1. 3 正方形的性质与判定同步练习　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册数学1. 3 正方形的性质与判定同步练习 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 3．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于(　　). A．22.5° B．45° C．30° D．135° 5．如图，将边长为2的正方形绕点按逆时针旋转到正方形的位置，且点落在对角线上，与相交于点，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(　　) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 8．如图，在中，．点M是斜边BC的中点，以AM为边的正方形AMEF．若，则（　　） A． B． C．12 D．16 9．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于点、，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，点P在边BC上，，连接，，过的中点E作，分别交，，于点M，F，N，则线段的长为（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题 11．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　 　． 12．如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是　 　． 13．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是　 　． 14．如图，在边长为2的正方形中，E是边的一点，F是边上的一点，连接，若，，则的长为　 　． 15．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论： ①矩形是正方形；　　②； ③平分；　　④． 其中正确的序号为　 　． 三、解答题 16．如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为． （1）求证：； （2）若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长． 17．正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连结．已知点在线段上． ①若，求度数； ②求证：． 18．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G. （1）求BGC的度数； （2）若CE=1，H为BF的中点时，求HG的长度； （3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长. 19．在正方形ABCD中，，E，F为对角线BD上不重合的两个点（不包括端点），，连结AE并延长交BC于点G，连结FG，CF． （1）求证：． （2）设BE的长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数表达式． ②当时，求x的值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】2 12．【答案】 13．【答案】1 14．【答案】 15．【答案】①③④ 16．【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是中点，， ． 17．【答案】解：①∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BAD=90° 在△ABE中，∠ABD=45°，AB=BE ∴ ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE-22.5° ②∵EF⊥AE，∠BEA=67.5° ∴∠BEF=90°-∠BEA=22.5° ∴∠EFC=∠CBD+∠BEF=67.5° 在△ABE和△CBE中 ∴△ABE≌△CBE(SAS) ∴∠BAE=∠BCE=67.5° ∴∠EFC=∠BCE=67.5° ∴CE=EF 18．【答案】（1）90°；（2）；（3）△BGC的周长为 19．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°， ∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AED=∠CFB， ∴AG∥FC （2）解：①连接CE，AC交BD于点H． ∵AB=4， 在正方形ABCD中，AB=BC=4， 故， 在正方形ABCD中，，， ， ， ， ． ②过F作于点I，作于点J， ， ， ， ， 解得 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$