湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期4月测试数学试题（4.2）

孝感高中2023级高二年级 数学试题(参考答案) 1.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. 40 C. D. 80 【答案】C  解：在的展开式中，含的项为，故的系数为：故选： 2.在等差数列中，，其前n项之和为，若，则    A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】B  解：是等差数列，，也是等差数列且首项为 又，的公差为1，，故选 3.已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是(    ) A. B. C. 3 D. 【答案】A  解：过P点作PM垂直于抛物线的准线，且交抛物线的准线于点M， 则， 过F作FN垂直于直线：，且交直线：于点N， 则动点P到直线和直线的距离之和的最小值是，当且仅当F、P、N三点共线时取等号，即点P到直线和直线的距离之和的最小值是故选： 4.若是函数的极值点，则a的值为    A. B. 3 C. 或3 D. 或2 【答案】B  解：由，得， 是函数的极值点，，解得或， 当时，恒成立，即单调递增，无极值点，舍去； 当时，时，或，满足为函数的极值点，故选 5.甲、乙、丙、丁4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同的选择种数是      A. 30 B. 36 C. 54 D. 60 【答案】C  解：根据题意，首先甲在3个讲座中选择一个，然后乙在剩余的两个讲座中选择一个，最后丙、丁分别在3个讲座中选择一个，所以若甲、乙两名同学不听同一个讲座的不同选择种数是故选： 6.已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，     A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B  解：由，则， 令，则，由，解得，所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值，故当取得最小值时，故选： 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为    A. B. C. D. 【答案】C  解：依题意，不妨设点P在双曲线右支上，由射线PN平分，， 得， 由双曲线定义知：，则，，令双曲线E的半焦距为c， 在中，由余弦定理得：， 整理得，于是，所以双曲线E的渐近线方程为故选：C 8.已知函数，则使不等式成立的最小正整数x为   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A  解：根据题意，函数，其导数，当时，可以看成是以1为首项，为公比的等比数列的前5项和，则有，函数在R上为增函数.又由，，知函数在上存在唯一的零点，设其零点为t，则，又由，知，则，即或，故使不等式成立的x的最小正整数为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列的通项公式为，则  A. B. 43b237d6694cd7ff843f8ea2e62ade42 C. D. 【答案】ABC 【解答】 解：因为， 所以，，，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选 10.已知函数，则下列说法正确的是    A. 有且仅有一个极值点 B. 有且仅有两个极值点 C. 当时，的图象位于x轴下方 D. 存在，使得 【答案】AC  解：由题意知，，令，， 易得在上单调递减，又，， 所以，使得，即，所以当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以有且仅有一个极值点，故A正确， B错误; 当时，，，所以，故C正确; 所以，故D错误.故选 11.已知O为坐标原点，点F为抛物线C：的焦点，点，直线l：交抛物线C于A，B两点不与P点重合，则以下说法正确的是(    ) A. B. 存在实数m，使得 C. 若，则 D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则 【答案】ACD  解：由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为， 直线恒过，如下图所示： 设，，作垂直于准线，垂足为， 根据抛物线定义可知，，易知，所以， 但当时，此时A与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，所以，故A正确； 联立直线和抛物线C：，得，所以，， 此时，所以，因为， 故，所以不存在实数m，使得，故B错误； 若，由几何关系可得，结合，可得或，即或，将B点坐标代入直线方程可得，故C正确； 若直线PA与PB的倾斜角互补，则，即， 整理得，代入，，解得或， 当时，直线l过点，A与P点重合，不符合题意，所以，故D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于          . 【答案】80  解：在等差数列中，，， ，，，， 公差，， 前10项的和，故答案为： 13.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则          . 【答案】3  解：设， 令，则其所有项的系数和为， 令，则 又奇数次幂项的系数和为， ，故答案为 14.已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点M，且，与的离心率分别为，，则的取值范围是          . 【答案】  解：如图所示，椭圆与双曲线的左、右焦点相同， 可得，解得， 显然，可得， 又，且， 其中，，可得， ， 令，则，因为，， 又，，， 又，，，可得， 设函数，而函数在区间上单调递增， ，，即的取值范围是故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分在二项式的展开式中. Ⅰ若第4项的系数与第6项的系数比为，求展开式中的有理项; Ⅱ若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项. 解：Ⅰ由题意可知，展开式第四项系数为，第六项系数为，满足， ，即，解得或舍去， 展开式通项，，1，2，， 当，3，6时，为整数，所以当，3，6时为有理项， 即展开式中的有理项为：，， Ⅱ因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以， 此时展开式通项，，1，2，， 设第项的展开式系数最大，则，解得， 所以展开式中系数最大项为：和  16.本小题15分设数列的前n项和为，已知，， Ⅰ求通项公式； Ⅱ求数列的前n项和． 【答案】解：Ⅰ，， ，，解得，， 当时，，，两式相减得，即， 当时，，，满足，， 数列是首项为1，公比为3的等比数列， 数列的通项公式； Ⅱ，令，则，， 当时，，则，此时数列的前n项和 ， 则即  17.本小题15分已知函数 若函数在上单调递增，求实数a的取值范围; 若函数有两个不同的极值点，，其中，求a的取值范围; 在的条件下，若不等式恒成立，求实数k的取值范围。 【答案】解：依题意得：，因为在上恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 由于函数在上单调递增，当时，取得最小值，故， 即实数a的取值范围为 由可知，令，依题意得：要有两个不等的正根，故，得出，故a的取值范围为； 由可知，，故原不等式整理得： 对任意的恒成立， 令，，则， 令，则， 易知在上单调递减，又，故在上单调递减， 因为，故也是在上单调递减，所以，故， 故实数k的取值范围为 18.本小题17分如图，已知椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，斜率为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且l不经过点 求椭圆C的方程; 若，求直线l的方程; 当直线PM，PN与x轴均不垂直时，设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，求证：为定值. 【答案】 解：因为椭圆C上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 所以，解得，所以， 则椭圆C的方程为； 因为直线l的斜率为，设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时，解得，所以，， 若，此时，解得或， 当时，直线l的方程为，此时直线l过点，不满足条件； 当时，直线l的方程为，满足条件，所以直线l的方程为； 证明：因为直线PM，PN均不与x轴垂直，所以直线l不经过点和，所以且， 由知， 故为定值．  19.本小题17分若数列满足：对任意，都有，则称是“P数列”． 若，，判断，是否是“P数列”； 已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“P数列”，不是“P数列”，是“P数列”，求数列的通项公式． 【答案】解：对于数列而言，若，则，所以数列是“P数列”； 对于数列而言，若，则，则数列不是“P数列”； 因为等差数列是“P数列”，所以其公差 因为，所以， 由题意，得对任意的恒成立，即对任意的恒成立． 当时，恒成立，故； 当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 因为，所以 所以d的取值范围是 设等比数列的公比为q，因为，所以， 因为“P数列”的每一项均为正整数，由得，所以且， 因为，所以，所以 单调递增， 所以在数列中，“”为最小项， 而，从而在数列中，“”为最小项． 因为是“P数列”，则只需，所以， 因为数列不是“P数列”，则，所以， 因为数列的每一项均为正整数，即，所以或， ①当时，，则，令， 又，所以为递增数列， 又，所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“P数列”，符合题意． ②同理可知，当时，，则，令， 又，所以为递增数列， 又，所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“P数列”，符合题意． 综上，或 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. 40 C. D. 80 2.在等差数列中，，其前n项之和为，若，则    A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 3.已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是(    ) A. B. C. 3 D. 4.若是函数的极值点，则a的值为    A. B. 3 C. 或3 D. 或2 5.甲、乙、丙、丁4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同的选择种数是      A. 30 B. 36 C. 54 D. 60 6.已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，     A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为    A. B. C. D. 8.已知函数，则使不等式成立的最小正整数x为   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列的通项公式为，则  A. B. C. D. 10.已知函数，则下列说法正确的是    A. 有且仅有一个极值点 B. 有且仅有两个极值点 C. 当时，的图象位于x轴下方 D. 存在，使得 11.已知O为坐标原点，点F为抛物线C：的焦点，点，直线l：交抛物线C于A，B两点不与P点重合，则以下说法正确的是(    ) A. B. 存在实数m，使得 C. 若，则 D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于          . 13.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则          . 14.已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点M，且，与的离心率分别为，，则的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分在二项式的展开式中. Ⅰ若第4项的系数与第6项的系数比为，求展开式中的有理项; Ⅱ若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项. 16. 本小题15分设数列的前n项和为，已知，， Ⅰ求通项公式； Ⅱ求数列的前n项和． 17.本小题15分已知函数 若函数在上单调递增，求实数a的取值范围; 若函数有两个不同的极值点，，其中，求a的取值范围; 在的条件下，若不等式恒成立，求实数k的取值范围。 18.本小题17分如图，已知椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，斜率为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且l不经过点 求椭圆C的方程; 若，求直线l的方程; 当直线PM，PN与x轴均不垂直时，设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，求证：为定值. 19.本小题17分若数列满足：对任意，都有，则称是“P数列”． 若，，判断，是否是“P数列”； 已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“P数列”，不是“P数列”，是“P数列”，求数列的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$