21.3 实际问题与一元二次方程（同步课堂）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 目录 题型01 传播问题 4 题型02 单循环问题 6 题型03 双循环问题 8 题型04 平均变化率问题 10 题型05 商品销售问题 12 题型06 图形面积问题 15 题型07 动态几何问题 18 建体系 新知廊 知识点1：列一元二次方程解应用题 列方程解应用题是指先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题． 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤 审→设→找→列→解→检→答 （1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各量之间的关系． （2）设：设元，也就是设未知数，可直接设未知数或间接设未知数． （3）找：根据题目中的关键语句，找出等量关系． （4）列：根据等量关系列出一元二次方程． （5）解：解一元二次方程，求出未知数的值． （6）验：检验所求解的合理性． （7）答：写出答案，应遵循“问什么答什么的原则”． 2．列一元二次方程解决实际问题时应注意： （1）注意各类实际问题中常见的等量关系． （2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来 （3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位． （4）一般情况下一元二次方程有两个解，要注意检验方程的解是否符合题意以及使实际问题有意义． （5）由一元二次方程解得的根要符合实际情况，如人数必须为自然数，几何图形中的长度、面积等为正数，银行存款利率不能为负． 知识点2：常见题型 1．传播问题 （1）列方程的依据：传染源＋第一轮被传染的数量＋第二轮被传染的数量＝两轮传染后的总数． （2）传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为． 2．平均变化率问题 公式：a（1±x）n=b． a其中是变化前的数量； b是变化后的数量； n是变化的年数或次数． 3．数字问题 （1）一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b； （2）一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c． 4．利润问题 利润=售价一进价． 利润率==． 售价=进价×（1+利润率）． 打折后的价格=售价×打折数×． 总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． 5．存款利息问题 税前利息=本金×利率×期数． 求甚解 1．几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式． 【注意】求不规则图形分割或组合成规则图形的面积，可利用割补法求面积的和或差． 2．单循环、双循环问题 （1）单循环问题（握手、两队打一场比赛）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为； （2）双循环问题（两队打两场比赛、互赠卡片）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为． 练题型 题型01 传播问题 典型例题 典例 01 （2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【答案】C 【分析】由每轮传染中平均1人传染x人，可得出第一、二轮被传染的人数，结合经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均1人传染x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•武鸣区期中）近期爆发的流感，叫甲型H1N1流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 【答案】D 【分析】由每一轮传染中平均每人传染了x人，可得出第一轮及第二轮传染中被感染的人数，结合经过两轮传染后共有81人患了流感，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每一轮传染中平均每人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•崂山区期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 【答案】D 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•西山区校级月考）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后共有196台电脑被感染．则每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】设每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为x台，则第一轮感染中有x台电脑被感染，第二轮感染中有x（1+x）台电脑被感染，根据两轮感染后有196台电脑被感染，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为x台，则第一轮感染中有x台电脑被感染，第二轮感染中有x（1+x）台电脑被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝196， 解得：x1＝13，x2＝﹣15（不符合题意，舍去）， ∴每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为13台． 故选：B． 题型02 单循环问题 典型例题 典例 02 （2025春•利津县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝66 C． D．x（x+1）＝66 【答案】A 【分析】利用握手的总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得x（x﹣1）＝66． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•铜梁区期末）某地足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝45 B． C．x（x﹣1）＝45 D． 【答案】D 【分析】根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有x个队参加比赛，则列式，即可作答． 【解答】解：设共有x个队参加比赛，依据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场，得得： ， 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•洪雅县期末）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴x的值为9． 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•河北区期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则九年级参赛的班级个数为 　　 ． 【答案】9． 【分析】设九年级共有x个班，利用比赛的总场数＝九年级的班级数×（九年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设九年级共有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得x2﹣x﹣72＝0， 解得x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9， 所以九年级共有9个班． 故答案为：9． 题型03 双循环问题 典型例题 典例 03 （2024秋•端州区校级期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了2450本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝2450 B． C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x+1）＝2450 【答案】A 【分析】由全班人数，可得出每位同学需赠送出（x﹣1）本图书，再利用全班互赠图书的总本数＝全班人数×每位同学赠送图书数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，且全班共有x名同学， ∴每位同学需赠送出（x﹣1）本图书． 根据题意得：x（x﹣1）＝2450． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2023秋•大足区期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．2x（x+1）＝1560 D．x（x﹣1）＝1560 【答案】D 【分析】利用赠送小礼物的总数量＝参会人数×（参会人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵参加这次聚会的人数为x，且同学们互送一件不同的小礼物， ∴每人需送出（x﹣1）件小礼物． 根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 　　 ． 【答案】x（x﹣1）＝90． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝90． 故答案为：x（x﹣1）＝90． 【变式练3】　（2024秋•南昌县期中）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】6个． 【分析】设应邀请x个球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝30， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：应邀请6个球队参加比赛． 题型04 平均变化率问题 典型例题 典例 04 （2025春•霞山区校级期末）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．3000（1+x2）＝5000 B．3000x2＝5000 C．3000（1+x）2＝5000 D．3000（1+x%）2＝5000 【答案】C 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元”，可以分别用x表示2021以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2022的教育经费为：3000×（1+x）万元， 2023的教育经费为：3000×（1+x）2万元， 那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•沈阳模拟）摩拜共享单车计划2023年第三季度（7，8，9月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（　　） A．3000（1+x）2＝12000 B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000 C．3000（1﹣x）2＝12000 D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000 【答案】D 【分析】8月投放摩拜单车3000（1+x）台，9月投放摩拜单车3000（1+x）2台，由此即可列出方程求解． 【解答】解：由题意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•杭州期末）某超市一月份的营业额为250万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，到三月底，这三个月总营业额为910万元．设营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为（　　） A．250（1+x）2＝910 B．250+250（1+2x）＝910 C．250（1+2x）＝910 D．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910 【答案】D 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝910万元，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵一月份的营业额为250万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为250×（1+x）， ∴三月份的营业额为250×（1+x）×（1+x）＝250×（1+x）2， ∴可列方程为250+250×（1+x）+250×（1+x）2＝910， 故选：D． 【变式练3】　（2025春•义乌市校级期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　） A．9% B．10% C．19% D．20% 【答案】B 【分析】设每月的下降率为x，利用3月份的房价＝1月份的房价×（1﹣每月的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：设每月的下降率为x， 依题意得：20000（1﹣x）2＝16200， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 故选：B． 题型05 商品销售问题 典型例题 典例 05 （2025•镜湖区校级一模）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为 　　 个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）500； （2）50元/个． 【分析】（1）利用月销售量＝600﹣10×（售价﹣40），即可求出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为（1000﹣10x）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：当售价为50元/个时，月销售量为600﹣10×（50﹣40）＝600﹣10×10＝500（个）． 故答案为：500； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为600﹣10×（x﹣40）＝（1000﹣10x）个， 根据题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80， 又∵尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝50． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 即学即练 【变式练1】　（2023秋•霸州市期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 【答案】D 【分析】当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50]台，利用总利润＝每台的销售利润×月销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50]台， 根据题意得：（x﹣80）[50]＝2500． 故选：D． 【变式练2】　（2024春•海阳市期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当每顶帐篷降价x元时，每顶帐篷利润为（200﹣x）元，平均每天可售出（604）顶，利用总利润＝每顶帐篷的销售利润×日销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每顶帐篷降价x元时，每顶帐篷利润为（200﹣x）元，平均每天可售出（604）顶， 根据题意得：（200﹣x）（604）＝12160． 故选：B． 【变式练3】　（2024春•姑苏区校级期末）某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件80元销售时，每天销售量是20件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件40元，设每件T恤降价x元，如果服装店一天能赢利1000元，可列方程为（　　） A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（80﹣x）（20+x）＝1000 C．（40﹣x）（20+4x）＝1000 D．（80﹣x）（20+4x）＝1000 【答案】C 【分析】设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为4x件，每件的利润为（40﹣x），由总利润＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可； 【解答】解：由题意，得（40﹣x）（20+4x）＝1000， 故选：C． 题型06 图形面积问题 典型例题 典例 06 （2025•衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864 【答案】A 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•盐城一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【答案】D 【分析】根据篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵篱笆的总长为18米，AB的长为x米， ∴BC的长为18+2﹣3x＝（20﹣3x）米． 根据题意得：x（20﹣3x）＝40． 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•安次区期末）如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝400 B．20×15﹣2x＝400 C．（20﹣2x）（15﹣x）＝400 D．（20﹣x）（15﹣2x）＝400 【答案】C 【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（20﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可． 【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（20﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的矩形， 根据题意知：（20﹣2x）（15﹣x）＝400． 故选：C． 【变式练3】　（2025春•蜀山区期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为 　　 m． 【答案】2． 【分析】设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形，根据栽种花草的面积为60m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形， 依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝60， 整理得：x2﹣20x+36＝0， 解得：x1＝2，x2＝18（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为2m． 故答案为：2． 题型07 动态几何问题 典型例题 典例 07 （2024秋•涪城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 【答案】A 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为12cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为12cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝12， 解得t1＝2，t2＝6（当t＝6时，BQ＝12，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为12cm2． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2023秋•张掖期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　） A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟 【答案】B 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•端州区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．那么运动几秒后，△PBQ的面积为15cm2？ 【答案】动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 【分析】设动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． 答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 【变式练3】　（2024•城关区校级模拟）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　　 ，BP＝　　 ，CQ＝　　 ，DQ＝　　 （用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【答案】（1）3t cm，（16﹣3t）cm，2t cm，（16﹣2t）cm； （2）t＝5； （3）t或． 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$