第1章 三角形 单元测评卷(B) 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

第1章测评卷(B) (范围: 1.4—1.5) 满分:120分 时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.新情境 日常生活(2024·东台期末)有一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，则凉亭的位置应选在 ( ) A.三角形三条边的垂直平分线的交点 B.三角形三条角平分线的交点 C.三角形三条高所在直线的交点 D.三角形三条中线的交点 2.(2024·盐城响水期末)在△ABC中,有一点P,量得PA=PB=PC=5cm,则P一定是 ( ) A.△ABC 三条高所在直线的交点 B.△ABC 三条角平分线的交点 C.△ABC 三条边的垂直平分线的交点 D.△ABC 三条中线的交点 3. 如图,AC=AD,BC=BD,则下列说法一定正确的是 ( ) A. CD 垂直平分AB B. AB 与CD 互相垂直平分 C. AB 垂直平分CD D. CD 平分∠ACB 4.国家海洋预报台发布风暴潮黄色警报和海浪红色警报，“贝碧嘉”登陆期间，可能出现风、浪、潮“三碰头”.受其影响，上海、浙江北部近岸海域出现4~6米的巨浪到狂浪，长江口和杭州湾北岸沿海出现2~3米的中浪到大浪.如图，一棵树在台风中于离地面4米处被折断倒下，倒下部分与地面成30°角，若树垂直于地面，则这棵树被折断前的高度为 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 12 米 D. 15 米 5.如图，一架梯子AB 斜靠在竖直墙上，M为梯子AB 的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD 位置时，滑动过程中 OM 长的变化规律是 ( ) A.变小 B.不变 C.变大 D.先变小再变大 6.如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C 也在格点上，且△ABC 是等腰三角形，则符合条件的点C 的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图,OE 是∠AOB 的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC 都经过点E,则图中全等的三角形共有 ( ) A. 3对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6对 学科网（北京）股份有限公司 8. 新考法 新定义题(2024·遂宁)如图①,△ABC 与△A₁B₁C₁满足∠A=∠A₁,AC=A₁C₁,BC=B₁C₁,∠C≠∠C₁,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②,在△ABC 中,AB=AC,点D，E 在线段BC 上，且BE=CD，则图中的“伪全等三角形”共有 ( ) A. 1 对 B. 2对 C. 3对 D. 4 对 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9.已知一个等腰三角形的两边长分别为3 和6，则该等腰三角形的周长是 . 10. 如图,在△ABC 中,D 是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=105°,则∠B= °. 11. 如图,在△ABC中,AD 是高,E,F 分别是AB,AC 的中点.若四边形AEDF 的周长为24,AB=15,则AC= . 12. 如图,在△ABC 中,DE 是边AC 的垂直平分线,AE=5cm ,△ABD 的周长为20cm,则△ABC 的周长为 cm. 13.如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,D为BC 延长线上的一点,连接AD,E,F 分别为线段BC,AD 的中点,连接EF.若EF=2,则AD 的长为 . 14. 如图,在△ABC中,AB=AC=4,P 是BC上任意一点,过点 P 作PD⊥AC 于点D,PE⊥AB 于点E.若S△ABC=12,则 PE+PD= . 15. 如图,在△ABC 中,∠BAD=30°,将△ABD 沿AD 所在直线折叠至△AB'D,∠AB'D=α,连接B'C,CB'平分∠ACB,则∠ACB 的度数是 (请用含有α的代数式表示). 16. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC =30°,BC=6,E 是斜边AB 上一个动点,以AE 为边在△ABC 外作等边三角形ADE.若F 是DE 的中点,当CF 的长取最小值时,AE= . 三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 17.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是△ABC 的中线,DE∥AB.求证:△ADE 是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 18.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC 于点E,F.求证: (1) △ABD 是等边三角形; (2) DE=DF. 19. (8分)如图,在等腰三角形ACD 和等腰三角形AEB中,AC=AD,AE=AB,且∠1=∠2. (1) 求证:ED=BC; (2) 若∠2=50°,∠BCD=10°,求∠ADE 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 20.(8分)如图,△ABC 的高BD,CE 相交于点O,M,N 分别是BC,AO的中点.求证:MN 垂直平分DE. 21.(10分)如图,△ABC 的两条外角平分线AO,BO 相交于点O,∠ACB=50°,连接CO交AB 于点K. (1)求∠BCK 的度数; (2) 过点A 作AF⊥CO 于点F,若∠BAC=105°,求证:AB=2CF. 学科网（北京）股份有限公司 22.(10分)新考法新定义题新定义：如图①②，P是平面内一点，如果 或 那么称 P 是线段AB 的友好点. (1)如图③,在Rt△DEF 中,∠E=90°,∠D=30°,F 是否是线段DE 的友好点? 请说明理由. (2)如图④,在 Rt△DEF 中,∠DEF=90°,F 是线段DE 的友好点(DF>DE),FH 是 Rt△DEF的角平分线，求证：H是线段DE 的友好点. 23. (10分)如图,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,点E 在CD的延长线上,∠BAC=∠DAE. (1) 求证:△ABC≌△ADE; (2)设AF 是△ABC 的BC 边上的高,求证:EC=2AF. 学科网（北京）股份有限公司 24.(12分)如图,在△ABC 中,AB=BC=AC=12cm,现有点M,N分别从点A,B 同时出发,沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点 M 的速度为1cm/s，点N 的速度为2cm/s.当点N第一次到达点 B 时，点M，N同时停止运动. (1)当点 M,N 运动几秒时,M,N 两点重合? (2)当点 M，N运动几秒时，可得到等边三角形AMN? (3)当点M，N都在BC 边上运动时，是否存在以MN 为底边的等腰三角形AMN?若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 第1章测评卷(B) 一、1. B解析：∵根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等. 2. C 解析:∵ PA=PB=PC=5cm,∴ 点 P 在线段AB,AC，BC 的垂直平分线上.∴ P 一定是△ABC 三条边的垂直平分线的交点. 3. C 解析:∵ AC=AD,BC=BD,∴ 点 A 在CD 的垂直平分线上，点B 在CD 的垂直平分线上.∴AB 垂直平分CD. 4. C 解析:如图,根据题意,得BC=4米.∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,∴ AB=2BC=2×4=8(米).∴ AB+BC=4+8=12(米)，即这棵树被折断前的高度为12米. 5. B 解析:∵ ∠AOB=90°,M 为AB 的中点,∴ OM= AB.同理,OM= CD.∵AB=CD,∴OM的长不变; 6. C 解析：如图，符合条件的点有C₁，C₂，C₃，即符合条件的点C的个数为3. 7. B 解析:∵ OE 是∠AOB 的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,∴∠AOE=∠BOE,∠EDA=∠ECB=90°,ED=EC.在 Rt△OED 和 Rt△OEC 中, ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD = OC. 在△AED 和△BEC 中, ∴ △AED≌△BEC(ASA). ∴ AD= BC.∴ OD+AD=OC+BC,即 OA=OB.在△OAE 和△OBE中 在△OAC 和△OBD 中,(∠ADC=∠BOD,∴△OCC≌△OBD(SAS).综上所述，全等的三角形共有4对. 8. D 解析:∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.在△ABE 和 △ACD中,温度(2024年)。(2024年0月24日 AE.∵AB=AB,∠B=∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,∴△ABD 和△ABE 是一对“伪全等三角形”.同理可得,△ABD 和△ACD 是一对“伪全等三角形”,△ACD 和△ACE 是一对“伪全等三角形”,△ABE 和△ACE 是一对“伪全等三角形”.综上所述，题图中的“伪全等三角形”共有4对. 二、9. 15 解析:当腰长为3时,3+3=6,∴3,3,6不能组成三角形.当腰长为6时,3+6=9>6,∴3,6,6能组成三角形.∴ 该等腰三角形的周长是3+6+6=15. 10. 25 解析:∵ AC=AD = DB,∴ ∠B =∠BAD,∠ADC=∠C.设∠ADC=∠C=α.∵∠B+∠BAD=∠ADC, ∴ ∠B = ∠BAD = . ∵ ∠BAC = 105°, 在△ADC 中,∵ ∠ADC+∠C+ 解得α=50°.∴∠B= 11. 9 解析:∵ E,F 分别是AB,AC 的中点,∴ AE= ∵ AD 是高,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.∵ E,F 分别是AB,AC 的中点, AC.∴ 四边形 AEDF 的周长=AE+DE+AF+DF=AB+AC.∵ 四边形AEDF 的周长为24,∴ AB+AC=24.∵AB=15,∴ AC=24-15=9. 12. 30 解析:∵ DE 是边AC 的垂直平分线,∴ AD=CD,CE=AE=5cm.∴ AC=10cm.∵△ABD的周长为20cm,∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=20cm.∴△ABC 的周长为AB+BC+AC=20+10=30(cm). 13. 4 解析:连接AE.∵ AB=AC,E 是 BC 的中点,∴ AE⊥BC,即∠AEC=90°.∵ F 是AD 的中点,∴ AD=2EF=4. 14. 6 解析:连接AP.∵ AB=AC=4,PD⊥AC,PE⊥ ∴S△ABP+S△APC=12.∴ 2PE+2PD=12.∴ PE+PD=6. 解析:连接BB',过点B'作B'E⊥BC于点E,B'F⊥AC 于点F.由折叠可知,∠ABD=∠AB'D=α,AB=AB',∠BAD =∠B'AD = 30°. ∴ ∠BAB'=∠BAD +∠B'AD=60°.∴ △ABB'是等边三角形. ∠B'BA=∠B'AB=60°.∵ CB'平分∠ACB,B'E⊥BC,B'F⊥AC,∴ B'E=B'F.在 Rt△BB'E 和 Rt△AB'F 中, ∴ Rt△BB'E≌Rt△AB'F(HL).∴ ∠B'BE= 即∠ABC=∠BAC. ∵ ∠ABC =∠AB'D =α,∠ABC +∠BAC+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-2α. 16. 6 解析:如图①,连接AF 并延长.∵ △ADE 是等边三角形,∴ AD=AE,∠EAD =60°.∵ F 是 DE 的中点,∴∠FAB=30°.∵∠BAC=30°,∴∠FAC=60°.∴ AF 是固定的.过点C 作CH⊥AF 于点 H,交AB 于点 N.当动点E 在斜边 AB 上运动，使得点 F 在线段AH 上运动到点 H时,根据“垂线段最短”,得CF≥CH.∴ 当 CF 的长取最小值时，点F 与点 H 重合，此时点 E 与点 N 重合.如图②.在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6,∴ AB= . 在 Rt△AFC 中,∠AFC=90°,∠FAC=60°,∴∠ACE=90°-∠FAC=30°.∴∠BCN=60°.∴ ∠BEC=180°-∠B-∠BCN=60°.∴∠BEC=∠B=∠BCN.∴△BCE 是等边三角形.∴ BE=BC=6.∴AE=AB-BE=6.∴ 当CF 的长取最小值时,AE=6. 三、17. ∵ AB=AC,AD 是△ABC 的中线,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ DE∥AB,∴ ∠ADE=∠BAD.∴ ∠CAD=∠ADE.∴ DE=AE.∴△ADE 是等腰三角形 18. (1) ∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ ∠BAD =∠DAC= ∠BAC.∵ ∠BAC=120°,∴ ∠BAD=∠DAC= 120°= 60°. ∵ AD =AB,∴ △ABD 是等边三角形 (2)∵△ABD 是等边三角形,∴ ∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.∵∠EDF=60°,∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,即∠BDE =∠ADF. 在△BDE 和△ADF 中,2022年0月24日∴ △BDE ≌ △ADF (ASA). ∴ DE=DF 19. (1) ∵ ∠1=∠2,∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD. ∴∠BAC = ∠EAD. 在 △EAD 和 △BAC 中, (2)∵ AC=AD,∠1=∠2=50°,∠BCD=10°,∴∠ADC=∠ACD.∵ ∠ADC+∠ACD+∠1=180°,∴ 2∠ACD+50°=180°.∴∠ACD=65°.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD= .由(1)得,△EAD≌△BAC,∴ ∠ADE =∠ACB=75°.∴ ∠ADE 的度数是75° 20. 连接 EN,DN,EM,DM. ∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠BDC=90°.∵ M,N分别是BC,AO 的中点, BC,DM= BC.∴EN=DN,EM=DM.∴点M,N在线段DE 的垂直平分线上.∴ MN 垂直平分DE 21. (1) 过点 O 作OM⊥AD 于点 M,ON⊥BE 于点 N,OP⊥AB 于点 P.∵ AO,BO 分别平分∠DAB,∠EBA,∴OM=OP,OP=ON.∴ OM=ON.又∵ OM⊥AC,ON⊥BC,∴点O在∠ACB 的平分线上,即CO平分∠ACB.∵∠ACB=50°,∴∠BCK=∠ACK=25°(2)∵∠BAC=105°,∠ACB = 50°,∴ ∠ABC = 25°. ∵ ∠KCB = 25°,∴∠KBC=∠KCB.∴ KB=KC.过点 A 作AH∥BC 交CO 于点 H,则∠AHK =∠KCB,∠HAK =∠KBC.∴∠AHK=∠HAK.∴KA=KH.∴KA+KB=KH+KC,即 AB =CH.∵ ∠ACH =∠KCB,∴ ∠AHK =∠ACH.∴AH=AC.∵AF⊥CO,∴ HF=CF.∴CH=2CF.∴AB=CH=2CF 22. (1) F 是线段DE 的友好点 理由:∵ 在 Rt△DEF 中,∠E=90°,∠D=30°,∴易得 即 是线段 DE 的友好点.(2)∵ F 是线段 DE 的友好点 ∠D=30°.∵ ∠DEF =90°,∴ ∠DFE =60°.∵ FH 是Rt△DEF 的角平分线,∴ ∠EFH =∠HFD = 30°.在Rt△FHE 中,∠EFH=30°,∴ HF=2HE.∴ BE=2.∵∠HFD=∠D=30°,∴ HF=HD.∴HD=2.∴ H是线段DE 的友好点 23. (1) ∵ ∠BAD=90°,∠BAC=∠DAE,∴ ∠CAE=∠DAE+∠CAD=∠BAC +∠CAD =∠BAD = 90°.∴∠ACE+∠AEC =90°. ∵ ∠BCD=90°,∴ ∠ACB+∠ACE = 90°. ∴ ∠ACB = ∠AED. 又 ∵ AB = AD,∴△ABC≌△ADE(AAS) (2) 取 CE 的中点 G,连接AG.∵ AF 是△ABC 的BC 边上的高,∴ AF⊥BC,即∠CFA = 90°. ∵ △ABC ≌△ADE, ∴ AC = AE. 又∵∠CAE=90°,G 是CE 的中点,∴ AG⊥CE,即∠AGC=90°=∠CFA,CE = 2CG. ∴ ∠GCA +∠GAC= 90°. 又∵∠BCD=∠ACF+∠ACG=90°,∴ ∠ACF=∠CAG.∵AC=CA,∴ △ACF≌△CAG(AAS). ∴ AF =CG.∴CE=2AF 24. (1) 设当点M,N运动 xs时,M,N 两点重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12.∴ 当点 M,N 运动12s时,M,N 两点重合 (2)设当点 M,N 运动 t s时,可得到等边三角形 AMN.∵ △AMN 是等边三角形,∴ AM=AN.∵AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t) cm,∴t=12-2t,解得t=4.∴ 当点 M,N 运动4s时,可得到等边三角形 AMN (3)存在 由(1)，知当运动的时间为12s时，M，N 两点重合，易知此时点 M，N 恰好都在点C处.假设△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,∴ AN=AM.∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵ AB=BC=AC,∴ △ACB 是等边三角形.∴ ∠C=∠B.在△ACM 和△ABN 中, ∴ △ACM≌△ABN(AAS).∴ CM=BN.设当点 M,N 运动的时间为ys时,△AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形.∵ CM=(y-12) cm,NB=(36-2y) cm,CM=NB,∴y-12=36-2y,解得y=16.∴ 假设成立.∴ 当点 M,N 都在BC 边上运动时,存在以 MN为底边的等腰三角形AMN，此时点 M，N运动的时间为16s 学科网（北京）股份有限公司 $$