湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期4月测试数学试题（4.30）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下表是离散型随机变量的概率分布，则(    ) A. B. C. D. 2.已知三个正态分布密度函数其中，为自然对数的底数的图象如图所示，则下列结论正确的是． A. B. C. D. 3.等差数列的前n项和为，若，则  A. 42 B. 52 C. 56 D. 60 4.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是(    ) A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 5.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是(    ) A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知，若，则 的最小值等于    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,),P(< X<)=m,P(1< X<3)=n,则以下选项正确的是（） A. D(X)= B. 若Y=3X+1,则E(Y)=7 C. 若Y=2X+1,则D(Y)= D. P(< X<3)= 10.下列选项中正确的是    A. 已知随机变量X服从二项分布，则 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望 C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次 D. +1除以1 000的余数是2 11.已知函数，下列选项正确的是(    ) A. 图象关于点成中心对称 B. 对任意实数，函数在上单调递增 C. 若有三个不同的解，则 D. 当时，若过点可以做函数的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有          种． 13.若随机变量，若，则           ． 14.有个编号分别为，，，的盒子，第个盒子中有个白球个黑球，其余盒子中均为个白球个黑球，现从第个盒子中任取一球放入第个盒子，再从第个盒子中任取一球放入第个盒子，以此类推，则从第个盒子中取到白球的概率是          ，从第个盒子中取到白球的概率是          ． 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． 求展开式中二项式系数最大的项； 求展开式中所有的有理项． 16.(本小题15分)已知数列满足，且，其前n项和记为 求数列的通项公式； 记数列的前n项和记为，求证： 17.（本小题15分）已知函数，，令函数 当a为正数时，讨论函数的单调性； 若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 18.(本小题17分)某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. 顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； 已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 19.（本小题17分）定义：在等式中，把，，，，叫作三项式的次系数列如三项式的次系数列是，，． 求三项式的次系数列及三项式的次系数列； 由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质，类似地，请用三项式次系数列中的系数表示无需证明； 求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题（解析） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下表是离散型随机变量的概率分布，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由题意可得，解得， 所以．故选：． 2.已知三个正态分布密度函数其中，为自然对数的底数的图象如图所示，则下列结论正确的是． A. B. C. D. 【答案】C  解：正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，  根据图象知，第一个曲线的均值比第二和第三个均值小，且二，三两个的均值相等，  ，故B、D错误； 越小图象越瘦高，  根据图象知，第一个图象的等于第二个图象的，且第二个图象的比第三个的要小，  ，所以A错误，C正确． 3.等差数列的前n项和为，若，则  A. 42 B. 52 C. 56 D. 60 【答案】B  解：等差数列满足：，则，， 解得，则故选： 4.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是(    ) A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 【答案】D  解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地分派2名女生，有种情况， 若甲地分配1名女生，有种情况，则甲地的分派方法有种， 甲地安排好后，把剩余3人中安排在乙、丙两地，有种安排方法， 则不同的选派方法的种数是故选： 5.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 由题意可知：，，，， 则，  ． 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是．故选：． 6. 的展开式中的系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：的展开式通项为，，，，，，， 则的展开式有，， 取和时可得，，合并后系数为． 故选：． 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：因为，，， 构造函数， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以 故选 8.已知，若，则 的最小值等于    A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：由题设  ， 设  ，则  ， 当  单调递减， 当  单调递增， 所以  ，即  ， 综上，  ，即  ，所以  ， 设 P 是直线  上的点，  是圆  上的点， 而目标式为  ， 由  ，故  . 故选： 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,),P(< X<)=m,P(1< X<3)=n,则以下选项正确的是（） A. D(X)= B. 若Y=3X+1,则E(Y)=7 C. 若Y=2X+1,则D(Y)= D. P(< X<3)= 【答案】ABD  解：由题知D(X)=,故A正确;E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=7,故B正确; D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=1,故C错误; 由正态分布密度曲线关于x=2对称,利用对称性知P(< X2)=P(2X<)=,P(2x<3)=,所以P(< x<3)=,故D正确.故选ABD. 10.下列选项中正确的是    A. 已知随机变量X服从二项分布，则 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望 C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次 D. +1除以1 000的余数是2 【答案】ABD  解：对于A，，，，故A正确； 对于B，X为超几何分布，所以，故B正确； 对于C，设最有可能击中k次，则，， 则， 得，即或8，故C错误； 对于D，因为,且 能被1 000整除，所以 除以1 000的余数是2，故D正确. 故选： 11.已知函数，下列选项正确的是(    ) A. 图象关于点成中心对称 B. 对任意实数，函数在上单调递增 C. 若有三个不同的解，则 D. 当时，若过点可以做函数的三条切线，则 【答案】ACD  解：因为，所以图象关于点成中心对称，故A正确； B.可取，于是，由得到，即函数在上单调递减，故B错误； C.若有三个不同的解， 则，结合题设可知：，故C正确； D.当，于是，． 设切点为，于是曲线的切线为． 代入点，得：，即． 由题设知，关于的方程有三个解． 设，由可得：． 所以函数在单调递减，在单调递增． 又，，所以，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有          种． 【答案】96  解：第一步：从4种颜色中选3种颜色对三个区域着色有种方法， 第二步：对着色分两类， 当D与B同色有1种方法，对E着色有2种方法， 当D与B不同色时有1种方法，对E着色有2种方法， 故不同的染色方案共有种． 故答案为： 13.若随机变量，若，则           ． 【答案】  【解析】解：因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为， 所以，即，解得：．故答案为：． 14.有个编号分别为，，，的盒子，第个盒子中有个白球个黑球，其余盒子中均为个白球个黑球，现从第个盒子中任取一球放入第个盒子，再从第个盒子中任取一球放入第个盒子，以此类推，则从第个盒子中取到白球的概率是          ，从第个盒子中取到白球的概率是          ． 【答案】  解：因为第个盒子中有个白球个黑球， 所以从第个盒子中取到白球的概率为，取到黑球的概率为， 现从第个盒子中任取一球放入第个盒子， 所以从第个盒子中取到白球的概率； 依次类推可知，从第个盒子中取到白球的概率为，取到黑球的概率为， 从第个盒子中取到白球的概率为，可能有两种情况，即从第个盒子中取到的是白球或黑球， 从第个盒子中取到白球的概率为，即， ， ，， ， 数列为等比数列，公比为，首项为， ， ． 故答案为；． 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． 求展开式中二项式系数最大的项； 求展开式中所有的有理项． 【答案】解：展开式中第项为： ， 所以前三项系数的绝对值依次为，依题意有，， 即，整理得，解得舍去或． 由二项式系数的性质可知，展开式中第项的二项式系数最大，即． 由知，， 又，由可得， 故展开式中的有理项为： ，，． 16.(本小题15分)已知数列满足，且，其前n项和记为 求数列的通项公式； 记数列的前n项和记为，求证： 【答案】解：由得， 当， ， 所以，即，故为公差是1的等差数列， 又当时，，即，且，所以， 所以，故通项公式为； 证明：由知为等差数列， ， ， ， 即 17.（本小题15分）已知函数，，令函数 当a为正数时，讨论函数的单调性； 若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 【答案】解：因为，， 则  ， 令，解得或，此时a为正数， 当时，在，上为正，上为负， 所以的单增区间为，，单减区间为 ； 当时，在上恒大于等于0 ，所以在上单调递增； 当时，在，上为正，上为负， 所以的单增区间为，，单减区间为， 综上：当时，的单增区间为，，单减区间为 ； 当时，在上单调递增； 当时，的单增区间为，，单减区间为 由，，变形为， 令，若不等式对一切都成立， 则在上单调递增， 其中，， 则， 若，此时在上恒成立， 则在上单调递增，满足要求； 若，此时要满足在恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即a的取值范围是 18.(本小题17分)某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. 顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； 已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】解：方案一：设中奖次数为X，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立， 所以中奖次数X服从二项分布， 即，所以X的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为Y，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以Y的数学期望为， 方差， ，， 两种方案中奖次数的期望相同， 但方案一的方差较小，中奖的波动性小，稳定性较好， 故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好； 每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为， 则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有k人中奖2次的概率为 ，，， 令， 解得，于是，当时，； 当时，；故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. 19.（本小题17分）定义：在等式中，把，，，，叫作三项式的次系数列如三项式的次系数列是，，． 求三项式的次系数列及三项式的次系数列； 由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质，类似地，请用三项式次系数列中的系数表示无需证明； 求的值． 【答案】解：因为，  所以三项式的次系数列是，，，，；  因为，  所以三项式的次系数列是，，，，，，．   附：由知，三项式的次系数列是，，，即，，；  三项式的次系数列是，，，，，即，，，，；  三项式的次系数列是，，，，，，，即，，，，，，；    三项式的次系数列可构成如下数阵表： 由表易知，，，，  所以 由题意知表示的展开式中的系数，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$