4.1 整式（同步课堂）2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

4.1 整式 目录 题型01 单项式的识别 4 题型02 单项式的系数、次数 6 题型03 单项式相关概念的应用 7 题型04 多项式的次数、项 9 题型05 多项式的升幂、降幂排列 11 题型06 整式的识别 12 建体系 新知廊 知识点1：单项式 1．单项式的定义：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也是单项式． 【注意】单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如可以写成．若分母中有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数．如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式． 4．确定单项式系数应该注意的四点： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数． （3）当单项式的系数是1或－1时，“1”可以省略不写，如单项式xy，－m的系数分别是1，－1． （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数． 5．确定单项式指数应该注意的两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏，如y的指数是1而不是0； （2）对于一个非零的数，规定它的次数为0，不能将数字的指数一同计算． 知识点2：多项式 1．多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 2．多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做这个多项式的项． 3．多项式的常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项． 4．多项式的项数：多项式中所包含的单项式的个数． 5．多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．判断项数时，注意不要漏掉常数项． 6．多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 知识点3：整式 1．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 2．整式是有理式的一部分，判断一个有理式是否为整式时要注意： （1）单项式和多项式都是整式． （2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x<6都不是整式． （3）分母中含有字母的式子一定不是整式，如，都不是整式． 求甚解 1．单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型，即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母． 2．多项式的每一项都包括它前面的符号．确定多项式的项时，注意不要漏掉前面的符号．要将多项式看成各项“代数和”的形式，即看成“带有正号或负号的项的和”． 3．单项式与多项式的区别： 类别 单项式 多项式 运算 单项式不含加减运算符号 多项式必含加减运算符号 次数 单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和 多项式的次数是多项式里次数最高项的次数 一个多项式几次、有几项就叫几次几项式．如是五次四项式． 练题型 题型01 单项式的识别 典型例题 典例 01 （2024秋•渝中区校级期末）下列各式：2a，，2x（x﹣1），πr2，，，，中，是单项式的有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子2a，πr2，，，符合单项式的定义，是单项式； 式子，，分母中含有字母，不是单项式； 式子2x（x﹣1），，是多项式． 故单项式有4个． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•保定期末）在式子﹣3x2y，x+y，0，，，中，是单项式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此判断即可． 【解答】解：所给式子中单项式有：﹣3x2y，0，中，共3个． 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•闽侯县期末）下列代数式中，属于单项式的是（　　） A． B． C．3x+2y D． 【答案】A． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：A．，是单项式； B．，分母中含有字母，不是单项式； C．3x+2y，是多项式； D．，是多项式． 故选：A． 【变式练3】　（2025•桃城区校级开学）下列代数式8，a2+2，﹣x2y，3a2，0，b，中，单项式的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子8，﹣x2y，3a2，0，b，符合单项式的定义，是单项式； 式子a2+2，，是多项式． 故单项式有5个． 故选：C． 题型02 单项式的系数、次数 典型例题 典例 02 （2024秋•青山区期末）单项式﹣4a2b3c的系数及次数分别是（　　） A．4，5 B．﹣4，5 C．4，6 D．﹣4，6 【答案】D． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣4a2b3c的系数与次数分别是﹣4，6． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•通辽期末）已知一个单项式的系数为﹣3，次数为4，这个单项式可以是（　　） A．3xy B．3x2y2 C．﹣3x2y2 D．4x3 【答案】C 【分析】直接利用单项式的系数与次数的定义分析得出答案． 【解答】解：A、3xy，单项式的系数是3，次数是2，不符合题意； B、3x2y2，单项式的系数是3，次数是4，不符合题意； C、﹣3x2y2，单项式的系数是﹣3，次数是4，符合题意； D、4x3的系数是4，次数是3，不符合题意． 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•临高县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数、次数都是3 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义：单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，先求出单项式的系数和次数，然后确定正确选项． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义可知： 单项式的系数是，次数是2+1＝3， 只有D正确， 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•廉江市期末）单项式的系数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故选：B． 题型03 单项式相关概念的应用 典型例题 典例 03 （2024秋•仁寿县期末）已知2kx2ym是一个关于x、y的单项式，且系数是﹣8，次数是5，那么k＝　　 ，m＝　　 ． 【答案】﹣4，3． 【分析】根据单项式的系数、次数定义解答即可． 【解答】解：∵2kx2y是一个关于x、y的单项式，系数是﹣8，次数是5， ∴2k＝﹣8，2+m＝5， 解得：k＝﹣4，m＝3． 故答案为：﹣4，3． 即学即练 【变式练1】　（2025春•青浦区期末）已知关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同，则b＝　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意列出方程计算即可． 【解答】解：∵关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同， ∴2+2b+1＝1+3， 解得：． 故答案为：． 【变式练2】　（2025•三台县模拟）若单项式xy3的系数是m，次数是n，则m+n＝　　 ． 【答案】． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，4，所以m+n． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•于都县期末）单项式﹣2x2y的系数是m，次数是n，则m+n＝　　 ． 【答案】1． 【分析】根据单项式的意义可得m＝﹣2，n＝3，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵单项式﹣2x2y的系数是m，次数是n， ∴m＝﹣2，n＝3， ∴m+n＝﹣2+3＝1， 故答案为：1． 题型04 多项式的次数、项 典型例题 典例 04 （2024秋•仁寿县期末）已知代数式4x2﹣3x+5，下列说法中错误的是（　　） A．它是一个多项式 B．它的项分别是4x2，3x，5 C．它的次数是2 D．它的常数项是5 【答案】B 【分析】根据多项式定义，次数和项数定义解答即可． 【解答】解：A．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，故选项A正确； B．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的项分别是4x2，﹣3x，5，故选项B错误； C．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的次数是2，故选项C正确； D．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的常数项是5，故选项D正确． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•广东模拟）多项式2a2b﹣ab﹣1的次数是（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 【分析】根据多项式次数的定义求解． 【解答】解：多项式2a2b﹣ab﹣1中最高次项是2a2b，次数是3． 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•宜宾期末）多项式3x|m|y3﹣（m+1）x+2是四次三项式，n是最高次项的系数，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得|m|+3＝4，确定m＝±1，结合题意得出m+1≠0，再求解即可． 【解答】解：由条件可知|m|+3＝4， ∴m＝±1， ∵m+1≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝1， ∵n是最高次项的系数， ∴n＝3， ∴mn＝13＝1． 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•寿县期末）多项式4x2y﹣3x2y4+2x﹣7的项数和次数分别是（　　） A．4，6 B．4，10 C．3，6 D．3，10 【答案】A 【分析】先判断多项式有几个单项式组成，每个单项式的次数是几，然后根据多项式的有关定义进行判断． 【解答】解：∵多项式4x2y﹣3x2y4+2x﹣7共有4x2y，﹣3x2y4，2x，﹣7四个单项式组成，这四个单项式的次数分别为3，6，1，0， ∴这个多项式是六次四项式， ∴多项式4x2y﹣3x2y4+2x﹣7的项数和次数分别为4，6， 故选：A． 题型05 多项式的升幂、降幂排列 典型例题 典例 05 （2024秋•上海校级期中）代数式2x3y+3x2y2﹣6x+2y3是（　　） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 【答案】A 【分析】先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【解答】解：2x3y+3x2y2﹣6x+2y3是按x降幂排列． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•德化县期末）把多项式按x的升幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意写出按字母x升幂排列的代数式． 【解答】解：将多项式按字母x升幂排列：3x， 故选：C． 【变式练2】　（2023秋•东辽县期末）已知多项式2+3x4﹣5xy2﹣4x2y+6x．将其按x的降幂排列为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据字母x的指数从大到小排列即可． 【解答】解：按x的降幂排列为：3x4﹣4x2y﹣5xy2+6x+2， 故答案为：3x4﹣4x2y﹣5xy2+6x+2． 【变式练3】　（2024秋•泉州期末）把多项式﹣3xy+8+5x3y2﹣2x2y3按x降幂排列：　　 ． 【答案】5x3y2﹣2x2y3﹣3xy+8． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：多项式﹣3xy+8+5x3y2﹣2x2y3按x降幂排列：5x3y2﹣2x2y3﹣3xy+8． 故答案为：5x3y2﹣2x2y3﹣3xy+8． 题型06 整式的识别 典型例题 典例 06 （2024秋•曲阳县期末）下列代数式不属于整式的是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据整式的定义进行判断即可． 【解答】解：A．是单项式，属于整式，故此选项不合题意； B．是多项式，属于整式，故此选项不合题意； C．0是单项式，属于整式，故此选项不符合题意； D．是分式，不属于整式，故此选项符合题意． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•沂源县期末）下列各式中，①a；②；③0；④2x＝6；⑤mx﹣ny，整式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子a，0，mx﹣ny，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式； 式子2x＝6是等式，不是整式． 故整式有3个． 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•杭州期中）在式子0，，m2+2m+1中，整式共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子0，，，m2+2m+1，符合整式的定义，是整式； 式子的分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•德惠市校级期末）下列代数式中不是整式的是（　　） A．x+3y B．x2+2x﹣5 C．﹣6 D．3 【答案】D． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：A．x+3y，是整式； B．x2+2x﹣5，是整式； C．﹣6，是整式； D．，分母中含有字母，不是整式． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$