，则原式= ②若一正两负，则原式=-1+1+1=1. ∴原式的值为 4.解：∵原式的值由a,b,c三个数中负数的个数决定，∴分四种情况讨论：①三个数全部为正数时，原式=1+1+1+1=4；②三个数中一负两正时，原式=-1+1+1-1=0；③三个数中两负一正时，原式=-1-1+1+1=0； ④三个数全部为负数时，原式=-1-1-1-1=-4. 综上所述，原式的值为 3、 零点分段 1. 解： ∴零点为3和-4，分以下三种情况讨论： ① ②时，原式=3- ③ 综上所述， 2. 解：先找零点， ①② ③ 综上所述， 3. 解：找到零点3，-2，结合可以分为以下两段进行分析： 当时，｜｜-｜｜=3- 当时，｜｜-｜｜=3-=5. 综上可得最小值为-3，最大值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$