湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期6月测试数学试题（6.11）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在等差数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则(    ) A. B. C. D. 3.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石(    ) A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 4.的展开式中的系数是(    ) A. B. C. D. 5.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 6.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则(    ) A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 7.已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是(    ) A. B. C. D. 8.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列选项中正确的是(    ) A. 已知随机变量服从二项分布，则 B. 口袋中有大小相同的个红球、个蓝球和个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为，则在次射击中，最有可能击中的次数是次 D. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 10.已知函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，存在单调递增区间 B. 当时，存在两个极值点 C. 是为减函数的充要条件 D. ，无极大值 11. 如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 当时，，，三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数          ． 13.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则           ． 14.已知函数，若函数有个极值点，则实数的取值范围是          ；若，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． 证明：平面平面； 当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 16.本小题分 近期，我国国产大模型深度求索在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了名用户进行调查，收集整理得到了下侧的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 不频繁使用 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联 若已知样本中学生人数为人，其中高满意度用户数为人，教师人数为人，其中高满意度用户数为人以样本频率估计总体的概率． 若从全校使用的用户中每次抽取名用户，直到抽出名高满意度用户即停止抽取求恰好第次抽取后停止抽取的概率． 若从全校使用的学生用户和教师用户中各随机抽取名，设这人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中．． 17.本小题分 已知椭圆的离心率为，其短轴长为． 求椭圆的方程 若直线与椭圆交于，两点点，均在第一象限，且直线，，的斜率分别为，，，且，证明：直线的斜率为定值． 18.本小题分 已知数列是公差为的等差数列，其前项的和为数列是公比大于的等比数列，． 求数列和的通项公式； 记，． 证明：是等比数列； 证明：． 19.本小题分 已知函数 若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围 当时． 证明：(ⅰ)若，则恒成立 (ⅱ)若，，则恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在等差数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 解：，则． 答案：． 2.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则(    ) A. B. C. D. 解：设等比数列的公比为，则由前项和为，且， 有． 故选C． 3.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石(    ) A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 解：设每一层有环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，， 由等差数列性质知，，成等差数列，且， 则，得， 则三层共有扇形面石板为 故选C． 4.的展开式中的系数是(    ) A. B. C. D. 解：因为的展开式中，通项公式 ， 令，得，则，又， 所以的系数为． 故选：． 5.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 解：， 即，解得． 故选：． 6.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则(    ) A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 解：由题意可知，两个函数图像都在轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，则，显然错误， 对于，而言，，由图像可知单调递增，，单调递减，所以函数在处取得最大值为． 故选C． 7.已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：的定义域为，则，因为有两个极值，所以有两个不等的实数解，由，得，令，， 则， 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减， 因为，，所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示， 由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是． 故选：． 8.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 解：由，得， 因此数列是以首项为，公比为的等比数列，故， 进而根据累加法得：， 所以，由， 因为，又， 所以，令，所以， 所以，所以， 代入得，所以． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列选项中正确的是(    ) A. 已知随机变量服从二项分布，则 B. 口袋中有大小相同的个红球、个蓝球和个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为，则在次射击中，最有可能击中的次数是次 D. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 解：对于，，，，故 A正确； 对于，为超几何分布，所以，故 B正确； 对于，设最有可能击中次，则，， 则 得，即或，故 C错误；对于，，则，，故 D正确． 故选：． 10.已知函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，存在单调递增区间 B. 当时，存在两个极值点 C. 是为减函数的充要条件 D. ，无极大值 解：，当时，可知在上递减，上递增；当时，函数在上递减，在上递增；当时，可知在上递减，在上递增，在上递减当时，可知在上单调递减．综上可知A正确，B错误，C正确，D错误． 11. 如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 当时，，，三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 解：如图以为原点，建立空间直角坐标系： 则，，设，可得，对于：当时，点为对角线的中点，可得三点共线，故A正确；对于：当时，，解得， 则，因此不正确，故B错误； 对于：当时，，设平面的法向量为， ，， 当时，，故，， 平面，故C正确；对于：当时，可得， ，，设平面的法向量为， 则，，取，则， ，，平面，故D正确， 故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数          ． 解：根据题意，分种情况讨论： 取出的张卡片中有个数字重复，则个重复的数字为或， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，共有种； 若取出的张卡片为张和张， 在个位置安排两个，有种情况，剩余位置安排两个，则可以排出个四位数 取出的张卡片中有个重复数字，则重复的数字为， 在、中取出个卡片，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排，可以排出个四位数则一共有个四位数． 故答案为． 13.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则           ． 解：，，若对于一切，中的第项恒等于中的第项，  ，，，，  ，．故答案为． 14.已知函数，若函数有个极值点，则实数的取值范围是          ；若，则实数的取值范围是          ． 解：有三个极值点，有三个不等实根 方程有三个不等实根，令，则，在上单调递增，在上单调递减，又当时，，，，当时，，，的取值范围为 由知，，，则，令，则，，令，则，令，则，在上单调递减，，即，在上单调递减，，，在上单调递增，实数的取值范围是．故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． 证明：平面平面； 当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 解：证明：在半圆中，，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，即平面平面，又平面平面，，平面，平面，平面，则，，平面，平面，平面，平面，平面平面． 的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以的中点为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系：正方形的边长为，，，，则平面的法向量，设平面的法向量为则，，由，，令，则，，即，则，， 则面与面所成二面角的正弦值．  16.本小题分 近期，我国国产大模型深度求索在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了名用户进行调查，收集整理得到了下侧的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 不频繁使用 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联 若已知样本中学生人数为人，其中高满意度用户数为人，教师人数为人，其中高满意度用户数为人以样本频率估计总体的概率． 若从全校使用的用户中每次抽取名用户，直到抽出名高满意度用户即停止抽取求恰好第次抽取后停止抽取的概率． 若从全校使用的学生用户和教师用户中各随机抽取名，设这人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中．． 解：零假设为的使用频率与用户满意度之间无关联， 根据表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为的使用频率与用户满意度之间有关联； 由题知，样本中高满意度用户的频率为，设事件“恰好第次抽取后停止抽取”，需在前次抽取中恰有次抽取的是高满意度用户，第次恰好抽取的是高满意度用户， 则，即恰好第次抽取后停止的概率为； 由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为， 又，，， ，，， 的所有可能取值为，，， 则 ， 所以随机变量的分布列为：  17.本小题分 已知椭圆的离心率为，其短轴长为． 求椭圆的方程 若直线与椭圆交于，两点点，均在第一象限，且直线，，的斜率分别为，，，且，证明：直线的斜率为定值． 解：由题意可得解得故椭圆的方程为． 证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， 设点，的坐标分别为，，则，，  ， ，整理得， ，又， ， 点，都在第一象限，，即，故直线的斜率为定值． 18.本小题分 已知数列是公差为的等差数列，其前项的和为数列是公比大于的等比数列，． 求数列和的通项公式； 记，． 证明：是等比数列； 证明：． 证明：由数列是公差为的等差数列，其前项的和为， 可得，解得，所以； 由数列是公比大于的等比数列，，可得， 解得舍去，所以 证明：因为，所以， 则， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 证明：设， 考虑，则，所以，则， 两式相减可得，， 所以，则，故．  19.本小题分 已知函数 若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围 当时． 证明：(ⅰ)若，则恒成立 (ⅱ)若，，则恒成立． 解：由已知可得，，由可得，，，令，则，当时，有，所以，所以在上单调递减，又，所以在上的值域为，当时，有，所以，所以在上单调递增，又，所以在上的值域为，作出函数在的图象如图所示，由图象可知，当时，有两解，设为，，且，，由图象可知，当时，有，即；当时，有，即，当时，有，即，所以在处取得极大值，在处取得极小值．综上所述，的取值范围为； 证明：构造函数，，则， 令，则在时恒成立，所以，在上单调递增，即在上单调递增，所以，，所以，在上单调递增，所以，，所以当时，，因为，故在上，，令，则，令，，故为增函数，即为增函数，所以，所以为增函数，所以，即，即，所以，， 又，所以，当时，有； 在的条件下，只需证明时，恒成立，因为，，所以，令，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以当时，有，所以．又，所以， 综上所述，在上，恒成立．  学科网（北京）股份有限公司 $$