13.3三角形的内角与外角 第3课时 三角形的外角 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3三角形的内角与外角 第3课时 三角形的外角 情 境 导 入 问题 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 新 课 探 究 任务一 三角形外角的定义 如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？ 内角：∠A，∠B，∠C；关系：∠A+∠B+∠C=180°. 如图，若延长BC至D，则∠ACD是什么角？ ∠ACD是△ABC的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形的外角： 你能在图中画出△ABC 的其他外角吗？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 发现： 1.每一个三角形都有６个外角． 3.每个外角与相应的内角是邻补角． 2.每一个顶点相对应的外角都有２个． 根据你所画的图形，回答下列问题： 1.每一个顶点相对应的外角都有几个？它们是什么角？ 2.每一个三角形都有几个外角？ 新课探究 情境导入 课堂小结 1.如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(　　) A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 D 练一练 2.一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最 多有几个直角？最多有几个锐角？ 解：一个三角形的三个外角中，最少有两个钝角，最多有一个直角，最多有一个锐角． 新课探究 情境导入 课堂小结 任务二 三角形内外角的关系 问题1 如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，求△ABC的外角∠ACD. ∴ ∠ACD=180°-∠ACB=50°， = 180 °-（70°+60°） =180°-130°=50°， 即∠ACD=∠A+∠B. 解：∵ ∠ACB =180 °-（ ∠A+∠B） 问题2 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 你能推理证明吗？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠2= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠1= ∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 已知：如图，已知∠ACD是△ABC的外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 =180°-180°+∠A+∠B =∠A+∠B. 证明：∵ ∠A+∠B+ ∠ACB =180°， ∴∠ACD=180°-∠ACB =180°-（180°-∠A-∠B） ∴∠ACB=180°-∠A-∠B. ∵ ∠ACB+ ∠ACD =180°， 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 总结归纳 三角形内角和定理推论 应用格式 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 练一练 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°，求∠BFC的度数. ∵∠BEC是△ACE的外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC=∠BEC+∠EBF=88°. 解： 典例精析 三角形的外角定理实质上是三角形内角和的简化运算. 归纳 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. ∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 新课探究 情境导入 课堂小结 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠CED=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠CED+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. 解题的关键是正确构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 归纳 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E 新课探究 情境导入 课堂小结 任务三 三角形的外角和 例2 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 典例精析 新课探究 情境导入 课堂小结 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ 结论：三角形的外角和等于360°. 新课探究 情境导入 课堂小结 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 2.下列对三角形的外角和叙述正确的是(　　) A．三角形的外角和等于180° B．三角形的外角和就是所有外角的和 C．三角形的外角和等于所有外角的和的一半 D．以上都不对 C 新课探究 情境导入 课堂小结 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求： （1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， 新课探究 情境导入 课堂小结 1 2 3 B A C P N M D E F 4.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________. 360° 课 堂 小 结 11.2 与三角形有关的角 第3课时 三角形的外角 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 单击此处添加标题文本内容 情境导入 课堂小结 新课探究 三角形的外角 定义 一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 外角和 三角形的外角和等于360 ° 三角形的内角和 1．如图，在∠1，∠2，∠3中，是△ABC外角的是( ) A．∠1，∠2　 B．∠2，∠3 C．∠1，∠3　 D．∠1，∠2，∠3　 C 课后练习 2．(人教8上P15、北师8上P183)如图，已知∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝135°，∠A＝75°，则∠B的大小为( ) A．60° B．140° C．120° D．90° A 3．(人教8上P28)在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是( ) A．80　 B．70 C．65　 D．60 B 4．(人教8上P15、北师8上P183)如图，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝( ) A．30° B．150° C．120° D．60°　 D 5．如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC＝60°，则∠AOE＝　 　．  　60°　 6．【例1】如图，三角形的一个外角为140°，则∠1的度数为( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 小结：掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键. C 7．(2024云浮期中)将一副三角板按如图方式重叠放置，则∠1的度数为( ) A．45°　 B．60°　 C．75°　 D．105° C 8． (人教8上P16、北师8上P181改编)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝50°，∠B＝35°，则∠ECD等于　 　°．  小结：利用三角形的外角的性质求出∠ACD即可. 　42.5　 9．(人教8上P17、北师8上P186)如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，求∠C的度数． 解：∵AB∥CD，∠A＝45°， ∴∠DOE＝∠A＝45°． ∵∠DOE＝∠E＋∠C，∠C＝∠E， ∴∠C＝∠DOE＝22.5°． 10．如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于( ) A．360° B．300° C．180° D．240° 小结：利用三角形外角的性质分别表示∠B+∠C和∠D+∠E，再利用△AGF的内角和定理求解，将角变化到一个三角形中是关键. C 11．(北师8上P199)如图，五角星的顶点为A，B，C，D，E，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为( ) A．90° B．180° C．270° D．360° B 12．(2024东莞月考)如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，求∠O的度数． 解：∵∠A＝80°，∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°， ∴∠ACB＋∠ABC＝100°， ∴∠ECB＋∠DBC＝180°＋180°－100°＝260°， ∵∠DBC，∠ECB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB， ∴∠OBC＋∠OCB＝×260°＝130°， ∴∠O＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－130°＝50°． ★13． (人教8上P17、北师8上P187)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点P． 若∠A＝70°，求∠P的度数． 解：∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACE， ∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠ECP＝∠ACE． 又∵∠A＝70°，∴∠ACE＝70°＋∠ABC． 同理，∠PCE＝∠P＋∠PBC， ∴2(∠P＋∠PBC)＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠PBC， ∴∠P＝∠A＝×70°＝35°． 0.55 THANK YOU $$