13.2.2 三角形的角平分线. 中线. 高　课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 第2课时三角形的角平分线. 中线. 高 情 境 导 入 1.什么叫垂线？ 回顾旧知 2.什么叫线段的中点？ 3.什么叫角的平分线？ 当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 把一条线段分成两条相等的线段的点. 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 新 课 探 究 任务一 三角形的高 你能过三角形的一个顶点，画出它的对边的垂线吗? 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.如图所示.线段AD是BC边上的高. 注意：要标明垂直的记号和垂足的字母. ∵AD⊥BC于点D， ∴线段AD是△ABC的高. ∵线段AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D. 新课探究 情境导入 课堂小结 锐角三角形的三条高 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于一点. 归纳 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 直角三角形的三条高 在纸上画出一个直角三角形. (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC边上的高是______; AB 直角边AB边上的高是______; CB (2)它们有怎样的位置关系？ 斜边AC边上的高是_______. BD 直角三角形的三条高交于直角三角形的直角顶点. 归纳 探究 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 钝角三角形的三条高 (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点. 直角三角形的三条高所在直线交于一点，在三角形外部. 归纳 探究 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 叫做三角形这边上的高. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点 三角形内部 直角顶点 三角形外部 总结归纳 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例 如图，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，CD⊥AB于点D，则△ABC中AC边上的高是线段(　　) A．AE B．CD C．BF D．AF 典例精析 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． C 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 任务二 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AD是BC边上的中线. 三角形的“中线” ∵BD=CD， ∴线段AD是△ABC的中线. ∵线段AD是△ABC的中线， ∴BD=CD. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 在练习本上分别画一个锐角三角形、直角三角形，钝角三角形，分别画出它们的中线. 类比三角形高，你有什么发现？ 三角形的三条中线都在三角形内部，并且交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 归纳 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 例2 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 提示：运用整体思想将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差. 7cm 典例精析 解：如图，∵ AD是△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵ △ABD的周长比△ADC的周长大2cm， ∴（AB+AD+BD）-(AC+AD+CD)=AB-AC=2cm. ∵AC=5cm， ∴AB=7cm. 新课探究 情境导入 课堂小结 任务三 三角形的角平分线 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? ①用量角器画最简便. ②在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C A D 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∵∠1=∠2， ∴线段AD是△ABC的角平分线. ∵线段AD是△ABC的角平分线 ∴∠1=∠2. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ? 三角形的三条角平分线都在三角形内部，并且交于一点. 归纳 探究 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 练习 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 B 4．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝4，则S△ACD＝____，S阴影＝____. 2 1 练习 课 堂 小 结 11.1 与三角形有关的线段 第2课时 三角形的高、中线与角平分线 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 情境导入 课堂小结 新课探究 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 1．(2024河北一模)下列画△ABC的边BC上的高正确的是( ) A 课后练习 2．(2024佛山模拟)如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 C 4．(北师7下P89)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 A．5　 B．6 C．8　 D．4 B 3．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝( ) A (1)三角形的一个　 　和对边相交，顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．  三角形的角平分线 　角的平分线　 (2)如图，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝   　∠BAC．  A．∠1＝∠BAC　 B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC　 D．∠1＝∠ABC　 5．如图，AD是△ABC的角平分线，则( ) A 6．(人教8上P8、北师8上P185)如“知识点4”图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高，如果BC＝10 cm，那么BE＝　 　；如果∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∠BAC＝80°，那么∠BAD＝　 　，∠AFD＝　 ．  　90°　 　40°　 　5 cm　 小结：理解三角形的高的定义是关键，特别是钝角三角形 的高. A．BF　 B．CF C．BD　 D．AE 7．【例1】(北师7下P90)如图，在△ABC中，BC边上的高为( ) D 8．如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段 　 　．  　AF　 小结：分别用式子表示△ABD和△BCD的周长. 9．(2024东莞期中)如图，BD是△ABC的中线，AB＝ 6 cm，BC＝4 cm，则△ABD和△BCD的周长差为　 　cm．  　2　 A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 10．(2023广州期末)如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( ) D 小结：根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的定义进行判断，在较复杂的图形中要看清楚关系. A．BA＝2BF　 B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE　 D．CD⊥AB 11．(2024山东模拟)如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式错误的是( ) C A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线 C．CH为△ACD边AD上的高 D．AH为△ABC的角平分线 12．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是( ) C 解：(1)(2)(3)图略． (4)∵BC＝4，高AM＝5，∴S△ABC＝BC·AM＝×4×5＝10． ∵BF是△ABC的中线，∴S△ABF＝S△ABC＝×10＝5． 13．(人教8上P8改编、北师7下P91改编)如图，在△ABC中，∠ABC是钝角． (1)画出∠BAC的平分线AE； (2)画出AC边上的中线BF； (3)画出BC边上的高AM； (4)若BC＝4，BC边上的高AM＝5，求△ABF的面积． 小结：（1）本题中画钝角三角形的高是一个难点，注意在画BC边上的高时，需延长CB；（2）三角形的底与底边上的高可计算面积，三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分（等底同高） 答案图 解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝70°＋20°＝90°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝70°－20°＝50°． 综上所述，∠BAC的度数为90°或50°． ★14． (创新题)已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 0.50 THANK YOU $$