安徽省天长中学2025-2026学年高三上学期8月周考（第一次）数学试题

天长中学2025-2026学年度高三上学期8月周考（第一次） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C B A A D ABC BC 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据随机数表的读取规则，逐一选取即可. 【详解】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047， 剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047. 故选：B. 2．D 【分析】利用复数的除法运算求出，再求出模作答. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 3．D 【解析】利用充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】由均为第一象限的角， 满足，但， 因此不充分； 由， 得均为第一象限的角， 得到， 因此不必要； 故选：D. 4．C 【分析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，根据棱台的体积求出，再根据棱台的表面积公式计算可得. 【详解】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高， 所以，解得， 所以正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，棱台的高为， 所以方亭的斜高为， 由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以， 所以方亭的表面积. 故选：C 5．B 【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解A的坐标. 【详解】设，，， 则， 所以， 解得，故， 故点A的坐标为， 故选：B. 6．A 【分析】根据递推公式，寻找几项的规律，构造新数列，求和即可. 【详解】因为 故        = 即： 同理可得： 故可得 令 则，又，故 故. 故选：A. 【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高. 7．A 【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，判断两直线的交点 的轨迹为圆，利用点到直线的距离公式判断直线与圆相切，即可求出 的取值范围 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即 的取值范围为 . 故选：A . 8．D 【分析】先判断的图象关于直线对称，可得，设根据求出，从而可得答案. 【详解】因为 所以的图象关于直线对称，故. 因为在都单调递增，在都单调递减 在单调递增； 在单调递减. 所以直线与的图象只有两个交点和点， 设则， 设直线与交点为， 所以， 则，即， 因为直线经过点，， 所以. 故选：D 9．ABC 【分析】根据分层随机抽样的特点判断A；结合题意判断B；先求出样本中学生手机成瘾的频率，再利用频率估计概率即可判断C；根据条件概率求出从样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率，再用频率估计概率即可判断D. 【详解】根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为， 用样本估计总体可知全校男生和女生人数之比为，故A正确； 样本中男生有手机成瘾，女生有手机成瘾，比例关系差异很大， 男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率，故B正确； 结合样本数据以及等高堆积条形图可知， 男生中有人手机成瘾，女生中有人手机成瘾， 即样本的100人中有28人手机成瘾，所以样本中学生手机成瘾的频率为， 用频率估计概率可知，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成瘾的概率为， 故C正确； 根据条件概率可知，在样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为， 用样本估计总体可知该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为， 故D错误. 故选：ABC. 10．BC 【分析】将直线AB方程与双曲线方程联立，可得交点坐标，据此可表示出的面积，然后结合题意可得答案. 【详解】不妨设是双曲线的右焦点， 如图，由题可知，直线的方程为， 由，得，且， 所以， 因为， 且，所以， 所以， 解得，又因为，则. 解得，所以. 又，，则BC选项满足题意. 故选：BC 11．AD 【分析】应用赋值法得到时，；构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可. 【详解】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 所以，A正确， 取，则，，显然不成立，B错， 赋值，得，解得， 即； 由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故C错误； ，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】根据平面向量的夹角为钝角，得出两向量的数量积小于0，且不共线；由此求出的取值范围． 【详解】向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 13． 【分析】根据题意由同角三角函数之间的基本关系可得，再结合正弦定理以及三角恒等变换计算即可得出结果. 【详解】在中，因为，可得，所以. 又，可知为锐角且. 由正弦定理可得， 于是. 将及的值代入可得， 平方得，故. 故答案为： 14． 【详解】由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得， 则， 比较两边等式得，且，解得， 所以. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立方程，化简即可得出曲线方程； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，表示出，，根据得出的关系，即可得证. 【详解】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心. 由得，化简得， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. 法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即， 又，所以， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，    联立得， 则， 由题意得，，同理， 因为， 所以，即， 所以直线的方程为，因此直线过定点. 16．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算来证明两向量相等，得四点共面； （2）利用空间向量的线性运算和数量积运算，来证明两平面二面角的平面角，再用空间向量法来求夹角余弦值，从而问题可得解. 【详解】（1）由，因为平行六面体可知： 且 又因为，， 所以， 则有，即四点共面； （2） 取的中点为，连接， 由于，则有， 又由余弦定理得： 所以， 又由， 则， 所以有，又因为的中点为，所以, 即就是平面与平面的夹角或其补角， 由， ， 由， ， ， 所以有， 故平面与平面夹角的余弦值是. 17．(1) (2)， (3)图象见解析 【分析】选①，根据两角和的正弦公式以及二倍角公式化简结合周期求得参数可得函数解析式；选②，根据向量的数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简，可得函数解析式；选③，根据函数图象过的点和周期求得参数，可得函数解析式； （1）利用函数解析式结合三角函数特殊值，求得答案. （2）结合正弦函数性质即可求得单调区间； （3）利用五点法作图，列表求值，即可作出图像. 【详解】（1）选条件 因为 ， 又，所以，所以. 选条件 因为，， 所以， 又，所以，所以． 选条件③ 由题意可知，，所以，所以． 又因为函数图象经过点，所以，即， 因为，所以 ，所以． 因为，，所以 ， 所以． （2）由， 得， 令，得，令，得， 所以函数在上的单调递减区间为，． （3）列表： 0 x 作出图象如图： 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）按古典概型的计算方法求解. （2）先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算. （3）先求出分布列，再按期望的公式进行化简. 【详解】（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A， 将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件A表示A校有1名学生的面试号码为2， 其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排， 则事件A包含的样本点数为， 故． （2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得． 所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名． 记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C， 显然事件B，C互斥． 记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则． 当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校， 则． 当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校， 则． 所以． （3）由题知随机变量X的取值为，，…，， 则随机变量X的分布列为，，，…，N． 所以随机变量X的期望， ． 所以． 【点睛】关键点点睛：在第三问的证明过程中，利用组合数的性质：进行化简是关键. 19．(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)8 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【详解】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【高三数学模拟练习试题（五） 第 1 页（共 1 页）】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天长中学2025-2026学年度高三上学期8月周考（第一次） 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，均为第一象限角，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（，，） A． B． C． D． 5．已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为 A． B． C． D． 6．数列满足，则的前20项和为 A．210 B．220 C．230 D．240 7．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则 A．2 B．4 C．-2 D．-4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（    ） A．该校男生和女生人数之比为 B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为 D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为 10．设过原点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，是双曲线的焦点，若的面积大于，则双曲线的离心率的取值可以是（    ） A． B． C． D．3 11．已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 13．在中，角所对的边分别为，，已知，，，则 . 14．设函数是公差为的等差数列，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 16. （15分） 如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，． （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. （15分） 已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点. 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为． （1）若，且，求的值； （2）求函数在上的单调递减区间． （3）请用五点作图法作出函数的图象. 18. （17分） 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. （1）求面试号码为2的学生来自A校的概率. （2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. （3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. 19. （17分） 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$