宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

银川一中2026届高三年级第一次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．复数，则的虚部为 A． B． C．1 D． 2．已知全集，集合，，则图 中阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 3．函数f(x)=的部分图象大致为 A. B. C. D. 4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐 标为 A． B． C． D． 5．已知随机变量，，，则的最小值为 A． B． C． D． 6．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范 围是 A．[–1，0） B．[–1，+∞） C．[0，+∞） D．[1，+∞） 7．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值 范围是 A． B． C． D． 8． 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二 乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线 的斜率为2.1，则数据的残差为 A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．下列命题是真命题的是 A．命题“，”的否定是“，” B．若且，则 C．“”是“”的一个必要不充分条件 D．函数与是同一个函数 10．在下列关于二项式的命题中，正确的是 A．在的展开式中，常数项为60 B．的展开式中，的系数为5 C．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 D．若，则 11．已知函数，若其图象上不同两点、B关于原点对称，则称、B两点为函数的一对“亲密点”，下列说法正确的是 A．不可能有三对“亲密点” B．若仅有一对“亲密点”，则 C．若，则有两对“亲密点” D．当时，对任意的，总是存在使得 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．函数的单调递增区间是 . 13．要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是 ． 14．已为函数，，函数有个不同的零点，，，，且，则的取值范围是 ． 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(13分) 已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 16．(15分) 某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 17．(15分) 银川是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好 地了解游客对银川旅游体验的感受，银川市旅游部门随机选择 100名游客对银川旅游体验进行满意度评分（满分100分）， 根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对银川旅游体验满意度评分的平均 数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 18．(17分) 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 19．(17分) 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两根，求的取值范围； (3)证明：当时，． 高三第一次月考数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学第一次月考参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C B B A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 24 1．【答案】D【详解】由，虚部为. 2．【答案】B【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合是， ， 则，所以． 3．【答案】A [解析] 由函数f(x)=,可得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称, 当x>0时,ex-e-x>0,x2-sin2x+1>0,所以f(x)>0,D符合题意.故 4．【答案】C【详解】因为，，，所以，则， 所以向量在向量上的投影向量坐标为. 5．【答案】C【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，则，所以，且，，即，所以，当且仅当，即时，取等号. 6．【答案】B【详解】画出函数的图像，在y轴右侧 的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过 点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动， 都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有 两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即. 7．【答案】B【详解】当时，恒成立，即时，恒成立，设，则单调递减，而在上恒成立，即在上恒成立，所以. 8．【答案】A【详解】因，则，则. 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：. 则的估计值为，则数据的残差为. 9．【答案】BC【详解】对于A，，”的否定是，，故A为假命题； 对于B选项，若且，则 ，所以，即， 不等式的两边同时除以，可得，故B正确，是真命题； 对于C选项，解不等式可得，由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件，即“”是“”的一个必要不充分条件，故C正确，是真命题. 对于D，函数定义域为R，函数定义域为，定义域不同两函数不是同一个函数，D选项为假命题. 10．【答案】ABD【详解】对于A，二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故A正确； 对于B，展开式中的系数为，故B正确. 对于C，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项，所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或，此时或，解得或，故C错误； 对于D，令，可得， 令，可得，所以，故D正确. 11．【答案】ACD【详解】若和互为亲密点，不妨设，则，即， 令，则，令，则， 所以单调递减，注意到和同号，且，所以当时，即，在上单调递增，当时，即，在上单调递减， 从而即可在同一平面直角坐标系中作出的图象以及直线的图象，如图所示， 不可能有三对“亲密点”，故A正确， 当或时，仅存在一对亲密点，故B错误， 当时，存在两对亲密点，故C正确， 当时，仅存在一对亲密点，即对任意的，总是存在使得，故D正确. 12．【答案】【详解】，令，解得， 所以函数的单调递增区间是. 13．【答案】24【详解】先排第一节有种排法，再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有种不同排列,并形成3个空排艺术、体育两门科目，有种排法，故不同的排课方法有种方法. 14.【答案】【解答】，令，得， 因为函数有个不同的零点，所以有个不同的根；根据题意，作出的图象，如图： 明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，， 因为，故，令，得或， 故，又因为 15．（13分） 【详解】（1），所以， ......2分 由题意可得，所以， ......4分 所以，所以.所以. ......6分 （2）由（1）知，所以，所以在上单调递增， ，所以为奇函数， ......8分 ，即，即，......10分 所以，即，即，解得，......12分 所以不等式的解集为 ......13分 16．（15分） 【详解】（1）甲3局全胜的概率为 ......2分 乙3局全胜的概率为， ,.....4分 进行3局比赛决出冠亚军的概率为 ,.....6分 （2） 的可能取值为1，2， ,.....7分 ， ,.....8分 ， ,.....11分 故的分布列为： ,.....13分 故． ,.....15分 17．（15分） 【详解】（1）由，解得； ,.....3分 （2）， 所以这100名游客对银川旅游体验满意度评分的平均数为分； ,.....7分 （3） 评分在的人数为人， 评分在的人数为人， ,.....9分 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， ,.....11分 则6人中随机抽取2人的所有结果为共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. ,.....15分 18．（17分） 【详解】（1）模型①更合适，理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适. ,.....2分 令，则，由所给的参考数据可得，，,....4分 所以， ,.....5分 因此关于的线性回归方程为，即， ,.....6分 所以产卵数关于温度的回归方程为． ,.....7分 （2）①由题意得，， ,.....9分 所以， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ,.....12分 所以取得最大值时对应的概率； .....13分 ②由①知，当时，取最大值，所以当时，， .....14分 由题意可知每年需要人工防治的概率为，且服从二项分布， .....15分 所以，． .....17分 19．（17分） 【详解】（1）由题意有． .....1分 当时，，在单调递减； .....3分 当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减．...5分 综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增． .....6分 （2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故．...7分 因为当时，在单调递减，在单调递增， 又因为，，且，，故要使方程有两根，则，..9分 即，得，故a的取值范围为． .....11分 （3）法一：要证，即， 令，则只需证， .....13分 当时，，上式显然成立； .....14分 现证当时上式成立：由（1）知，，取，即得， 取，即可得，即得证． .....17分 法二：要证，即，令，则只需证， .....13分 令，， .....14分 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 由（1）知，，则，故，即，得证.....17分 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$