13.3.1 三角形的内角同步练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.3.1 三角形的内角 第1 课时 三角形的内角和 基础夯实 知识点 1 三角形内角和定理 1.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是 180°”的是 ( ) 2.在△ABC中,∠A:∠B :∠C=1:3:4,则△ABC 中最大的内角度数为 ( ) A.80° B.90° C.100° D.120° 3.多解法「2025 天津津南月考」如图,点E,D分别在AB,AC上,若∠B=30°,∠C=55°,则∠1+∠2的度数为 A.85° B.80°( ) C.75° D.70° 知识点 2 三角形内角和定理的应用 4.「2025广西来宾期中」如图,△ABC 缺了一个角,测得∠A=70°,∠B=24°,则∠C的度数是 ( ) A.84° B.86° C.96° D.66° 5.如图,∠A=70°,BP,CP 分别平分∠ABC 和∠ACB,则∠P的度数是 . 6.「2023湖北十堰中考」一副三角尺按如图所示的方式放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC= . 7.如图,在△ABC 中,∠A=46°,CE 是∠ACB 的平分线,交AB于点 E,点 B,C,D在同一条直线上,FD∥EC交AB 于点F,∠D=42°,求∠B的度数. 8.轮船在 B 如图，轮船在 B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，半小时到达 C处，在C处观测灯塔 A 位于北偏东 60°方向上，求∠A 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 能力提升三角形 第十三章 9.「2025河北唐山月考, 如图,在△ABC 中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC 于点 E,则∠BDE的度数是 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 10.「2024河南南阳月考，」如图，在三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=80°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外的点 C'处.若∠2=35°,则∠1的度数为 ( ) A.115° B.105° C.95° D.85° 11.「2023江苏徐州中考, 77」如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C= °. 12.当三角形中一个内角β是另外一个内角α的 时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α是这个“友好三角形”的“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为 . 13.「2024甘肃兰州期末, )如图,在△ABC中,CD 平分∠ACB,CD交边AB 于点 E,在AE上取点 F,连接DF,使∠D=∠1. (1)求证:DF∥BC. (2)当∠A=36°,∠DFE=34°时,求∠2的度数. 素养提优 14.新推理能力已知，如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称为“8字形”.试解答下列问题： (1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系： . (2)仔细观察，在图2 中，“8字形”的个数为 (3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB 和∠BCD的平分线AP 和 CP 相交于点 P,并且与 CD、AB分别相交于点 M、N,利用(1)的结论，试求∠P的度数. (4)当图2中∠D 和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结论即可) 第2课时 直角三角形的两个锐角互余 基础夯实 知识点1 直角三角形的性质 1.「2024广西南宁期中」如图,已知AC⊥BC于点 C,CD⊥AB 于点 D,∠A=56°,则∠DCB 的度数是( ) A.30° B.45° C.56° D.60° 2.如图，直线a∥b，将直角三角尺按如图所示的方式摆放，直角三角尺两个顶点分别在直线a，b上，则图中与∠1互余的角有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.「2025河南郑州期中」如图,在△ABC中,∠C=46°,∠BAC=80°,△ABC的高AD 和角平分线 BE 交于点 F.求∠AFE 的度数. 知识点 2 直角三角形的判定 4. 如图,点E 是△ABC中AC边上的一点,过E作ED⊥AB,垂足为D,若∠1=∠2,则△ABC是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图,BD 平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD 是 三角形. 能力提升 6.「2024福建漳州一模,」下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:5:6;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC 是直角三角形的条件有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.「2025山西忻州期中，〔如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC,∠C=90°,并画出了两锐角的平分线AD，BE 及其交点F.小明发现，无论怎样变动Rt△ABC 的形状和大小，∠AFB 的度数是定值，则这个定值为 ( ) A.135° B.150° C.120° D.110° 8.「2024四川凉山州中考, 」如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB的平分线，则∠AEB 的度数是 . 9.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB 边上,将△CBD沿 CD 折叠,使点 B 恰好落在AC边上的点 E 处.若∠A=25°,则∠CDE= 13.3.1 三角形的内角 第1 课时 三角形的内角和 基础夯实 知识点 1 三角形内角和定理 1.解释教材在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是 180°”的是(C) C D 2. 在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:3:4,则△ABC中最大的内角度数为 (B) A.80° B.90° C.100° D.120° 3.多解法「2025天津津南月考」如图,点E,D 分别在AB,AC上,若∠B=30°,∠C=55°,则∠1+∠2的度数为（A） A.85° B.80° C.75° D.70° 知识点 2 三角形内角和定理的应用 4.「2025广西来宾期中」如图,△ABC 缺了一个角,测得∠A=70°,∠B=24°,则∠C 的度数是 (B) A.84° B.86° C.96° D.66° 5.如图,∠A=70°,BP,CP 分别平分∠ABC 和∠ACB,则∠P 的度数是 125°. 6.「2023湖北十堰中考」一副三角尺按如图所示的方式放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC= 100°. 7.如图,在△ABC 中,∠A=46°,CE 是∠ACB 的平分线,交AB于点 E,点 B,C,D在同一条直线上,FD∥EC交AB 于点 F,∠D=42°,求∠B的度数. 解析 ∵FD∥EC,∠D=42°,∴∠BCE=∠D=42°,∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACB=2∠BCE=84°,∵∠A=46°,∴∠B=180°-84°-46°=50°. 8.塑料数材如图，轮船在 B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船从 B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，半小时到达 C处，在C处观测灯塔 A 位于北偏东 60°方向上，求∠A 的度数. 能力提升三角形 第十三章 9.「2025河北唐山月考, 」如图,在△ABC 中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC 于点D,DE∥AB,交BC 于点 E,则∠BDE 的度数是 (B) A.30° B.40° C.50° D.60° 10.「2024河南南阳月考，」如图，在三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=80°,将纸片的一角折叠,使点C 落在△ABC外的点 C'处.若∠2=35°,则∠1的度数为 (A) A.115° B.105° C.95° D.85° 11.「2023江苏徐州中考, 如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C= 55 °. 12.当三角形中一个内角β是另外一个内角α的 时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α是这个“友好三角形”的“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为 54°或108°或84°. 13.「2024甘肃兰州期末, 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,CD交边AB 于点 E,在AE上取点 F,连接DF,使∠D=∠1. (1)求证:DF∥BC. (2)当∠A=36°,∠DFE=34°时,求∠2的度数. 解析 答案(1)证明:∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠DCB=∠1, ∵∠D=∠1,∴∠DCB=∠D,∴DF∥BC. (2)∵ DF∥BC,∠DFE=34°,∴ ∠B =∠DFE=34°, 在△ABC中,∠A=36°,∠B=34°, ∵ CD 平分∠∠ 素养提优 14.新推理能力已知，如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称为“8字形”.试解答下列问题： (1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： . (2)仔细观察，在图2 中，“8字形”的个数为 (3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB 和∠BCD的平分线AP 和 CP 相交于点 P,并且与CD、AB分别相交于点 M、N,利用(1)的结论，试求∠P的度数. (4)当图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结论即可) 第2课时 直角三角形的两个锐角互余 基础夯实 知识点 1 直角三角形的性质 1.「2024广西南宁期中」如图,已知AC⊥BC于点 C,CD⊥AB 于点 D,∠A=56°,则∠DCB 的度数是(C) A.30° B.45° C.56° D.60° 2.如图，直线a∥b，将直角三角尺按如图所示的方式摆放，直角三角尺两个顶点分别在直线a，b上，则图中与∠1互余的角有 (C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.「2025河南郑州期中」如图,在△ABC 中,∠C=46°,∠BAC=80°,△ABC的高AD 和角平分线 BE 交于点 F.求∠AFE 的度数. 答案解析 ∵∠C=46°,∠BAC=80°,∴∠ABC=180°-∠C-∠BAC=54°,∵BE是∠ABC的平分线, ∵AD 是△ABC 的高, ∴AD⊥BC,∴∠BFD=90°-∠DBF=63°,由对顶角相等得∠AFE=∠BFD=63°. 知识点 2 直角三角形的判定 4.教材如图，点E 是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB,垂足为D,若∠1=∠2,则△ABC是 (A) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图,BD 平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD是 直角 三角形. C 能力提升 6.下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:5:6;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC 是直角三角形的条件有 (C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.「2025山西忻州期中，」如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC,∠C=90°,并画出了两锐角的平分线AD，BE及其交点F.小明发现，无论怎样变动Rt△ABC 的形状和大小，∠AFB 的度数是定值，则这个定值为 (A) A.135° B.150° C.120° D.110° 8.「2024四川凉山州中考, 」如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB的平分线,则∠AEB 的度数是 100°. 9.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好落在AC边上的点 E 处.若∠A=25°,则∠CDE= 70°. 学科网（北京）股份有限公司 $$