精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

福鼎四中2025-2026学年第一学期高三开学考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式和一元二次不等式，再由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】， 所以 故选：D 2. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，解对数不等式即可求得定义域. 【详解】由得：，的定义域为. 故选：A. 3. 已知，则“”是“是第三象限角”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先化简“”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】因为，所以-sin是第三、四象限和y轴负半轴上的角. 是第三、四象限和y轴负半轴上的角不能推出是第三象限角， 是第三象限角一定能推出是第三、四象限和y轴负半轴上的角， 所以“”是“是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法. 4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）． A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题，命题的否定，充要条件的相关概念依次判断各选项. 【详解】对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则”．因为否命题应为“若，则”，故A错误． 对于B：“”是“”的必要不充分条件．因为，应为充分条件，故B错误． 对于C：命题“，使得”的否定是：“，均有”． 因为命题的否定应为，均有．故C错误． 由排除法得到D正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的否定，四种命题，充分条件必要条件的判断，考查了学生对相关概念的理解辨析. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 6. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 7. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件中的三个数，构成函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性，比较函数值的大小，即可判断选项. 【详解】构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，即． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质及作差法即可求解. 【详解】对于A选项，若，则，则，A正确； 对于B选项，若，则，B错误； 对于C选项，若且，则， 则，故，C正确； 对于D 选项，， 当且仅当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 11. 设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（ ） A. 区间是的一个“和谐区间” B. 函数的所有“和谐区间为，， C. 若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D. 函数存在“和谐区间” 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用“和谐区间”的定义逐项计算即可. 【详解】对于A项，因为在上单调递减，值域为，不符合题意，故A项错误； 对于B项，在上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又，，， 所以的所有“和谐区间”为、、，故B项正确； 对于C项，因为存在“和谐区间”， 在上单调递增， 所以， 所以，是的两个不等的实根， 令，（），则在上有两个不等的实根， 令，对称轴为， 则，解得，故C项正确； 对于D项，因为在，上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又或， 所以，， 又， 所以存在“和谐区间”为，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位置.） 12. 已知关于的不等式的解集为，则_______________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答. 【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根， 则有，解得，所以. 故答案为：16. 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即时，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 即，所以， 故答案为：. 14. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，总造价为元，根据面积关系得阴影部分面积为，草坪面积为，花坛面积，进而得到，利用基本不等式求最值，得到答案. 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”． 名女生成绩频数分布表： 成绩 频数 （1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有%的把握认为“防疫标兵”与性别有关； 男生 女生 合计 防疫标兵 非防疫标兵 合计 （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取人，其中“防疫标兵”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望． 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男生 女生 合计 防疫标兵 非防疫标兵 合计 有%的把握认为“防疫标兵”与性别有关 （2）随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 【解析】 【分析】（1）分别分析男女生样本中“防疫标兵”和非“防疫标兵”人数，完成列联表，再计算的数值，并与参考数值作比较得出结论； （2）从该校女生中随机抽取人，则“防疫标兵”的人数服从二项分布，分别求出概率从而得到分布列，再计算数学期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图，可得名男生中成绩大于等于分的频率为，故名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为人． 由频数分布表，可得名女生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为人． 男生 女生 合计 防疫标兵 非防疫标兵 合计 故，所以有%的把握认为“防疫标兵”与性别有关． 【小问2详解】 名女生样本中有人成绩在分以上，所以女生样本中“防疫标兵”的频率为.用样本估计总体，以频率估计概率，从该校女生中随机抽取人，则“防疫标兵”的人数服从二项分布，即． X的可能取值为． ，，，，． 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望为． 16. 已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）. （1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式f（x）＞0. 【答案】（1）-1,6； （2），则的解集为； 时，解得； 时，解得. 【解析】 【分析】（1）由f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}结合韦达定理即可求解参数a，b的值； （2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解. 【详解】（1）由f（x）≥b得，因为f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，故满足，，解得； （2）原式因式分解可得， 当时，，解得； 当时，的解集为； 当时，， ①若，即，则的解集为； ②若，即时，解得； ③若，即时，解得. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明：因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 18. 设函数，（为常数），．曲线在点处的切线与轴平行 （1）求的值； （2）求的单调区间和最小值； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)k=1;(2)的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为;(3) . 【解析】 【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数切线的性质得到关于k的方程，解方程即可求得k的值； （2）首先确定函数的定义域，然后结合导函数的符号与原函数的单调性求解函数的单调区间和函数的最值即可； （3）用问题等价于，据此求解实数a的取值范围即可. 【详解】（1），，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，所以. （2），定义域为， 令，得，当变化时，和的变化如下表： 由上表可知，的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为. （3）若对任意成立，则， 即，解得：. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19. 已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. （1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； （2）集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ （3）试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 【答案】（1） 由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）4950 （3） 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第一学期高三开学考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“是第三象限角”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）． A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是 11. 设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（ ） A. 区间是的一个“和谐区间” B. 函数的所有“和谐区间为，， C. 若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D. 函数存在“和谐区间” 三、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位置.） 12. 已知关于的不等式的解集为，则_______________. 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 14. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”． 名女生成绩频数分布表： 成绩 频数 （1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有%的把握认为“防疫标兵”与性别有关； 男生 女生 合计 防疫标兵 非防疫标兵 合计 （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取人，其中“防疫标兵”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望． 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）. （1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式f（x）＞0. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 18. 设函数，（为常数），．曲线在点处的切线与轴平行 （1）求的值； （2）求的单调区间和最小值； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. （1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； （2）集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ （3）试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $